高中学生数学学习潜能开发

王辉

【摘要】在高中数学教学中调动学生学习内在动力，增强学生学习的专注性、主动性，改变学生学习经历和学习方式，提高学生学习力，有助于学生潜能的开发。

【关键词】高中数学；潜能开发；生本课堂

中学时期是潜能开发的最佳阶段，发现并激发学生学习潜能是教师最核心的任务，为此，教师需要更新教学理念，提高理论水平和实践能力，从“改变学生学习经历，提升学生学习力”“提高学生综合素质，充分发挥学生个性特长”等角度深入探讨“学生学习潜能”开发。

一、编制学习材料，启迪思维开发潜能

课堂教学要收集大量适合学生的教学素材，针对不同层次的学生个性化要求，编制出适合不同学生数学潜能开发及思维能力提升的学习材料，环环相扣、步步为营，充分发展自身潜能，通过对学习材料的兴趣激发学生的内在潜能，实现思维飞跃。

课前认真收集教科书、教辅资料、参考教案、教师教学用书等教与学的材料，在充分尊重教科书的前提下，从学生“何以学会”出发，认真编写每一个“教—学—评”三位一体的大单元—分课时“单元学历案”（也称微课程），并于课前2～3天印发给学生，要求学生做好课前准备；课中通过“问题串”的方式，按照学教评一致性（CLTA）教学活动设计技术框架及其标准开展教学活动，遵循引起注意、呈现目标、激活旧知、提供情境、指导学习、引出表现、反馈评价、学习检测、保持迁移等九个步骤实施教学。在新课的引入上，特别注重向学生讲述新旧知识之间的联系，依据学习目标设计“探究”“思考”，充分调动学生参与课堂的积极性，学完一个知识点，随即让学生代表到讲台前摇号抽签确定到黑板扮演的一位或多位学生名单，进行指向学习目标的“评价”；课后在充分尊重学生差异设计分层次作业的基础上，设计与学习目标相匹配的，体现学生立场的校本化课后检测与练习作业。通过课前学习目标、学习意图的确立；课中调动学生积极参与课堂及理清数学知识的“前后联系”“来龙去脉”；课后自主建构知识体系，增强学生信心，激发了兴趣和潜能。下面以普通高中教科书人教A版·数学（选择性必修第一册）“圆的标准方程”为例，围绕目标进行“教—学—评”三位一体设计，具体如下。

本节课其中一个“学习目标”为：会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

设计如下“学习过程”。

思考1：在平面直角坐标系中如何确定一个圆呢？圆的定义是什么？（指向以上“学习目标”）

小结：

思考2：利用圆的定义可以推导出圆的标准方程吗？圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程是什么？圆心在原点，半径为r的圆的标准方程又是什么？（指向以上“学习目标”）

小结：

例1（教材第83页）：求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2（-2，-1）是否在这个圆上。（指向以上“学习目标”）

练习1（检测以上“学习目标”）

（1）判断正误：

①方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆。（）

②圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4。（）

③（0，0）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1上。（）

（2）求满足下列条件的圆的标准方程

①圆心是（4，0），且过点（2，2）；

②圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，-4）。

二、由师本课堂向生本课堂转变，增强学生信心

要改变目前的师本教堂，就要以学生为主体，尊重学生的个性、人格和爱好，以平等、友善、宽容、民主的氛围和态度对待学生，让学生在一种和谐并宽松的教育环境中与教师一起参与教和学，做学习的主人，把师本教堂变成生本课堂。下面以普通高中教科书人教A版·数学（选择性必修第三册）“二项式定理”为例，进行“生本课堂”教学，课堂实录如下。

1.引入

问题：4个容器有白、红小球各1个，每次从4个容器各取出1个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

生：取法及取法种数如下：

取4个白球（4白0紅，共取4个球）：C44=C04，即取4个白球相当于取0个红球；

取3个白球（3白1红，共取4个球）：C34=C14，即取3个白球相当于取1个红球；

取2个白球（2白2红，共取4个球）：C24=C24，即取2个白球相当于取2个红球；

取1个白球（1白3红，共取4个球）：C14=C34，即取1个白球相当于取3个红球；

取0个白球（0白4红，共取4个球）：C04=C44，即取0个白球相当于取4个红球。

易得性质：Cmn=Cnn-m。

2.试验

问题：写出（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展开式未合并同类项前的式子。

生：（a+b）2=（a+b）·（a+b）=aa+ab+ba+bb；（a+b）3=

（a+b）·（a+b）·（a+b）=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb；（a+b）4=（a+b）·（a+b）·（a+b）·（a+b）=aaaa+

aaab+…+bbba+bbbb。

师追问：（1）以上每项的各个因子分别来自哪里？（生：分别来自各个括号的一因式）

（2）换句话说，展开式中的每一项是怎样构成的？（生：分别从每一个（a+b）中取出一个字母相乘构成）

（3）展开式中各项次数是否都相同？（生：相同）

（4）展开式未合并前分别共有多少项？（生：4=22项；8=23项；16=24项）

3.发现

生：以上展开式与白、红小球取法类似。比如：a3即在3个（a+b）的因式中取出3个a，有C33个a2b；a2b即在3个（a+b）的因式中取出2个a，自然留下1个b，共有C33个a2b……

师：很好！

4.归纳

请同学们一起来归纳（a+b）n的展开式，并归纳出各项次数与二项式指数、各项系数的特点。

师：（a+b）n的展开式，如不进行合并有几项，各项系数为多少？

生：有2n项，各项系数均是1。

师：合并后各项系数分别是多少？

生：C0n，C1n，C2n，…，Cnn。

5.應用

例1：求的展开式。（解答过程此处略）

练习：写出（p+q）5的展开式。（解答过程此处略）

6.小结

本节课通过实例引入、试验、发现、归纳，研究了（a+b）n展开式的规律，运用从特殊到一般的思想方法，推导出了二项式定理。

与传统采用记忆型的教学相比，以上教学过程建构在对学生认知分析的基础上，在探究的过程中构建起二项展开式中系数和指数的特点，开发了学生数学潜能。

三、利用生活实例构建数学模型，开发潜能

在应用意识日益加深的今天，数学与生活紧密联系、息息相关，将实际问题转化为数学问题能够充分调动学生的学习兴趣，促进学生从被动学习“要我学”转变为主动学习“我要学”，让学生在不断解决实际问题的过程中培养兴趣，开发潜能。下面以普通高中教科书人教A版·数学（必修第一册）“函数的应用（二）”，汽车刹车距离和人口增长问题为例分别构建数学模型。

1.汽车刹车距离问题

示例1：已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/小时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/小时，刹车距离为20米.若某人驾驶汽车的速度为90千米/小时，则刹车距离为米。

学生解答如下：依题意可设y=kv2，则有20=3600k，

解得，所以；

若v=90千米/小时，则902=45（米）。

2.人口增长问题

示例2：目前海南某市有100万人，经过x年后为y万人。如果年平均增长率为1.2%，请回答以下问题：

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）计算10年后该市的人口总量（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年后该市的人口总数将达到120万（精确到1年）。

学生解答如下：

（1）当x=1时，y=100+100×1.2%=100（1+1.2%）；

当x=2时，y=100（1+1.2%）+100（1+1.2%）×1.2%=100（1+1.2%）2；

当x=3时，y=100（1+1.2%）2+100（1+1.2%）2×1.2%=100（1+1.2%）3；

……

所以，y与x的函数关系式为：y=100（1+1.2%）x

（x∈N*）。

（2）当x=10时，y=100（1+1.2%）10=100×1.012%10≈112.7；

所以，10年后该市的人口总数约为112.7万。

（3）设x年后该市的人口总数为120万，则有100×（1+1.2%）x=120，

解得≈16，所以大约16年后该市的人口总数将达到120万。

以上分别构建了二次函数模型和指数型函数模型解决实际问题，体现了函数模型的应用价值。

四、构建典型数学问题，优化潜能促进创新

通过设计开放性和探索性问题，让学生自主探究，让学生在观察、猜测、实验、分析、归纳和整理的过程中，感悟问题的提出、概念的形成过程、结论的探索过程以及如何应用，培养学生解决数学问题的能力和创新精神。下面以普通高中教科书人教A版·数学（必修第二册）“复数的概念—数系的扩充新课引入”为例，进行设疑激趣。

解下列方程：（1）x-1=0；（2）2x-1=0；（3）x+1=0；

（4）x2-2=0。

学生容易解得各题答案：（1）x=1；（2）；

（3）x=-1；（4）。

教师进一步追问：（2）2x-1=0在自然数范围内有解吗？（3）x+1=0在正数范围内有解吗？（4）x2-2=0在有理数范围内有解吗？

学生：没有。

通过回顾已有数集扩充过程，学生明显感受到每一次数的扩充都与实际需求密切相关，从自然数集扩充到了实数集。

教师再追问：方程x2+1=0在实数集中有解吗？

学生：无解。

教师又追问：如何解决以上问题？

学生：思考、尝试回答。

此时，教师因势利导，自然的想法是能否像引进无理数那样，把有理数集扩充到实数集，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而解决类似方程x2+1=0这样的问题。

如此有意识地设计问题，学生会“心欲求而不得，口欲言而不能”，产生了求知欲望，点燃了思维的火花，从潜意识里激活其创新潜能。

五、培养勤于思考和定时定量完成任务的学习习惯

勤于思考和每天定时定量完成学习计划的习惯一旦养成，就会有利于提高学习质量，也有利于激发学生的潜能，更有利于增强学生的创造力。笔者在每一个课前编写的单元学历案“课后作业与检测”部分，每一道题的设计意图都是指向相应的学习目标，并要求学生按时完成。以上“圆的标准方程”一课可设计如下“课后作业与检测”。

1.课后作业

（教材第85页）练习：第1、3、4题（检测以上“学习目标”）。

2.课后检测

（1）圆心为（3，1），半径为5的圆的标准方程是（）（检测以上“学习目标”）。

A．（x＋3）2＋（y＋1）2＝5

B．（x＋3）2＋（y＋1）2＝25

C．（x－3）2＋（y－1）2＝5

D．（x－3）2＋（y－1）2＝25

（2）已知点A（3，-2），B（-5，4），以线段AB为直径的圆的标准方程是（） （检测以上“学习目标”）。

A．（x－1）2＋（y＋1）2＝25

B．（x＋1）2＋（y－1）2＝25

C．（x－1）2＋（y＋1）2＝100

D．（x＋1）2＋（y－1）2＝100

（3）若点P（-1，）在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________。（检测以上“学习目标”）

（4）已知点A（-1，2）和B（3，4）．求以线段AB为直径的圆的标准方程。（检测以上“学习目标”）

总之，依据课标要求、课标分析、教材分析、学情分析确定学习目标，并围绕学习目标，从学生“何以学会”出发设计“教—学—评”一体的教学方案；焕发学生的生命活力，课后学生的潜能自然地得到了最大限度的开发。

【参考文献】

[1]张爱军.备课专业化：学教评一致性教学设计的理念与操作[M].长春：东北师范大学出版社，2020.