素养旨归下的单元学习“元指导”*——以“平面向量”单元为例

周 军|江苏省宜兴市丁蜀高级中学

数学教育的根本任务是发展学生的数学核心素养，但与此相匹配的学习指导模式还远没有成型.当下的数学学习指导主要存在四个方面的缺陷：一是从指导目的看，强调已有思维结果的习得，而忽视思维过程的体验；二是从指导内容看，一味地就事论事、囿于细节，缺少解决问题的一般思路与方法，也不涉及思维的缘由与依据；三是从指导方式看，大多是方向单一、意义缺失的指令，没有打开深度对话与留白自知的空间；四是从指导对象看，片段化的知识学习或孤立的技能训练依然占据主导地位，而有助于培育数学核心素养的单元教学与大概念教学却一贯缺位.教师的专业性在于指导学生学会学习，但目前多数学习指导难以跟进教师的专业职能，因此一线教师应立足学生常见的学习弱势，即思维系统性、结构性、策略性与创新性的缺失，揭示学习指导的操作误区，探索学习指导与数学核心素养发展之间的适配模式.下面，笔者以人教A 版（2019）普通高中教科书《数学》必修第二册第六章《平面向量及其应用》（以下简称“‘平面向量’单元”）为例，先分析“元指导”的内涵与意义，再具体阐述其实施路径.

一、“元指导”的内涵与意义

“元指导”是以学习的支持条件、构成要素、运行原理、生成规律为出发点，以发展学生提出并解决问题的能力和素养为归宿点，以揭示学习与研究的大背景、大问题、大框架、大策略为着力点，对学生进行具有较强观念性、策略性、框架性的学习指导［1］.此处的“大背景”是指具有较强生长性、驱动性和进阶性的先行组织材料，承载着单元知识的数学本质、单元问题的逻辑起点以及单元学习的思维基础，具体呈现为现实生活情境、数学内部发展情境、跨学科的科学情境等［2］，简言之就是整个单元内容的根源；此处的“大问题”是指在研究“大背景”的基础上凝练所得的单元核心问题［3］，指向单元内容的核心思想和一般观念，揭示单元研究的起源和本质，对整个单元学习和研究起统领作用，并且派生出一系列为之服务的下级问题，形成问题解决的“链式”结构.

“元指导”重原理、重根本，从大处入手，适用于大概念教学和单元教学.“元指导”让教师的教更贴心、更给力，由此教师创生出普适性强的认知策略与方法，给学生的高认知挑战和深度学习提供有力支持.“元指导”从思维的原理与方法层面给予学生本原性的指导，有利于学生深化学科理解，丰富学习体验，增进情感和认知的协同发展.

二、“平面向量”单元的“元指导”

向量是最基本、最重要的数学概念之一，向量语言是沟通代数、几何和物理的重要工具，向量思想是用代数运算简化几何论证的核心观念.相对于数量而言，向量概念是对一类除了“大小”还兼具“方向”属性的研究对象的抽象概括，是从数学层面对这些对象简化处理的运算支持.对“平面向量”单元进行“元指导”，教师需要厘清其实施的基础与依据，进而形成步骤与方法.

（一）基础与依据

厘清“元指导”实施的基础与依据，教师需要从以下五个方面入手.

1.知识发展的内在逻辑

“平面向量”单元亟待解决两个问题：一是如何通过数学概念的精准界定厘清数学对象的研究范围；二是如何建构这些数学研究对象的运算概念、法则及性质.运算准确与否取决于概念是否清晰严谨，因此只有精准把握向量的概念、向量的表示以及向量间的关系，才能保障向量运算和向量应用的合理实现，进而形成前后关联、逻辑自洽的整体.向量概念揭示了向量运算的合理性和可行性，而向量运算也蕴含着向量数与形的一体两面特性.

建构向量概念并合理表示，只是为了从数学的角度刻画“既有大小又有方向”的研究对象，是向量研究的基础任务；认识向量间的关系，既是建立向量知识体系的应有之义，也是为向量运算设阶的应然之需，是向量研究的进阶任务；向量的运算为解决几何问题、代数问题、物理问题和三角问题开辟了有效的途径，升华了向量的思想性和工具性，是向量研究的核心任务.

2.学生的认知基础与研究障碍

学生已有的知识和经验源于对物理中矢量的认识，矢量的表示、合成、分解等为学生理解方向属性提供直观的形象，但矢量的实际意义制约着学生的理解层次，他们只是借助具象化经验认识向量的概念和向量的表示法，抽象程度不够，理解视域较窄.小学、初中阶段，学生已经知道数可以比较大小，也可以进行多种运算，但数与向量差异较大，以往的经验难以类比和迁移.学生能顺利解决模式化、程序化的数学习题，但欠缺主动建构新概念、发现新定理的思维与能力，且容易受到迷思概念的影响而产生负迁移.学生依赖于教师传递现成的知识信息，而缺少自主探究、自我建构的学习习惯，学会学习尚未落到实处.

“平面向量”单元的学习难点主要体现在以下四个方面：一是对向量概念的源与流认识模糊，缺乏建构类似概念的经验；二是对向量的表示方法不会主动探究，也不会从本质性、关联性、简洁性等角度系统认识向量的表示方法；三是对向量的语言和思想在平面几何及物理中的应用没有跟进的思维习惯，需要长期实践才能形成；四是对向量运算性质及运算律的研究容易产生思维定式，类比数的运算性质流于形式，不明算理.

3.核心素养的生成机制

在“平面向量”单元教学中，学生单方面地听讲，容易错失发展数学核心素养的契机，而学生完全自主探究，则会因知识储备和能力支持难以匹配，无法撬动数学核心素养的生成.因此，对学生实施“元指导”是平衡被动认知和主动认知的最佳方式.核心素养导向的“元指导”应以单元为学习单位，系统规划学习地图与探究线路，率先探索解决问题的总体思路与框架，促使学生结构化地学习，形成结构化的思维，达成知识、能力、思维与品格的综合发展.“元指导”应充分发挥其先行组织者的功能，一般可作为单元导学前置，但不必追求一步到位，可依据学生的认知发展水平，适当调整部分“元指导”介入学习过程中.同时，“元指导”应注重教师和学生的双边互动，使指导与反馈相互印证、相互完善.

4.“平面向量”单元的学习目标

借鉴《普通高中数学课程标准（2017 年版2020年修订）》对“平面向量”单元的教学要求和建议，依据单元内容的核心思想和一般观念，基于学生的认知基础和心理准备，笔者制订了“平面向量”单元的学习目标，具体如下.

（1）理解平面向量及其运算的意义，能感受和体会一个新的运算对象的建构思路与方法，提升数学运算核心素养.

（2）理解平面向量的几何意义和代数意义，能体会数形结合的统一之美，提升直观想象核心素养.

（3）了解平面向量丰富的背景（物理背景和几何背景），能用向量语言和方法表述并解决生活、数学和物理中的问题，提升数学建模核心素养.

5.“平面向量”单元的评估依据

教师应围绕单元学习目标，将评估依据分解、细化为各项关键评价事件和关键评价行为，以更科学有效地检测学生是否达成预设的学习目标，同时，这还有利于及时发现问题并作出修正.评估依据倾向于使用表现性任务或其他形式，如课堂观察、对话（生生、师生）、随堂测试、作业、反思等，旨在引领学生学习的全过程，下面分别介绍.

（1）表现性任务

表现性任务是学生运用其习得的概念或技能，通过创作作品或展示表现来提供学习的证据，一般而言，学生往往需要花费数日乃至数月时间才能完成一项任务.与传统的纸笔测试不同，它不仅能评价学习结果，也能评价学生的学习过程，甚至能评价学生的情感、态度和价值观.它更适合于形成性评价，具有纸笔测试无法替代的优势.对于“平面向量”单元，表现性任务主要有以下几种不同的形式.

其一，学生能够用数学语言表征代数与几何之间的联结方式，如阐明“如何用代数运算解决几何问题”“如何为线性代数的学习建立几何直观”等.

其二，学生使用类比的方法来推导向量的运算之后，回顾之前所学的知识中哪些是通过类比得到的，并总结类比的学习方法.

其三，学生建构向量模型，并尝试用向量法解决物理问题和几何问题.

（2）其他评估依据

相较于表现性任务，其他评估依据规模简单、用时较少、结构化程度高，它们以表现性事件为主，是一种按需进行的表现性评价.在这种评价中，学生只有很少的时间进行回答，并且只有有限的机会来改进个人的表现.

课堂观察与对话——讨论问题时各小组的表现，以及学生在小组讨论时对问题的见解.

随堂测试——有关运用向量法解决物理问题、几何问题、三角函数的综合题.

作业——基于单元整体理解的问题解决型作业（探究三角形的“四心”问题）、创作设计型作业（设计思维导图和编写数学日历）、自我诊断型作业（撰写“错题再造”作业方案和研究小论文）等.

反思——学生能够在单元学习结束时，反思自己运用向量法解决问题时存在的不足，并总结自己在用向量法解决物理问题、几何问题、三角函数综合题时的一般解题思路.

（二）步骤与方法

形成“元指导”实施的步骤与方法，教师需要从以下三个方面入手.

1.揭示大背景，提出大问题

数学知识产生的必要性与合理性都在其背景中得到支持，厘清知识的源与流，有助于学生自然地、合乎逻辑地发现并提出问题.因此，“元指导”应揭示数学问题的背景和缘由.

早期的向量，就是物理学范畴中的矢量，是物理学家用来表示力、位移、速度等的工具.直到为了加强对复数的理解，出现了复数的几何表示，数学家才开始关注向量.数学中的向量概念是从现实世界和科学问题中抽象出来的.作为“既有大小又有方向的量”的代表，“力”是物理学中非常重要的分支——牛顿力学和理论力学的主角，将其视为“平面向量”的大背景是合情合理的.依据这个大背景，教师可以提出如下大问题：“如何从数学角度刻画某些具有大小和方向双重特征的研究对象，进而明确它们的关系，探究它们的运算，建构它们的模型，从而解决问题？”

2.建立大框架，明确大思路

大问题的解决无法一蹴而就，需要条分缕析，逐级分解.大问题应统摄一系列中问题（情境问题）、小问题（中心问题）、子问题（基本问题），形成结构化的大框架和层次化的大思路.“元指导”应尽可能地建构以大问题为核心的问题体系，形成解决大问题的技术路线图，凝练教与学的单元大观念.下面以案例“解决‘平面向量’单元大问题的大框架与大思路”说明.

【案例】解决“平面向量”单元大问题的大框架与大思路

大观念：建立向量模型及简化可以用代数运算描述几何图形的规律.

大问题：如何从数学角度刻画某些具有大小和方向双重特征的研究对象，进而明确它们的关系，探究它们的运算，建构它们的模型，从而解决问题？

中问题（情境问题）1：在光滑斜面上滑动的木块，随着斜面坡度增大，其下滑的加速度也随之增大.这个运动中含有哪些物理量？

小问题（中心问题）1：向量是一种怎样的数学工具？

子问题（基本问题）1：（1）这些物理量具有什么共同特征？（2）如何定义才能准确描述这个事实？（3）向量具有哪些特征？（4）向量具有哪些性质？

中问题（情境问题）2：在光滑斜面上滑动的木块，受到重力G与支持力N向下的一个合力的影响.而若斜面不光滑，则木块的运动状态会受到摩擦力f、重力G以及支持力N的合力的影响.如何求这两种状态下这些力的合力以及所做的功？

小问题（中心问题）2：如何研究向量的运算？

子问题（基本问题）2：（1）有关向量的运算，我们需要研究哪些内容？（2）有关向量的运算，需要采用什么研究方法？

中问题（情境问题）3：木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向下的力，则G=F1+F2，即重力G分解为力F1和F2，因而重力G可以用力F1和F2来表示.这里，F1和F2是不共线的两个力.那么，平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？

小问题（中心问题）3：如何用向量来表示几何基本元素？

子问题（基本问题）3：（1）平面内任一给定向量能否用两个不共线的向量表示？（2）对于任意给定的向量，有多少组不同的基底与其对应？（3）如何选取合适的基底进行运算？（4）如何对向量进行坐标表示？

完成大框架和大思路的建构，需要关注以下三个方面.

第一，尽量引导学生成为搭建框架和探究思路的参与者，并追溯清楚每一个问题的来源.比如在上述案例中：中问题1～3旨在承接单元大背景，分解落实单元大问题，紧密关联学生的生活经验，在具体的问题情境中揭示学习的必要性与合理性；小问题1旨在界定和表征向量概念，锚定思维起点，探明研究基础，揭示用数学方法刻画和研究现实事物的一般观念；小问题2旨在激活向量运算对已有运算经验的同化和顺应，探究借助代数运算刻画几何对象的思路与方法，揭示从几何直观到代数直观再到代数抽象的发展逻辑；小问题3旨在探寻用代数方法论证几何关系的核心要素，揭示向量法与坐标法的应用逻辑.

第二，问题的价值在于驱动学生的思维，促使学生学会学习，因此不必纠结于问题是否都能解决，尤其在单元导学阶段，问题在于引思而不在于释疑.对于问题的处理，可以采取两种方式，即完全解答（包括教师解答、学生讨论解答）和部分解答.

第三，为了让问题体系更清晰，更有层次感，可对小问题进一步细化分解.

3.形成大策略，寻求大方法

建构大框架是基于知识发展的内在逻辑，而形成大策略应遵循学生思维发展的内在规律.因此，笔者提出了如下策略方法.

（1）归纳、抽象、建模

数学概念和数学定理的建构离不开归纳、抽象、建模的思维策略.在“平面向量”单元学习中，教师应让学生亲历完整的抽象建模过程，包括感知与识别丰富的力学背景，抽象与归纳向量的概念及运算，分类与概括向量的关系，建构与表征向量模型并解决问题.

（2）对照现实，获取经验

数学概念是对现实问题的抽象概括，数学研究对象与现实世界中的研究对象存在一致性.“平面向量”单元学习中，应通过考察力的基本关系和基本运算来建构向量的基本关系和基本运算，如以力的合成对接向量的加法，以力的分解对接向量的减法、平面向量基本定理以及向量的坐标表示，以共线力求合力对接向量的数乘，以力做功对接向量的数量积等.

（3）类比实数运算，同构向量研究

解决新的问题需要借鉴已有的相关经验，通过类比可以发现新旧问题之间的相似性，获得解决问题的灵感.实数系是研究运算对象的示范样本，向量运算概念、性质及运算律都可以类比数的运算进行研究，但需要注意在运算的原理、方法、规律方面发生的变化.

（4）向概念和定理溯源

数学概念和定理是数学大厦的地基，是数学思维的出发点.向量概念为向量表示、向量关系、向量运算提供支持，向量关系为向量运算提供依据.

（5）寻找向量关系与向量运算的几何直观

数学研究对象是从数与形两个方面对现实世界抽象的结果，数与形是分析、解决数学问题的重要抓手.对于向量的基本关系和基本运算，应从作图的角度加强理解，应强化将遇到的数量关系设法用几何图形表示的意识，还应注意文字语言、符号语言和图形语言之间的相互转换.

综上，基于数学核心素养的单元学习“元指导”，有助于学生形成数学学科的一般观念与解决问题的基本思路，实现高认知挑战和深度学习，改进与创新学习方式.在教学中，教师要继续深化对“元指导”的研究，寻找更多、更优的路径、策略，不断助力对学生核心素养的培育.