“至简数学”教学的基本信念

课题信息：本文系中山市教育科研2020年度重点立项课题“‘至简数学的理论与实践研究”（课题编号：A2020019），广东省教育科研“十三五”规划2019年度教育科研一般项目“初中生数学核心素养测评研究”（课题批准号：2019YQJK349）的研究成果.

摘要：“至简数学”教学的基本信念是把被数学拒之门外的学生拉入门内，让对数学能知其然的学生知其所以然，促学数学乐在其中的学生站在其上．

关键词：至简数学;基本信念;立德树人

“至简数学”课堂有何特点？实际教学如何落实立德树人根本任务？笔者聚焦“至简数学”教学的基本信念，结合具体实例阐述如下．

1 把被数学拒之门外的学生拉入门内

初中数学课堂教学长期存在一个非常棘手的问题：为数不少的被数学拒之门外的学生学习状况得不到关注或改善．因为这部分学生没有或者很少参与数学学习，导致数学学科育人功能难以充分实现．“至简数学”直面这个难题，直白提出通过“让学生学简单的数学”改善学、“让学生简单地学数学”改善教、“让学生数学学得不简单”改善评[1]等措施着力“把被数学拒之门外的学生拉入门内”，这是“至简数学”教学的首要信念，也是“至简数学”落实立德树人根本任务的勇毅担当．

“至简数学”教学如何落实这一信念？

1.1 让数学教师走近学生，让学习意愿发生

如果数学教师认为学生学不学是学生自己的事情，那么被数学拒之门外的学生就难以改变了，因为他们也认为学不学是自己的事情，愿意继续选择放弃学习，不稀罕也不需要老师管．其结果就是不学的继续不学，学不好的继续学不好．因此“至简数学”主张教师提高站位，改变观念，放下身段主动走近学生，主动跟学生建立友好关系，用真心和热情去温暖和感化他们那颗“被数学伤透了的心”．俗话说：“冰冻三尺，非一日之寒．”那些因为听不懂、学不会而被数学拒之门外的学生对数学多年的畏惧、厌恶和绝望很难靠他们自己治愈，需要教师给他们温暖、希望、信心，引导他们重新产生对数学的学习愿望．随着师生不断深入了解，师生关系越来越密切，情感沟通越来越顺畅，学生在数学学习中慢慢获得成就感，逐步會产生主动学习的愿望．只有这样，才有可能把被数学拒之门外的学生拉入门内．

1.2 让数学知识走进学生，让数学学习发生

数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，数学学习有困难，这是客观事实．但是在被数学拒之门外的学生面前，必须让数学放弃自身的“高冷”，这需要数学教师通过直观、形象、具身等方式让其变得“平易近人”．“至简数学”教学倡导让数学主动走进学生．“至简数学”主张数学教师通过研究，让数学内容变得简易，让数学教学变得简明，让数学现象走进学生视野，让数学知识走进学生意识，让数学思想走进学生大脑，让学生数学学习真正发生．学生学习了“有理数的乘法运算”后要学习“乘方”，而“乘方”对学生来说是一个全新的抽象概念，为了能让班里每个学生的数学学习发生，笔者曾经这样展开教学．

请同学们计算下列各题：

（1）2+2+2+2+2+2+2+2；

（2）3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3；

（3）10+10+10+……+10+10+10（共有1 000个10相加）．

设计意图：这组题计算简单，能激起畏惧数学的学生的学习意愿．预设计算过程中有学生发现这三道题具有“相同加数”累加的特征，可以将“相同加数的加法”转化为乘法，即（1）可转化为2×8，（2）可转化为3×12，（3）可转化为10×1 000．

教师顺势表扬学生的发现，然后简单介绍“乘法”的产生过程．接着请同学们完成另一组题：

（1）2×2×2×2×2×2×2×2；

（2）3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3；

（3）10×10×10×……×10×10×10（共有1 000个10相乘）．

设计意图：这组题是将上一组题中的加法运算变为乘法运算.预设学生发现这些算式是“相同因数的乘法”，以为可以类比“相同加数加法”变乘法而将“相同因数乘法”转化为其他运算，然而学生此前不知道有此运算，迫使学生基于已有经验向未知领域探索．

上述教学片段采用了“零起点教学”，让数学走进学生．类似地，对于其他数学新知的教学，都可以通过离身知识具身化，抽象知识直观化，让学生看得见、摸得着、信得过、想得明，让数学走进学生，让每个学生的数学学习真正发生．

当然，对于数学基础特别薄弱的学生，仅仅通过零起点教学还不够，毕竟他们数学学习“欠账”太多，很多基础知识还需要教师有针对性、个别化地课前或课后辅导．这是“让数学走进学生”的补充方式．

1.3 让学生走进数学活动，让数学思考发生

数学活动承载着由具身到离身、由直观到抽象，由特殊到一般等探究数学新知的教学任务，学生在数学活动中往往经历操作、观察、实验、计算、数据分析、猜测、直观想象、抽象、讨论、推理、验证、归纳[2]等过程．教师在设计和组织教学活动时要循循善诱，关注并引导全体学生参与，促使他们的数学思考发生．实践证明，基础薄弱的学生刚开始是不自信、不专注的，但只要他们获得成功体验，就可能成为改变他们数学学习观念的关键转折，因为他们可能由此而获得对自己数学学习能力的认可．

接着上述教学片段，引导学生开展下列数学活动．

师：“相同乘数相乘”可以转化为什么运算？如果你是数学家，能不能创新提出一种新的运算？

设计意图：对学生来说，乘方运算是此前闻所未闻（提前预习者除外）的运算，设计这个活动能引导学生展开原创式数学思考．此时，无论数学基础好不好，他们都处于同一思考起点．

实际教学中学生能够提出各种千奇百怪、难以想像的观点．教师对学生的创新思考作出简单点评后，通过给学生讲“乘方”运算的历史对乘方运算进行定义，并完成相应的例题教学．

1.4 让学生走近数学精神，让数学育人发生

被数学拒之门外的学生因为没有参与数学学习，不仅难以获得必备的数学知识，不能发展基本的数学素养，体验不到数学思考的幸福，感受不到数学文化的熏陶，而且无法获得数学精神的滋养．反之，学生只有获得了数学精神的滋养才算真正进入数学的门内，也才表明数学教学真正落实了立德树人．

仍以上述教学片段为例，如果学生因为觉得自己不会或者认为问题很难就放弃探究，甚至拒绝思考，教师就要及时鼓励他们勇敢尝试，勇敢坚持.学生只有通过勇敢的数学思考和问题探究，才能获得数学学习进步，提高学习兴趣，建立学习信心，养成良好习惯.如此才能让数学育人发生，才能帮助学生形成质疑问难、理性思考、自我反思和勇于探索的数学精神．

实践发现，为数不少的被数学拒之门外的学生具备良好的数学学习潜能，每个班级每年有不少于5%的40分以下成绩的学生经过一年的努力能达到优良水平，特别突出的学生中考时能接近满分．

2 让对数学能知其然的学生知其所以然

为什么班级里部分学生数学学习状态总是不愠不火、动作总是不紧不慢、水平总是不高不低？原因有多方面，可能学生态度不积极、基础不扎实、能力不强、习惯不好，也可能教师对学生鼓励不够，但均可归因到一点，就是这部分学生对数学只知其然而不知其所以然．如果学生对数学知识、思想、方法等知其然且知其所以然，就会增强学习兴趣、信心、动力，就能有获得感和幸福感，状态就能更好，水平就能更高．为此，竭力“让对数学能知其然的学生知其所以然”是“至简数学”教学的核心信念，也是“至简数学”落实立德树人的立论之本．

“至簡数学”教学如何落实这一信念？

2.1 释“为何学”之疑，回归数学历史

为了把被数学拒之门外的学生拉入门内，零起点教学成了常态．虽然担心因此会耽误数学基础好的学生的学习，然而调查发现大多数学生喜欢零起点教学这种方式，他们认为有助于厘清知识的来龙去脉，感觉更有趣味感和安全感，而且对学校组织的期末考试成绩横向和纵向分析，表明零起点教学对不同程度学生提升数学素养均有益．零起点教学大多需回归知识的原点，通过分析知识的发生和发展为学生解释“为何产生此知识”“为何学习此知识”等疑问．同时，经历这个过程的学生能够习得回归知识原点的思维．仍以上述“乘方”教学为例，引入新课的两组问题就是“乘方”产生的原点，学生通过类比可知“乘方”是“相同因数乘法”运算的简化形式．有此原点思维，学生不仅容易理解“乘方”的概念和意义，而且在后续遇到问题时还能回到原点用最“原始”的思维思考并解决问题．

2.2 解“是什么”之惑，把握数学本质

只知其然不知其所以然的学生普遍存在的问题是“浅层学习”．对数学概念、法则、公式、定理等究竟“是什么”一知半解．只了解字面意思，不理解其深刻内涵；只了解表面现象，不理解其抽象本质；只了解片面用法，不理解其丰富思想．事实上，从直观、形象、具身的现实生活中抽象出数学概念、法则、公式、定理等对很多学生来说很难一蹴而就，往往需要通过具体实例反复操练，需要通过深度思考反复推敲，需要重复演绎反复抽象，学生才能真正理解，把握本质．还以上述“乘方”教学为例，学生了解“求n个相同因数的积的运算，叫做乘方”这句话就行了吗？不行！学生要知道为何学乘方以及乘方概念的由来，要通过具体实例抽象出乘方的定义及其形式的规定，还要深刻理解底数和指数代表的意义，要能熟练说出任何乘方或幂的实际涵义，如说出-23和（-2）3以及23+2和23+2的区别，只有这样才能知其然且知其所以然．

2.3 答“有何用”之问，掌握数学思想

为什么有些学生常常问老师同一个问题，他们在数学学习中认真过、努力过、坚持过，可是为何依然不得要领、学不得法？成绩依然徘徊不前？究竟哪里出了问题？实际上，这部分学生数学学习通常是“浅尝辄止”，潜意识里学任何内容都要质疑学习数学有何用.他们学习处于被动状态：被动听课，老师教什么就学什么，不过多追究；被动作业，老师布置什么就做什么，不额外追练；被动总结，老师总结什么就记什么，不深入追问．如果反过来，对没听明白的问题深入追究，对掌握不牢的问题积极追练，对知识和思想方法不断追问，对例题或其他感兴趣的问题进行拓展，就能深刻掌握数学思想方法．例如学习“乘方”这节内容时，有学生提出如下问题：

既然研究“相同加数”的加法和“相同因数”的乘法，为何不研究“相同减数”的减法和“相同除数”的除法？比如：（1）2-2-2-2-2-2-2-2-2-2可转化为什么运算？（2）2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2可转化为什么运算？

一石激起千层浪.全班学生围绕这两个问题展开讨论，发现“相同减数”的减法可转化为“相同加数”的加法，进而转化为乘法，2-2-2-2-2-2-2-2-2-2=2+（-2）×9；“相同除数”的除法可以转化为“相同因数”的乘法，进而转化为乘方，2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2=2×1 29．

经历上述讨论，学生对乘方的意义及其应用就会有更深刻的理解，相应地，也熟练掌握了乘方运算蕴含的数学思想．

实践发现，学生在数学学习的过程中，如果既知其然又积极探索其所以然，往往能使探究兴趣更强，数学素养更高．

3 促学数学乐在其中的学生站在其上

同一个班级里的学生数学基础差异很大，有人可能完全不会，有人可能全部都会.对于学有余力乐在其中的学生，要引导他们不满足于较强的解题能力或者优异的考试成绩，通过设计“分层提问”“分层作业”“分层指导”激发他们数学探究的兴趣，培养他们用数学解决学习与生活难题的胆识和战胜困难的意志和毅力，让他们常常能体会到数学挑战的艰辛，品尝数学探究的乐趣，提炼数学耕耘的成果，收获数学素养的提升．因此，通过教师的引领“促学数学乐在其中的学生站在其上”是“至简数学”教学的特别信念，也是“至简数学”落实立德树人的关键作为．

“至简数学”教学如何落实这一信念？

3.1 赏识学生自主学习，引导学生站在教材之上

优秀的学生都有自主学习的习惯，反之，有自主学习习惯的学生都优秀．教师赏识学生自主学习，不仅是对他们自主学习宝贵品质的肯定，也是对他们進一步提高自主学习能力的鞭策．同时，还要指导学生自主学习的方法，比如引导学生学会通过文献阅读深刻理解教材中的数学知识与思想，能够站在教材之上理解数学．

3.2 鼓励学生攻坚克难，引导学生站在题目之上

对于学有余力乐在其中的学生来说，解决课程标准规定难度的常规问题绰绰有余，因此这些学生需要学会课外自主寻找并攻克有意义的难题，培养自己攻坚克难的意志和毅力．除了解题，学生还要学会通过分析问题的背景、条件、结论、图形等进一步分析问题包含的数学知识和蕴含的数学思想方法等；对于一些函数或图形问题，可以借助几何画板等数学工具或其他现代信息辅助技术，如遇技术难题，可以请老师提供技术帮助．同时，学生还可以尝试自己命题，比如通过模仿、改编甚至原创一些题目，通过教师的引导学会站在题目之上解决数学问题．

3.3 激发学生应用创新，引导学生站在数学之上

有意识地激发学数学乐在其中的学生的应用意识和创新意识是必要的．如果希望学生能在数学上有所建树，必须尽早有意识地引导学生应用创新．引导学生开展跨学科项目式学习，在应用数学解决实际问题的过程中解决新问题，发现新规律，提出新思路，得到新结论．通过引导学生在综合实践活动中的应用创新，学生能够站在数学之上理解数学，应用数学，甚至发展数学．

实践证明，对于学数学乐在其中的学生，只要引导得法，他们往往能有惊人的表现.比如学习“乘方”这节课后，有学生根据加法和乘法都有逆运算提出乘方也应该有逆运算，于是通过自主学习了解了开方运算，经教师提示开方只是乘方逆运算的一种，过一段时间他们又了解了对数的运算．这表明他们学数学已经能“站在其上”了.

总之，“至简数学”教学兼顾不同程度的学生，通过“零起点教学”带领全班学生从同一起点出发，利用释疑、解惑、答问让多数学生掌握核心内容，结合“分层提问”“分层作业”“分层指导”让不同的学生得到不同的发展．只要教师让数学好学，学生就能好学数学，学好数学.

参考文献：

［1］邓凯.“至简数学”教学设计的基本框架[J].中学数学，2023（6）：7-9.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：2-3.