数学实验：通往核心素养的重要途径

王小琦

【摘要】数学实验是通往核心素养的一条重要路径.数学实验之所以能够有效培育数学学科核心素养，一个很重要的原因就是在数学实验的过程中，客观存在诸多数学学科核心素养培育的可能.教师以培育核心素养为目的去设计数学实验非常重要.基于此，文章从核心素养培育过程中数学实验的价值出发，以初中数学“三角形的初步知识”教学为例，深刻剖析了数学实验促进核心素养培育的相关案例，希望引导学生在数学实验中理解核心素养内涵.

【关键词】初中数学；数学实验；核心素养

为了落实“立德树人”的教育目标，国家层面提出了核心素养的概念，相应的各个学科也就有了学科核心素养.借鉴高中数学学科核心素养的界定，在初中数学教学中，教师也应当致力于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析以及直观想象等素养.当然必须明确的是，这些数学学科核心素养要素的培养并不是齐头并进的，也不是各自独立的，在某一个知识点的教学过程中，在某一节数学课堂上，数学学科核心素养的不同要素应得到不同程度的培养.在确定了这一认识之后，还有一点值得思考，那就是对传统的初中数学教学过程进行怎样的优化，才能让核心素养落地的过程变得更加顺利？对于这个问题，笔者认为需要在教学实践的过程中探索其答案.行是知之始，知是行之成.对于初中数学教学的已有传统来说，“敢探未发明的新理，敢入未开化的边疆”应是数学教师的必备品质.有专家在若干年前提出了数学实验的概念，并且在初中数学教学中进行了实验与推广.在核心素養的概念提出之后，在探究数学学科核心素养落地途径的过程中，可以发现数学实验是通往核心素养的一条重要路径.

一、核心素养培育过程中数学实验的价值

寻找数学学科核心素养落地的途径，本质上是让理论化的核心素养阐述变成数学课堂上教师的实施策略与方式.比如说，数学抽象作为数学学科核心素养的第一要素，其既是学生应当获得的素养，又是学生数学学习的一个过程，也就是说数学抽象素养是在数学抽象的过程中获得的.同样的分析可以发现，其他数学学科核心素养要素也具有类似的特征，因此过程就变得非常重要，也因此在初中数学教学过程中，只有赋予学生一个良好的学习过程，其数学学科核心素养才能得到切实的培养.打一个比方，培育学生的数学学科核心素养就如同培育一棵树苗一样，应当将养分（等同于数学学科核心素养的各个要素）通过科学的配比提供给树苗，然后让树苗自己去吸收，自己去成长.

那么数学实验能不能提供这样一个过程呢？众所周知，数学实验教学是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程.在这个过程当中，数学实验的价值在于教师在学生实验的过程中，可以更多地通过提问去引导和启发学生学习、研究数学问题，这个过程中的教师仍然处于主导的地位，而学生处于主动学习的地位———这一点非常重要，意味着学生不再处于被动学习的状态.通过数学实验、课堂观察、操作体验，不同层次的学生可以更有效地参与课堂，其手、脑能高效率地动起来.因此，数学实验教学可以更好地帮助学生提升数学核心素养.当然这只是一个宏观阐述，从微观的角度来理解核心素养培育过程中数学实验的价值，还可以有如下两点理解：

其一，核心素养培育的主体是学生，核心素养培育的过程伴随着学生的学习过程.借助数学实验可以优化学生的学习方式，帮助学生走出长期以来所形成的埋头苦读、应付考试的窠臼，在做的过程中既形成丰富的表象，又学会用数学语言描述自己的学习收获，这里就有丰富的数学学科核心素养的要素.

其二，数学实验可以更好地促进学生从形象思维走向抽象思维，从经验积累走向数学知识体系的建立.学生在完成数学实验的过程中，从视觉输入信息，并且与已有的经验发生相互作用，然后通过做的方式实现相互作用过程中生成的理解的输出，同时在做的过程中，往往又会有新的发现，于是数学实验也就使得学生的数学学习过程成为一个螺旋上升的过程.在这个过程当中，作为形象思维对象的表象不断转换为数学语言，这里也就伴随着数学抽象与逻辑推理以及数学建模的过程，数学学科核心素养的培育也就有了充分的保证.

二、数学实验促进核心素养培育案例分析

赋予数学实验以核心素养培育的重任，让数学实验成为核心素养培育的途径，一个很重要的研究空间就是课堂教学实践.从数学实验的基本环节来说，数学实验的教学模式可以概括为四大环节，即创设情境、动手实验、提出猜想、验证猜想.一般认为数学实验的目的在于培养学生追求探究知识的品质.因此，在日常的数学实践教学中，教师除了要引导学生参与数学实验，还要强化对学生思维能力以及认知能力的培养.

在初中数学“三角形的初步知识”的教学中，可以设计数学实验的环节较多，具体要根据学生的认知基础以及教学需要来选择与判断，笔者这里就自己的实践案例，谈谈一些想法.

案例1 “三角形的角平分线、中线和高线”的学习

在学习这一内容的时候，三角形在学生的思维当中已经是一个抽象好了的图像.这个时候将“三角形的‘角平分线‘中线和‘高线”的概念提供给学生，学生的反应是不同的：看到“角平分线”时，一般能够想到“平分角的线”；看到“中线”和“高线”时，往往无法凭借自身的想象去形成直观的理解.这时，教师就可以采用分类教学的策略：对于“角平分线”的教学，可以让学生画出三角形，然后去画角平分线，这也是一个动手的过程，符合数学实验的基本特征，但学生思维当中所加工的对象，更多的是抽象的图形；在学习“中线”和“高线”的时候，可以让学生有更多的操作空间，比如让学生裁剪出一个三角形，然后用折叠的方法找出三条边的中点，再连接这个中点和与这条边相对的顶点，通过这种方式得到的中线（考虑到高线的得出过程与中线的得出过程比较类似，这里就不重复阐述），与通过测量方式得到的中线，在学生大脑中形成的表象清晰程度是不一样的.学生通过自己的动手操作获得直接的感性经验，在感性经验的基础上再建立起对中线的理解，印象会更加深刻.从数学学科核心素养培育的角度来看，在这样的数学实验过程中，学生通过动手操作而形成表象，通过对表象的加工完成数学抽象，通过运用数学语言去描述数学抽象的结果.有了这样一个过程，数学抽象以及数学建模（数学概念以模型的形态存在）就能得到充分的培养.

案例2 “全等三角形”的教学

对学生已有的认知进行研究可以发现，面对“全等”，学生往往会有“全部相等”的基本认识，这时如果教师适当地加以引导，学生就可以从边和角两个角度去理解全等，于是就会生成“全等三角形就是三条边和三个角都相等的三角形”.这实际上是一个合情推理和逻辑推理相结合的推理结果，本身蕴含着数学学科核心素养中的逻辑推理这一要素的培养过程.更重要的是，在这样一个学习过程当中，学生往往会自发的产生一个问题（根据上面的阐述，发现并提出问题往往是数学实验的开端）：如果要判断两个三角形是否全等，是不是非得三条边和三个角都相等呢？

这个问题的解决完全运用逻辑推理并非不可以（事实上好多版本的教材就是通过逻辑推理来让学生证明的），但是如果完全采用逻辑推理，并不符合初中生的认知特点.反之，如果运用数学实验，让学生在做的过程中有所发现，反而可以激发学生内在的逻辑推理动机，有了这种动机，逻辑推理的过程就不会枯燥，因此学生的学习过程就会是一个良好的认知与情感相互搭配、相互促进的过程.

笔者设计的数学实验是：先裁剪出一个三角形，然后从三条边和三个角都相等出发，逐步减少条件，去不断地得到新的三角形，然后看新的三角形与原先的三角形能否完全重合.这一教学设计的灵感来自教材上的设计———教材设计让学生用刻度尺和圆规在一张透明纸上画三角形，然后看不同学生画的三角形是否能够互相重合.将尺规作图的过程变成制作三角形纸片，然后去看纸片能否完全重合，这样学生会更加感兴趣.学生产生兴趣的最佳结果，就是他们愿意探究更多的可能.三条边和三个角这6个量之间的组合非常多，因此有很多可能性.对于这些可能性，有些学生会直接否决，如只有一条边或一个角相等的两个三角形绝不可能全等，这实际上就是直观想象的结果；而对于其他的可能性，学生就会在裁剪的过程当中推理、判断.

很显然这样的一个数学实验过程，既不是学生纯粹的动手操作，又不是纯粹的动脑思考，而是一个动手操作与动脑思考相结合的过程，这正是数学试验所追求的.在上述实验过程当中，学生不断试错，一个个猜想不断被证实或证伪，于是全等三角形的判定结果，在学生的大脑当中也就越来越清晰.举一个例子，在判断“边边角”是否可以作为三角形全等的判断依据时，不少小组所剪切出的结果是能够“证实”自己的猜想的，而当他们兴高采烈地说出自己的发现时，有的小组又会提出反对意见：同样是边边角，他们得到了不能完全重合的两个三角形.这样的结果自然会让他们思考：“边边角”不能作为判定三角形全等的依据的原因到底是什么？这个问题是在数学实验的过程中产生的，但是却必须运用逻辑推理来解决，因此这个环节对学生逻辑推理能力的培养是非常有效的.从数学学科核心素养的培育角度来看，在这一教学环节中，学生直观想象与逻辑推理素养得到的培养非常充分.

综观上述两则教学案例，可以发现的一个基本规律是：数学实验之所以能够有效地培育数学学科核心素养，一个很重要的原因就是在数学实验的过程当中，客观存在诸多数学学科核心素养培育的可能.借助于文章一开始所举的树苗培养的例子，在数学实验设计的过程当中，教师必须有意识地凸显出某些能够培育数学学科核心素养某一要素的过程，必要的时候还应通过对数学实验的优化设计，来达到数学学科核心素养的培育目的.比如在上面的第2个案例当中，笔者在学生实验的时候，给予充足的时间，允许学生提出任何问题，让学生有足够的时间探究自己提出的问题.这样学生才会在发现多种可能性之后，既能够基于自身的直观想象去判断，又能够选择有价值的猜想去推理，这样学生就能够充分运用自身的几何直观与空间想象去进行初步的判断，又能够在推理的过程当中合理运用逻辑，相应的这些数学学科核心素养要素，自然也就能够得到培育.从这个结果来看，教师带着核心素养培育的目的去设计数学实验非常重要.

三、在数学实验中理解核心素养内涵

理解核心素养的内涵，对于初中数学教师来说是一个重要的任务，尽管由国内教育专家领衔发布的《中国学生发展核心素养》中對核心素养的概念有明确的界定；相关的课标文件中，对数学学科核心素养也有清晰的定义.但是对于一线教师而言，其对核心素养以及数学学科核心素养内涵的理解，仍然有着非常大的进步空间.教师要生成属于自己的核心素养理解，最关键的就是结合自己的教学实践来进行.数学实验作为一个同时关注操作与思考的学习载体，能成为核心素养内涵理解的载体.这可以从两个方面来理解：

其一，作为课程内容的数学实验，目的是以实验为载体，展示数学的探索发现过程，使学生亲历这个过程，从中发现数学、体验数学、理解数学、运用数学、培养创新意识和探索精神.数学实验应体现活动化、操作化特征，注意返璞归真，在注意揭示数学概念定理的形成和发展过程以及展示数学问题的解决过程的同时，还要注意与基本的数学思想、数学方法挂钩，有机地和数学知识教学相互结合，相互促进.课程内容是一个重要的切入角度，将数学实验视作课程内容，本身就赋予了数学实验以核心素养培育的任务，这是因为数学学科核心素养原本就是数学课程的根本指向，数学实验与数学学科核心素养的天然吻合，决定了在前者当中实现后者的落地是可能的.

其二，数学实验在数学知识建构以及数学学科核心素养培育过程中的综合作用，使得学生在学习数学概念规律的同时，有充足的核心素养培育的可能.更重要的是，数学实验还可以对学生的学习产生积极的双向作用力———既可以促进学生对数学概念和规律的理解，也可以让学生在数学学科核心素养得到培育的同时提高自身的学习能力，形成关键能力，而这正是数学学科核心素养上位概念，也就是核心素养所强调的.

结 语

总的来说，基于数学实验对核心素养培育的促进作用，并反思数学实验与数学学科核心素养之间的关系，可以切实有效地培养学生的关键能力，让学生的学习品质得到提升，更可以让学生的数学学习过程变得高效.由此展望数学实验在初中数学教学中的运用，笔者认为有着更为广阔的运用空间，这个空间既存在于课堂之上，也存在于课堂之下，课堂之上教师引导下的数学实验，可以演变为课堂之下学生的数学实验意识，这种演变对于学生的数学学习来说是至关重要的，其决定着学生对数学课程的理解以及自身的学习品质，是核心素养培育的坚实基础.

【参考文献】

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