一道抛物线问题的思路突破与教学微设

陈超

1 考题呈现，思路突破

1.1 考题呈现

考题  （2021年常州市中考卷第28题）如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx （k≠0）和二次函数y=－14x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和B，过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上的一点（点D与点A，O，B不重合），E是射线AC上的一点，且AE=OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE，DF为邻边作平行四边形DEGF.

（1）填空：k=，b=；

（2）设点D的横坐标为t（t>0），连接EF，若∠FGE=∠DFE，求t的值；

（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P，若S△DFP=13SDEGF，求OD的长.

1.2 思路突破

本题为以抛物线为背景的函数综合题，题设三问，分别求直线与抛物线的特征参数，分析等角关系下的坐标值，以及探究几何面积的构建.

（1）点A和B为正比例函数与二次函数的交点，可采用待定系数法求特征参数.将点A（4，3）分别代入对应的解析式中，可解得k=34，b=1.

（2）该问探究当∠FGE=∠DFE时点D的横坐标，图象较为复杂，解析的关键是转化等角条件.

第一步，推导关键点的坐标.

如图2，在平行四边形DEGF中，有∠FGE=∠FDE，又知∠FGE=∠DFE，所以∠FDE=∠DFE，则EF=ED.点D在函数y=[SX（]34[SX）]x的图象上，其坐标设为t，34t（t>0）.由DF平行于y轴，可知Ft，－14t2+t+3.由△DEF为等腰三角形，知点E位在DF的垂直平分线上，故点E的纵坐标为1234t－14t2+t+3=－18t2+78t+32.

第二步，构建方程求坐标.

过点A作EG的垂线，设垂足为M，延长GE与x轴的交点设为N，如图2所示，则∠AEM=∠NEC=∠AOC，所以cos∠AOC=cos∠AEM=EMAE=45.又因为AE=OD=t2+34t2=54t，可解得t=15+1772（舍去），或t=15－1772，所以点D的横坐标t的值为15－1772.

点评：第（2）问的题设有两大特点：一是等角条件所涉角度与平行四边形的内角相关；二是平行四边形的一组对边平行于y轴.按照“等角转化—关键点推导—构建坐标参数方程”的思路进行解题，即首先将等角转化为等边条件，然后推导关键点的坐标，基于三角函数构建参数方程，进而完成求解.其中，平行四边形的特征性质与三角函数是破题的关键知识.

（3）该问设定S△DFP=13×SDEGF，求OD的长，需要构建面积模型，转化面积条件，然后求线段长.

第一步，转化面积条件.

当S△DFP=13SDEGF时，可推知DPDE=23.因为AB⊥FP，AB⊥AC，所以FP∥AC.设FP交AB于点Q，如图3，由平行线的性质可得DQDA=DPDE=23.

第二步，构建线段关系.

设直线FD交x轴于点H.由∠FDQ=∠ODH，得cos∠FDQ=DQDF=DHOD=cos∠ODH=35.因为DF=－14t2+14t+3，所以可知DQ= 35－14t2+14t+3，则DA=32DQ=32×35×－14t2+14t+3.又DA+OD=5，所以32×35×－14t2+14t+3+54t=5，可解得t=239或t=4（舍去）.故OD=54t=11536.

点评：

第（3）问则是将函数与图形面积紧密关联，同样特点鲜明：一是构建三角形与四边形的面积关系；二是隐含众多平行与垂直关系.故探究线段长需分步进行：转化面积关系条件，推导线段长，利用三角函数构建坐标参数方程.其中的破题方法特点突出，实用性强.

2 基于考题开展教学微设计

上述充分利用数学思想和解题方法来破解考题的后两问，教学中需要重视思维的引导，合理设问引导学生独立思考，帮助学生理解方法，形成自我的解题策略.下面基于第（2）（3）问开展教学微设计.

环节一：知识强化，初识图象

题干  如图4所示，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=34x和和二次函数y=－14x2+x+3交于点A和B，过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上的一点（点D与点A，O，B不重合），E是射线AC上的一点，且AE=OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE，DF为邻边作平行四边形DEGF.

设问1  根据函数解析式提取特征参数，并求点A，B，C的坐标.

设问2  理解构图过程，梳理条件，提取其中的几何性质.

设计意图：直接呈现函数解析式，强化特征参数，掌握求交点的方法，同时引导学生读题，把握图象构建过程，理解图象，提取几何性质，为后续探究作铺垫.

环节二：拾级而上，转化构建

在环节一的基础上，进一步设定：如图2，过点A作EG的垂线，设垂足为M，延长GE与x轴的交点设为N.设点D的横坐标为t（t>0），连接EF，∠FGE=∠DFE.

设问1  在平行四边形DEGF中，可以得出怎样的线段关系？△DEF有怎样的特性？

设问2  设点D的坐标为t，34t（t>0），请推出点F，E，N，M的坐标，并求OD，EM，AE的长.

设问3  分析可得∠AEM=∠NEC=∠AOC，是否有cos∠AOC=cos∠AEM？并求该函数值，

设问4  请在Rt△AEM中构建cos∠AEM，并求出t的值.

设计意图：将第（2）问的解析过程进行拆解，引导学生转化条件，推导关键坐标和线段长，利用三角函数构建方程求解，使学生充分体验解题过程.

环节三：思维发散，提升能力

在环节一的基础上，进一步设定：如图3，过点F作AB的垂线交线段DE于点P，若S△DFP=13SDEGF.

设问1  构建关于△DFP和平行四边形DEGF的面积模型，转化面积条件，分析DPDE的比值.

设问2  FP∥AC，图象中是否有相似三角形，DQDA与DPDE是否相等？

设问3  已知∠FDQ=∠ODH，在Rt△ODH中构建三角函数，求cos∠ODH的值.

设问4  根据上述三角函数构建的边长比例，推导DF，DQ，DA的线段长.根据DA+OD=5构建关于t的方程，进而求出OD.

设计意图：拆解第（3）问的解析过程，引导学生转化面积条件，充分利用三角函数知识来构建方程.同时引导学生体会解题的思想方法，感悟思想内涵.

解题教学建议采用教学微设计的方式，微设环节精选问题，合理拆解问题，通过设问来引导学生思考，探索解题步骤，体会解题过程，促进解题思维的发展.设计环节要注意两点：一是问题设计的连续性，采用连续设问来引导学生递进思考，促进思维形成；二是问题设计的导向性，关注学生的认知能力，利用具有引导性的问题来辅助学生思考.总之，整个教学环节要尊重学生的主体地位，给学生留足思考空间，以培养学生的解题思维为教学重点.

参考文献：

［1］张小丽.问题解读思路构建，方法探究思维提升——以一道抛物线为背景的考题为例[J].數学教学通讯，2021（5）：72-73，80.

[2]王玉兵.定点判断、轨迹求解、定义应用——一道抛物线试题的探究[J].中学数学，2021（9）：64-65.