高中数学“探索与发现”栏目的教学策略探究

徐艳艳

摘  要：人教A版高中数学“探索与发现”栏目是教材知识的拓展与延伸，通过“探索与发现”栏目的教学，能够很好地落实新课标的教育理念，发展学生的数学思维。文章以“为什么二次函数y=ax2+bx+c的图像是抛物线”为例，设计了“探索与发现”栏目的教学活动，教师通过设计问题链，借助网络画板演示，小组合作讨论，启发学生设计方案解决数学问题等一系列活动过程，在探究中引导学生完成从解释函数定义和函数图像平移两个角度的证明，为下一步的学习打下了良好基础，在数学课堂的活动过程中提高了学生的数学核心素养。

关键词：高中数学;探索与发现;抛物线;教学活动设计

在新课标背景下，分数不再是教师教学追求的唯一目标，如何让学生在学习的过程中得到思维的锻炼，获得解决问题的能力，才是新课标的精髓所在。在高中数学教学中，如何将数学的核心素养渗透在教学过程中是每一位数学教师要追求的目标。人教A版高中数学“探索与发现”栏目是课程内容的延伸与拓展，通过开展“探索与发现”的数学活动课程，可以让学生在深度思考的过程中更好地理解数学问题的本质。

本文以普通高中教科书《数学选择性必修第一册（A版）》第三章的“探索与发现”栏目“为什么二次函数y=ax2+bx+c的图像是抛物线”的教学为例，设计开展教学活动。教学过程中教师通过设置问题链，引导学生自主探究，形成方案，开展小组活动，最终得出结论，这种环环相扣、层层递推的教学活动，不但能使学生有极大的参与感，激发出学生的学习兴趣，也极大地提高了学生的数学能力和数学核心素养。

一、教学内容和解析

（一）锚定内容

本节课选自普通高中教科书《数学选择性必修第一册（A版）》第三章的“探索与发现”栏目，本节的主要内容是探究二次函数图像与抛物线图像的特征，找出二者的共性和规律，通过抛物线定义和函数图像平移两个角度，解释“为什么二次函数y=ax2+bx+c的图像是抛物线”。

（二）内容解析

本节课安排在3.3.1“抛物线及其标准方程”之后，通过上一节课的学习，学生理解并掌握了抛物线的定义和标准方程，发现高中教材对于抛物线的定义与初中所学到的抛物线有很大的不同，学生难免产生疑问：为什么初中所学习的二次函数y=ax2+bx+c的图像也是一条抛物线？从定义的角度如何解释？从函数方程的形式上看又和抛物线的标准方程之间有哪种联系呢？本节课将会从两个角度帮助学生理解初中所学习的二次函数y=ax2+bx+c的图像依然是抛物线，与高中所定义的抛物线并不矛盾。

二、课程教学目标及解析

（一）教学目标

本节课的教学目标是使学生能从抛物线的标准方程和函数定义两方面研究抛物线与二次函数的关系，并借助网络画板从代数和几何的双重角度对这一问题进行探究，使学生通过自己的探索与发现加深对于这一问题的理解。在探索与发现的过程中，发展学生的数学核心素养。

（二）目标解析

高中数学学科的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，如何在教学中发展学生的数学学科素养是每一节数学课的使命。本节课通过教师提出疑问，鼓励学生大胆发现，勇于试错，小组讨论交流，进而发现“真理”的这一过程，可以很好地加深学生对于问题的理解，不仅深刻理解了圆锥曲线的定义，同时还使学生的数学能力得到大幅提高。

三、教学问题诊断分析

本节课在学生已经学习了抛物线的定义和标准方程后，学生已经很好地理解了抛物线的焦点和准线。高中教材对于抛物线的定义是“把平面内与一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物線”。而学生在初中学习二次函数的图像是一条抛物线时，则并没有给出这样的定义，这就会导致学生产生疑问，认为二者并不相同，通过本节课的学习，教师要带领学生深入挖掘教材定义，找出二者本质上的一致性，使学生对抛物线的理解更为深刻。在探究过程中，教师要引导学生形成探究思路，即形成从平移变换和函数定义两个角度入手的探究思路，并协助小组成员形成探究步骤。在进行代数法证明时，化简的难度较大，教师可以协助学生完成化简。

此外，本节课可以利用网络画板做出二次函数的图像，通过平移变换，让学生直观感受并总结规律，得出结论。

四、教学过程设计

（一）提出问题，课堂引入

师：上一节课同学们学习了抛物线的定义及其标准方程，大家来回顾一下，抛物线是如何定义的？

生：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。

师：在初中，同学们学过二次函数y=ax2+bx+c的图像也是一条抛物线，二次函数的图像和现在所学习的抛物线是不同的吗？如果不同，如何解释？如果相同，又如何证明？本节课让我们带着这个问题一起来探索与发现吧！

设计意图：学生对于圆锥曲线这部分的学习往往会忽视定义的理解，通过提出这个问题，引发学生对于抛物线定义的思考，便于在以后的学习中更好地利用圆锥曲线的定义解决数学问题。

（二）小组讨论，确定研究方案

分小组进行讨论，引导学生确定研究方案，形成研究步骤。一组学生从图像平移的角度进行探究，另一组学生从抛物线定义的角度进行探究，探讨二次函数y=ax2+bx+c是否也满足抛物线的定义。

1. 从图像平移的角度看抛物线

师：在直角坐标系中，请同学们将抛物线x2=2y的图像向右平移两个单位，再向上平移两个单位，大家可以借助网络画板演示平移这一过程，如图1和图2所示，同学们有什么发现？图像的形状是否发生了变化？

生：只改变了图像的位置，图像的形状没有发生变化。

师：同学们能从平移变换的角度给出证明吗？

生：抛物线方程x2=2y平移后得到的方程为（x-2）2=2（y-2），整理后可以化为y=x2-2x+4，与二次函数y=ax2+bx+c形式一致，因此可以得出结论，二次函数y=ax2+bx+c的图像可以由抛物线标准方程的图像通过平移达到，即二次函数的图像也是抛物线。

师：同学们能否给出一般性的证明，如何把y=ax2+bx+c进行平移，说明其图像是抛物线？

生：可以把方程整理成二次函数的顶点式y=ax++，利用函数平移的性质可知，如果将图像沿着向量=，-

进行平移，平移后对应的解析式为y=ax2，即x2=y，这个方程表示的曲线是顶点在原点，焦点为0，

的抛物线，则得到了一般性方程的证明。

设计意图：由特殊方程引入，通过平移变换发现抛物线的形状不变，再引入一般方程，通过由特殊方程到一般方程的证明，可以发展学生数学抽象、逻辑推理的能力。

2. 从定义的角度看抛物线

师：同学们知道抛物线x2=2y图像上的点满足抛物线的定义，即任意一点到定点

0，

的距离与到定直线y=-的距离相等，能否从定义的角度看平移后（x-2）2=2（y-2）的图像上的点也满足到定点的距离与到定直线的距离相等呢？如果满足，定点与定直线又分别是什么呢？

生：将方程通过配凑的方式，可表示成（x-2）2+

y-=y-，即=y-

，其表示的几何意义为：图像上任意一点到定点2，

与到定直线y=的距离相等。通过这种方程形式的变换，会发现二次函数y=ax2+bx+c也满足抛物线的定义。

师：同学们能否用一般方程给出证明呢？

一般方程的角度化简难度较大，教师可以指导并协助学生完成，首先，由二次函数方程的顶点式y=a

，即=y-

，从而得到二次函数y=ax2+bx+c也同样满足抛物线的定义，即图像上的点到定点

-，

的距离与到定直线y=的距离相等。

（三）归纳小结

1. 抛物线的定义是本节课探索与发现的基础。

2. 数形结合是本节课小组讨论的基本方法。

3. 代数法的难点在于配方，配方法的难点在于待定系数。

4. 二次函数的图像是抛物线，符合抛物线的定义，但并不是所有的抛物线都是二次函数。二次函数通过平移变换可以化简为抛物线的标准方程，但是如果把抛物线图像进行旋转变换，则图像依然是抛物线，但是曲线方程则不一定是二次函数形式。

五、教学总结

本节课从图像平移和抛物线的定义两个角度去研究了为什么二次函数y=ax2+bx+c的图像也是抛物线，体现了知识的一致性，引发了学生对于圆锥曲线定义的深度思考。从教学活动实施的效果来看，“探索与发现”栏目通过数学活动课的形式进行教学，能够让每一位学生积极参与进来，激发学习兴趣，通过小组讨论，总结问题，探究方法，在思维的碰撞中落实教学目标，让“学数学”变为“用数学”，使学生获得了思考和解决问题的能力。

六、结语

综上所述，高中数学教材中的“探索与发现”这一栏目，有利于培养学生的阅读理解能力、独立思考能力以及解决问题的能力，可以有效培养学生的数学思维，帮助学生形成良好的数学核心素养。在新课标的大背景以及素质教育不断发展的当下，高中数学教师更应钻研教材、利用教材，带领学生一起探究“探索与发现”栏目中的数学文化知识，发挥出“探索与发现”这一栏目的价值，从而全面提升学生的数学能力。

参考文献：

[1]龚斌. 高中数学人教版教材“探究与发现”栏目研究[J]. 数学学习与研究，2018（10）：143.

[2]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]章建跃. 高中数学核心内容教学设计案例集：上册[M]. 北京：人民教育出版社，2014.

[4]赵开明. 浅谈高中数学人教版教材“探究与发现”栏目[J]. 科学咨询：教育科研，2016（12）：98-99.

[5]徐菊. 高中数学“探究与发现”栏目的有效教学研究[J]. 高考，2019（33）：174.

（责任编辑：向志莉）

* 本文系“高中数学新教材‘探索与发现栏目在内地西藏班的教学实践研究”（课题编号：XZJYKT321048）課题的研究成果之一。