文化视角、素养立意下的数学课堂建构探究——以《用频率估计概率》教学为例

刘春江|浙江省杭州市文海中学

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“《课程标准》”）指出，教材内容设计要反映数学在自然与社会中的应用，展现数学发展史中伟大的数学家，特别是中国古代与近现代著名数学家，以及他们的数学成果在人类文明发展中的作用，以增强学生的爱国情怀和民族自豪感.因此，一线教师可尝试打造文化视角、素养立意的数学课堂，即从数学文化的角度来审视教学内容，设计指向核心素养的教学目标，并以此引领课堂教学.这种具有文化属性的数学课堂能展示数学的美丽与价值，唤起学生的好奇心与求知欲，使学生在数学文化的浸润中发展核心素养.下面，笔者以浙教版义务教育教科书《数学》九年级上册第2章第3节《用频率估计概率》的教学为例，谈谈如何建构文化视角、素养立意的数学课堂.

一、以文化视角审视教学内容

“用频率估计概率”属于“统计与概率”领域，体现了偶然性和必然性的统一，在概率统计的应用历史上有着丰富的经典实践案例.因此，从数学文化视角上审视该节教学内容及流程十分必要.

首先，基于学情.此时，学生已经学习过随机事件与概率，初步了解了概率的意义，会用列举法求一些简单等可能事件的概率.基于此，笔者对相关数学文化知识进行梳理，先介绍布丰等数学家抛掷硬币的试验，再展示雅各布·伯努利以定理的形式给予严格证明的史实，在史料的有序呈现中向学生渗透数学家求真务实的严谨精神，在深厚的数学文化氛围中引出这节课的内容，即对概率作进一步的研究.

其次，指向内容.针对“随机事件发生的频数和频率均可以通过统计的方法获得”这一内容，笔者安排古典概型中经典的摸球试验，引导学生经历试验设计、实施的全过程，体验数学家的研究方法，感受数学研究的魅力，在文化的熏染中明确：概率是客观存在的确定数，而频率在试验前是不能确定的，具有随机性.

最后，突破难点.针对“随着独立重复试验次数的不断增加，随机事件发生的频率会呈现出一定的稳定性”这一难点，笔者引导学生体验“三门问题”“巧用频率妙求π”“威廉·向克思的憾事”等经典数学史例，使学生在多样的数学文化中，具身体会可利用大量重复试验的方法获得频率，再用该频率估计随机事件发生的概率，归纳出此方法不受限于各种结果发生是否等可能及随机试验结果数等因素，其适用范围比用列举法计算概率更广泛.

从文化视角对教学内容进行审视并设计教学，不仅有利于核心知识的落实，更有利于学生浸润数学文化、感悟数学力量、激发数学学习兴趣.

二、素养立意预设教学目标

依据《课程标准》对此部分内容的要求，笔者结合学情、当前科技发展水平等因素，以发展学生核心素养为立意，设定这节课的教学目标：（1）了解随机事件在每次试验中是否发生的不确定性，随着试验次数的大量增加，事件发生的频率会逐渐趋于稳定；（2）通过摸球与掷硬币等随机试验，了解频率与概率的联系与区别，知道可以通过大量重复试验的频率去估计概率，经历设计并实施试验，通过试验数据探索内在规律，提升合作交流能力；（3）能够应用“用频率估计概率”的知识解决相关问题，并能从对数学史上经典问题的分析与再创造中感受数学文化的价值，提高数学学习兴趣.

三、文化视角、素养立意下的课堂建构策略

（一）以课程标准为依据，发掘文化素材，让素养的形成有根基

课堂教学只有做到以《课程标准》为据，以教材为基，以学生为本，才能有效地培育学生的核心素养.《课程标准》对这节内容的要求为“知道通过大量地重复试验，可以用频率估计概率”.一方面，估计的过程既涉及随机性，又体现随机性表现出来的规律性，这就使学生理解起来比较困难，如对其进行常规教学的设计，很容易造成教师呆板呈现、学生被动识记的局面，难以达成《课程标准》对这节内容的教学要求.另一方面，我们知道数学既是一门科学，也是一种文化，数学知识具有丰富而深刻的文化内涵，数学教育的目的不仅要让学生的“四基”得到发展，还应让学生接受数学文化的熏陶，感受数学的无穷魅力，形成理性精神.因此，文化视角素养立意下的数学课堂教学，在教学内容的选取和组织上要努力跟经典史料和社会生活等主动结合.选取的文化素材需要具备如下特点：既包含数学课程的具体内容，又展示数学的价值；既具有情境性、开放性、趣味性等特征，又有利于突出教学重点、突破学习难点.

在这个环节中，笔者将生活背景与数学史料有机结合，从抛掷硬币试验切入，引导学生亲身体验古典概型——人类对概率和统计规律最早的建模尝试.学生从朴素的数学原则下古人对概率的认识起点出发，通过试验设计、试验操作、视频观看、交流讨论等形式，在数学文化的陶冶中逐步激发起探究数学的兴趣，对学习内容也逐渐产生了亲切感、价值感.这进一步推动了学生对频率与概率关系的认识，由此也就发展了数据分析观念.

问题1：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，计算“两次都正面向上”的概率.

［师生活动］教师介绍古代数学家的抛掷硬币试验史实.学生用多种方法解答，教师巡视并展示学生有代表性的解法.师生一起将知识要点归纳为：概率可算，算之有法，初中阶段，一图一表.

设计意图：通过回顾旧知再次加深学生对概率确定性的理解，用抛掷硬币问题回顾古典概型中“能够通过事前计算获得概率”的知识，既巩固了基础知识，又检验了基本技能，为这节课学习“事件的概率不能简单通过计算获得”埋下伏笔.而对知识进行四字对仗式的归纳，能使学生对知识的记忆与理解更加容易、更加深刻.

（二）以问题为导向，设计文化体验，让素养的发展根植实践

叶澜教授说：“有文化意义的课堂，一定是充满生命激情、生命动感的课堂.”［1］在设计问题引导学生活动时，既考虑课时核心内容，又恰当地融入数学文化，可使学生开阔视野、激发学习兴趣、增进数学理解、提升核心素养.问题设计需要做到如下三点：指向明确，层层递进；大气开放，关注思维；体现趣味，着力应用.在课堂教学过程中，教师要时刻关注学生的表达与反馈，使学生保持思维的活跃度，有效地激发学生主动地积极思考.

在这个环节中，笔者先设计指向概率意义的“抛掷硬币100 次，正面向上的频率”问题，引导学生亲身体验数学史上的抛掷硬币试验，促使学生增强对频率随机性的认识，再设置关于随机性的趋势问题，引导学生通过对各组数据的汇总分析，在初步感知频率的随机性的同时，能够主动意识到频率与概率之间可能存在某种必然关系.以一系列具有文化体验功能的问题为引领，可使学生在深度感受数学家精神的同时，积极开展活动，并以数学家为榜样，努力提升自己的数学思维.

问题2：抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面向上”的概率是0.5，这是否意味着抛掷硬币100 次，“正面向上”的频数一定是50，频率一定是0.5？请思考并对照试验数据回答.

［师生活动］教师指导学生对试验任务的数据进行观察、思考、交流、整理分析，并得出结论.教师第一次指出频率具有随机性.

设计意图：通过对少量试验获得的数据进行收集与整理、分析与描述，让学生初步体会频率的随机性.

问题3：随着重复试验次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势怎样？

［师生活动］教师引导学生按照试验要求独立试验、记录数据后小组合作，初步发现频率的稳定性.

（三）以技术为辅助，促进文化体验，让抽象的思考外化

数学学习需要学生真实的思维参与.学生在参与中体验，在体验中感悟，进而在感悟中积累经验、提高认识.因此，教师要设置文化体验的机会，引导学生在文化体验中实现积极的心理参与和思维参与，从而充分地体会到知识的形成和发展历程.将信息技术应用于数学教学，通过其演示数学史上的经典试验，既能节省大量的课堂操作时间，把更多时间留给学生独立思考和有效交流，又能使学生直观地感受到经典试验的流程，体会古代数学家的智慧，从而使数学教学变得更加便捷、科学和高效.在充分互动的学习环境中，学生也能更好地掌握数学知识，培养数学思维，提升实践、探究与创新能力.

在这个环节中，笔者通过信息技术帮助学生体会频率的随机性与稳定性，如借助多媒体视频展示案例，借助Excel 整理、描述、呈现学生抛掷硬币试验的数据，借助GeoGebra 模拟抛硬币和摸球试验并绘制成表格和图象直观地描述试验数据.这些技术手段有效地辅助了学生对数据进行整理与呈现、观察与分析、猜想与验证等活动，促使学生有步骤地体会频率与概率的关系，并归纳出用频率估计概率的方法和要点.

［师生活动］教师展示利用GeoGebra 软件模拟的投硬币试验1000 次，利用软件绘制出频率变化动态图象.学生自主发现试验次数较少时，频率表现出随机性的可能性相对比较大，而随着重复试验次数的不断增加，频率则越来越呈现出稳定性，稳定在某一具体数值附近的可能性越来越大.

设计意图：应用信息技术辅助教学，帮助学生进一步理解频率具有随机性，同时通过软件模拟的大量重复试验中的数据呈现，向学生直观地展现出大量独立重复试验中频率的稳定性，以此引导学生准确地表述频率与概率的关系.

［师生活动］教师呈现教材第53页的史料数据，学生依据数据进一步感受频率的稳定性，体会数学家求真务实的精神.

设计意图：使用数学史料，既能起到增加试验次数的目的，又能使学生在史料中感受数学家求真务实、勇于探索的精神.

问题4：在不透明的箱子内装有红色和蓝色共5个小球，它们除了颜色外没有其他区别.在不打开箱子的情况下，每次随机摸出一个球后放回，你能估计出箱子内红球的个数吗？

相对于传统的DEA方法获得的城市旅游效率方式来说，其结果明显被高估，而应用Bootstrap-DEA模型利用纠偏测度获得的结果更为符合实际的状况，分析近年来广东省城市旅游效率产生的空间变化来说，年度旅游效率存在较为显著的差异性，整体效率水平有待提升，多数的城市均实现了总计数效率有效。而基于时间变化的角度分析，因为旅游效率与旅游产出的增长态势具有一定的差异，主要就是因为近年旅游政策的影响，导致长期的投资项目不断增多，这样就造成了投资冗余，导致旅游经济无效城市的数量不断增多。

［师生活动］教师指导学生经历试验设计、试验实施、问题解决等过程.在学生充分思考、设计并实施后，教师利用计算机软件演示大量试验，绘制频率分布图.师生一同归纳得出：概率可估，估之有道，大量试验，频率稳定.教师展示雅各布·伯努利给出严格证明的数学史料.

设计意图：引导学生通过分析模拟摸球问题的数据情况，归纳出解决问题的关键是确定事件发生的概率.学生在经历问题解决的过程中积累经验，加深对用频率估计概率的方法的认同.用数学史料的介绍初步激发学生的“三会”意识.

（四）以应用为目的，再现文化魅力，让素养在问题解决中彰显

数学文化的价值不仅在于数学知识的学习过程，也在于它的应用价值，数学应用同样是数学文化融入数学教学的契机.荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔倡导“再创造理论”，即“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学，而且我们希望这是真正的再创造，而不是因袭和仿效”［2］.因此，教学设计应多联系实际，关注数学在日常生活中的应用，结合数学文化的应用价值，根据学生的认知基础和规律，分析学生学习可能会产生的问题或薄弱环节，有针对性地设计基于数学文化的体验式教学，将再创造的机会留给学生.如可将凝结在数学概念中的数学家的思维活动还原，以若干典型事例为载体，引导学生分析事例特征，进而把蕴藏于基本活动经验中的基础知识、基本技能和基本思想，灵活地运用于历史上曾经发生过的经典问题解决中.这样不仅能使学生感受数学文化的魅力，也能使隐性的素养得以彰显.

在这节课中，笔者基于《课程标准》的要求以及教学实践中出现的问题，给出中学阶段用频率估计概率两个核心点，即试验随机性以及大量重复试验下频率的稳定性的活动设计.笔者将“三门问题”“巧用频率妙求π”“威廉·向克思的憾事”等经典数学试验巧妙地穿插于这两个活动设计中，既体现对频率稳定性的学科理解［3］，又有利于在问题解决的过程中展现素养达成的效果.

问题5：你能增加“选中汽车”的概率吗？

［师生活动］教师通过视频呈现“三门问题”：“三扇门后分别是汽车、山羊、山羊，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车.当参赛者选定了一扇门后，主持人先不开启它，而是打开另一扇门，露出其中一只山羊，然后问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.问题是：换门是否可以增加参赛者赢得汽车的概率？”学生从不同角度独立思考并尝试计算，感受不容易用列举法求这个随机事件的概率，再经历同伴交流，发现不同的学生有不同的解答思路和答案，互相难以说服别人.教师提示可以用频率估计概率并用纸牌模拟试验来验证.最后，教师利用软件增加试验次数，引导学生估计“换门有车”和“不换门有车”的概率.

设计意图：“三门问题”是有违直觉的概率问题的极具代表性的例子，不容易通过计算获得概率值，历史上曾引发激烈探讨.以此问题引出学生对同一问题的不同看法，可使学生在认知冲突中激起对频率、概率知识的学习热情，进而运用数学知识独立设计并实施运用以频率估计概率的试验方案.而引导学生通过具身经历和及时归纳，充分认识到“对于概率不可或不易通过计算求得的问题，可以采取用频率估计概率这一有效方法”，则能成功突破课时教学难点.

问题6：你还知道生活中有哪些问题需要应用频率与概率的关系来解决吗？

［师生活动］学生思考、回忆并分享.教师展示相关数学史料，如“巧用频率妙求π”“威廉·向克斯的憾事”等.

设计意图：通过数学发展史上利用频率与概率关系估计π 值问题，以及英国数学家威廉·向克斯引以为傲的一生中最重要的成果居然被人运用频率与概率关系的方法推翻等经典案例，让学生进一步认识频率与概率关系的应用，并激发学习数学的兴趣，增加对数学科普书籍的阅读，提高用数学的眼光观察现实世界的意识.

（五）以回顾为契机，在反思中提升，让元认知在文化熏沐的复盘中形成

运用元认知、反思性学习等理论指导小结整理环节，能不同程度地提高学生的反思意识和能力，既能有效辅助教学活动、提升学习效果，又能呼应学生发展核心素养中“自我管理”“勤于反思”的操作要点，它是PDCA（P、D、C、A 分别为Plan、Do、Check、Act 的首字母，意为计划、执行、检查、行动）全面质量管理思想在数学课堂教学中的具体落实.

为这节课作小结时，笔者引导学生回顾整节课的流程：通过自己抛硬币和数学家抛硬币的比较，体会从小事做起、求真务实的治学严谨态度，体会用数学的眼光观察现实世界，体会大胆猜想与小心求证相辅相成的关系，体会用数学的思维分析现实世界；通过对“三门问题”的分析与解答，以及“巧用频率妙求π”和“威廉·向克斯的憾事”的学习，加强用频率估计概率这一方法来解决问题的意识和能力，强化用数学语言表达现实世界的能力.这些具体内容的回顾以及开放性问题的提出，不仅有利于学生落实核心知识、浸润数学文化的魅力，也能有效地促进学生数据分析等核心素养的提升.

问题7：你能从收获、困惑与好奇等方面回顾这节课的学习过程吗？

［师生活动］教师带领学生一起回顾这节课所学的主要内容，从收获、困惑与好奇等角度对课时学习进行小结.

［课后任务］完成试验：投一枚图钉，估计出“钉尖朝上”的概率.

设计意图：通过及时有序的归纳小结，巩固对用频率估计概率这一方法的掌握及探索过程，要求学生结合对困惑与好奇等的思考完成相应的课后任务，使课堂始终是开放的.

综上，将数学文化融入课堂，耦合于教与学的环节，可使数学平易近人、尽显魅力，让学生真正爱上数学并主动投入到数学的学习研究中.教师需要在充分理解数学、理解学生、理解教学、理解技术的基础上，努力探索将数学文化渗透于数学课堂的路径，从而更好地落实对学生数学核心素养的培育.