解答圆锥曲线最值问题的几个“妙招”

王小锋

圆锥曲线最值问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线问题的命题形式较多，常见的有求某条线段的最值、图形面积的最值、参数的最值、离心率的最值、点到曲线的最小距离等.下面结合几道例题，来谈一谈解答此类问题的“妙招”.

一、利用几何图形的性质

圆锥曲线中的圆、直线、椭圆、双曲线、抛物线均为平面几何图形.在解答圆锥曲线最值问题时，可根据题意画出几何图形，并添加合适的辅助线，将问题看作平面几何问题，利用平面几何图形的性质，如圆锥曲线的几何性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，以及正余弦定理、勾股定理等来解题.

解：设P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），

由椭圆的焦点弦公式得，|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1，

在△PF1F2中，由余弦定理可得：

解：设椭圆的右焦点为E，连接BE，AE，如图所示.

由椭圆的定义得：AF+AE=BF+BE=2a，

贝C△FAB=AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）

=4a+AB-AE-BE.

在△AEB中，AE+BE≥AB，

所以AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号.

所以AB+BF+AF=4a+AB-BE≤4a，

即直线x=m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大.

即AB=3.

因此，当△FAB的周长最大时，S△FAB=3.

我们首先根据题意作图，并添加合适的辅助线，即可根据椭圆的定义建立线段AF、AE、BF、BE之间的几何关系；然后根据三角形的性质：两边之和大

于第三边，建立不等关系式，从而确定△FAB的周长最大时的情形：直线x=m过椭圆的右焦点E，进而求得问题的答案.

二、利用三角函数的有界性

在解答圆锥曲线问题时，可以将曲线上的动点用圆锥曲线的参数方程表示出来，或将问题中的角用参数表示出来，这样便将圆锥曲线最值问题转化为三角函数最值问题.再利用三角函數的基本公式来化简函数式，即可根据正弦、余弦、正切函数的有界性解题.

在用角的三角函数表示出目标式后，需根据三角函数的辅助角公式、两角和公式等将目标式化为余弦函数式，即可根据余弦函数的有界性求得最值.一般地，在用三角函数的有界性解答圆锥曲线最值问题时，通常可利用三角函数的单调性和图象来确定函数的最值，以确定三角函数的有界性.

三、构造函数

在求得目标式后，我们可以将其中一个变量视为自变量，将目标式看作函数式，即可将圆锥曲线最值问题转化为函数最值问题.然后根据函数单调性的定义，或对函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，直接根据函数的单调性求最值.

解：设过原点且倾斜角为θ的直线为y=xtanθ，

可见，解答圆锥曲线最值问题，可以从几何和代数两个角度入手，分别运用平面几何图形的性质、三角函数的有界性、函数的单调性来解题.同学们要学会灵活运用数形结合思想和转化思路来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.