借问题驱动 促知识生成——以“点到直线的距离”教学为例

江苏省沛县中学 (221600) 耿 刚

在日常教学中,很多教师急于求成,习惯直接将现有的知识、经验等讲授给学生,不注重知识生成过程,使得学生很多时候只知其然而不知所以然,影响学生学习能力的提升和思维能力的发展.实际上,教师在教学中应重视引导学生经历新知识的生成过程,充分挖掘蕴含其中的数学思想方法,帮助学生积累数学活动经验,掌握数学研究方法,让学生获得终身学习能力.笔者以“点到直线的距离”一课为例,谈谈对生成性教学的一点拙见,供参考.

一、课堂实录

1、情境引入,以旧换新

师:我们已经学习并掌握了两点间距离公式及其推导方法,现在请大家结合已有经验分析这样一个问题.(教师PPT出示问题)

问题情境:某市风景秀丽、气候宜人、文化厚重,一年四季都有很多游客前来观光.为了更好地推动旅游业的发展,政府决定建造一个新的火车站,这个火车站建在哪里才能使火车站和飞机场的旅客往返方便呢?结合以上情境,请说一说你的想法.

教师预留时间让学生结合以上情境进行深入思考与交流,并鼓励学生提出自己的问题,基于学生提出的问题进行归纳总结,形成如下问题:

问题1 如何确定火车站的位置,使得火车站到飞机场的距离最近?

追问1:如果将问题1转化为数学问题,可以如何理解?

师生活动:在探究过程中,部分学生认为应将该问题抽象为两点间的距离问题,教师及时启发和引导,最终达成共识:将该问题抽象为点到直线的距离问题.将火车站和飞机场抽象为一个点P,铁路线为一条直线l,而火车站为这条直线上的一个点,这样若想求最短距离,就是求点到直线的最短距离.

追问2:你是如何理解点P到直线l的距离的?

生1:就是点P到直线l的垂线段.

追问3:在平面直角坐标系内,若点P的坐标为(x,y),直线l的方程为Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离呢?

设计意图:教师着力创设合适的教学情境,引导学生发现并提出数学问题,通过对问题的深入探索把握数学的本质,形成和发展数学核心素养.激发学生探究热情.本环节,教师以生活情境为背景,鼓励学生根据现实情境提出问题,以此自然引出本课研究的主题—点到直线的距离.

2、自主探究,生成公式

问题2 已知点P的坐标为(-1,2),请求出点P到下列直线的距离d.直线方程如下:

(1)l:x=5;(2)l:y=-2;(3)l:2x+y-10=0.

问题给出后,教师让学生独立求解,然后提供时间让学生交流展示自己的解题过程.问题(1)和问题(2)是学生熟悉的内容,几乎所有人都给出了正确的答案,对于问题(3),部分学生犯了难,教师重点呈现问题(3)的解答过程.

师:谁来说一说,问题(3)该如何求解呢?

生2:过点P作PQ⊥l于点Q,求出PQ的直线方程,然后求出点Q的坐标为(3,4),这样利用两点间的距离公式,可以求出PQ的长.

师:是个不错的方法,利用已有经验将问题转化为两点间的距离问题,做到了活学活用.你们还有其他方法吗?

师:也是一个不错的想法,利用间接法也求出了点到直线的距离.对比以上两种方法,你认为哪种方法更好呢?请大家选择一个合适的方法解决下面这个问题.(教师PPT出示问题)

问题3 已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0(A≠0且B≠0),求点P0到直线l的距离(用x0,y0以及A,B,C表示).

教师先尝试让学生独立解决,然后鼓励学生合作探究,对比分析,学生理解并掌握推导方法后,教师又运用微课分别展示用直接法和等面积法推导点到直线的距离公式的过程.这样通过交流与展示,有利于公式的理解与深化.

师:刚刚在推导公式时有一个限定条件,即A≠0且B≠0,若A=0或B=0时,该公式是否成立呢?

师:很好,也就是说在推导公式时,我们需要分三种情况讨论.为了避免出现错误,我们在运用点到直线的距离公式时需要将方程转化为一般形式.

设计意图:通过由浅入深的问题,引导学生经历公式生成过程,让学生充分体会数学探究的乐趣,提高学生探究的积极性.在此过程中,教师鼓励学生从不同角度探寻不同的推导方法,以此发散学生的数学思维,提高学生分析和解决问题的能力.同时,在推导过程中,通过分类与整合的数学思想方法渗透,培养的思维的严谨性和深刻性,促进学生数学核心素养的落实.

3、公式运用,深化理解

例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面积.

设计意图:通过简单的例题帮助学生巩固公式,让学生体会用代数问题解决几何问题的优越性,培养学生数形结合意识.在此过程中,教师重视呈现学生的思考过程,这样既可以检测学生基础知识的掌握情况,又能达到规范解答的目的,提升学生解题技能.

4、归纳总结,知识升华

师:请从知识、方法、思想等方面归纳总结本节课学习的内容?谈谈你有哪些收获?

设计意图:教师让学生先思考后交流,以此在思考中深化理解,在交流中积累经验.通过合作交流,学生总结归纳了点到直线距离公式的推导方法,深化了对数形结合、转化化归、特殊到一般、分类讨论等数学思想方法的理解,提高了学生数学思维品质,促进了学生数学核心素养的发展.

二、课堂反思

1、创设有效情境,培养学生问题意识

数学是一门较为抽象的学科,为了淡化数学知识的抽象感,激发学生的探究欲,教师不妨从教学实际出发,创设有效的教学情境,让学生在情境中体验、思考、交流,鼓励学生自主提出和解决问题,培养学生问题意识,激发思维活力.值得注意的是,教师应重视从生活实际出发,创设一些与生活紧密联系的教学情境,引导学生学会用数学眼光观察现实问题,发展学生数学素养.

2、创设有效问题,落实“四基”“四能”

问题是思维的起点,是诱发思考的内驱力.教学中,教师应切实从教学实际出发,创设有效的问题,让学生在问题的驱动下经历知识形成、发展、应用这一完整的数学认知过程,以此让学生全面深刻地理解知识,促进“四基”“四能”的落实.本节课以问题为主线,让学生在问题的引领下自主推导公式、应用公式,通过经历自主探究的过程,促进学生数学核心素养的提升.

3、关注生成过程,促进思维发展

数学教学其实质是数学思维的教学,发展学生数学思维能力是数学教学的重中之重.在概念、公式等基础知识教学中,若教师忽视知识生成过程,把精力放在这些基础知识的应用上,那么将错失许多发展学生思维能力的素材和时机.在课堂教学中,教师要多提供机会让学生经历知识生成过程,让学生学会用数学思维思考和解决问题,以此让学生的数学思维和数学素养得以开花结果.

总之,数学教学不是单一地传授,而是提供更多的机会让学生自主探究,提高学生数学学习的主动性,培养学生乐于思考、勤于探究的良好学习习惯,让学生学会用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,促进学生数学核心素养的落实.