例谈初中三角函数解题技巧

甘芝明

【摘要】三角函数中涵盖诸多公式、学习要点，是各类考试的热点，也是学生学习的难点.且在教学实践中，学生常常受到诸多因素制约，致使其在解答三角函数试题时，面临诸多困难.基于此，文章以学生解答三角函数试题为切入点，分析了三角函数试题的考查知识点和要求，并从不同角度提出了针对性的解题路径，旨在提高初中生的三角函数解题能力.

【关键词】初中数学；三角函数；解题技巧；课堂教学

在初中数学知识体系中，三角函数是重中之重，其中涵盖了大量的数学公式、数学定理以及相关的函数图像.学生在初次接触这一部分知识时，由于三角函数知识存在极强的抽象性，致使学生在解题时频频碰壁；从考试的角度来说，三角函数题目类型多变，且常常与其他知识点结合起来，呈现出极强的综合性，也在很大程度上增加了学生的解题难度.鉴于当前初中生在三角函数解题中面临的“吃力”现象，教师应精准分析学生在解题中常常出现的错误，调整课堂教学方案，加强基础知识教学，促使学生在基础知识学习中“知其然知其所以然”；同时，结合不同的题目类型加强解题教学，促使学生在解题训练中逐渐构建成完整的解题思维模式，掌握基本的解题技能，循序渐进地提高自身的数学解题能力.

一、初中三角函数解题中学生常见错误分析

由于初中三角函数题目中涉及的知识点和公式比较烦琐，导致学生在解题时，常常因为对定义理解不够深刻、解题技巧匮乏、理解能力较弱等，出现各种各样的错误.具体来说，集中体现在以下几个方面：

（一）概念不清导致解题错误

（二）基于等角或同角代换，解答题目

在解答三角函数问题时，学生常常会遇到一些难度比较大的问题.如果按照常规的思路解答问题，学生会面临极大的困难，甚至还会出现各种各样的失误现象.对此，在开展解题时，教师可运用“同角代换”或“等角代换”的方式，通过角“位置”的变换，将所求角的問题转化到易于求解的三角形中，进而顺利解答.

例2 如图1，在4×5的正方形网格中，已知每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点在格点上，求sin∠ACB的值.

分析 在这一题目中，主要考查了“同角代换”的知识点.结合题目中已知条件和信息可以得出，△ABC不是直角三角形，因此无法直接利用直角三角形求出sin∠ACB的值.教师可以引导学生借助“等角代换”的思路，在BC边上取一点M，使得CM=3，连接AM（如题图1），则有∠ACB=∠ACM，如此即可将sin∠ACB的值转化到Rt△AMC中.

（四）融入数学模型，解答三角函数问题

在三角函数试题中，还有部分题目非常接近学生的实际生活.这一类问题，由于其难度比较大，学生在解答问题时，不仅要具备坚实的基础知识，还应具备极强的综合素养，对实际问题进行分析，并据此构建数学模型，将原本复杂的问题转变为典型的数学问题，进而运用所学的数学知识进行解答.

例4 一艘小船要从河的南边向北移动，河对岸有一座高山，在船的北偏东30°方向.现该船以24海里/时的速度正在向北方移动.当行驶15分钟后，高山在船北偏东45°的方向，求该船出发时距离高山的距离是多少？

分析 本题是典型的“三角函数”在实际生活中的应用问题.在解答这一问题时，可融入数学模型思想，结合题意，画出相关图形（如图2），将其抽象为解三角形问题，进而运用相关知识完成题目的解答.

三、基于三角函数的解题教学启示

（一）加强基础知识教学

由于三角函数中涵盖的知识点比较繁杂，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，且每一个函数都有对应的函数图像.教师要想真正提高学生的三角函数解题能力，只有全面加强基础知识教学，使学生在学习中真正理解三角函数的定义、概念和内涵，才能为其日后解题奠定坚实的基础.

（二）强化思维训练，促进学生数学思维发展

针对初中数学三角函数的解题来说，学生在解题时需要通过转化、抽象等方式，完成题目的解答.而这一过程对初中生的数学思维能力要求相对比较高.对此，在三角函数教学时，教师必须灵活开展课堂教学，促进学生数学思维能力的发展.一方面，数形结合.因为三角函数与三角形之间存在密切的联系，在引导学生开展学习时，教师可充分借助数形结合思想，促使学生在“数形结合”中，深刻理解三角函数知识，数学思维也得到发展；另一方面，教师可充分利用多媒体信息技术，将其制作成为动态的课件，以便于学生在直观的感知中，完成知识的内化与思维的发展.

（三）兼顾学习与练习，全面提高学生的三角函数解题能力

教师在培养学生三角函数解题能力时，不仅要加强理论知识的教学，而且应设置必要的练习题目，引导学生在针对性的练习中，逐渐掌握一定的解题技巧，形成一定的解题能力.同时，在这一过程中，教师应结合学生的实际情况，坚持“由易到难”的原则，为学生选择针对性的练习题目，使得学生在层层递进的三角函数练习中，通过分析与总结，深化三角函数解题技巧，并逐渐提高三角函数解题能力.

（四）推进循环教学，形成逐层推进的学习理念

培养和发展学生的三角函数解题能力，是一项艰巨的、系统化的工作.但是在具体的学习中，由于学生的知识、能力、思维之间存在显著的差异，学生的三角函数解题能力参差不齐.对此，在优化课堂教学时，教师应努力转变传统的教学理念，基于层次化教学的方式，通过循循善诱的方式，引导学生在针对性的训练中，获得逐层发展与提升.

结 语

综上所述，三角函数是初中数学的一大难点，也是中考的热点.同时，这一部分知识的考查形式灵活多变，常常与其他的知识点结合在一起，具备一定的综合性.基于此，教师在日常教学中，只有转变传统的解题教学模式，指向三角函数考查的方向，引导学生以多角度思考、解答，才能促使学生在多维度解题中，数学解题思维得到发展，数学解题能力得到提高.

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