基于核心素养的“三角函数的周期性”概念教学策略

惠敏敏

摘  要：概念是数学的细胞，也是数学思维活动的重要载体。因此，数学概念教学不能止步于让学生熟悉概念、运用概念解题，而应挖掘数学概念的内涵与外延。厘清新授概念与学生熟悉的数学概念、知识间的内在联系，进而创建合适的数学概念生成情境，让数学概念在学生的自主探究中主动生成;让学生习得数学抽象、逻辑推理的具体方法，提升学生的数学核心素养。文章以“三角函数的周期性”公开教学观摩课为例，阐述了数学概念教学中设计探究生成过程的重要性。教师应注重从真实情境出发，逐步引导学生感悟、体会，从而水到渠成掌握数学知识概念。

关键词：三角函数;数学核心素养;教学策略;概念教学

一、教材分析

“三角函数的周期性”是苏教版（2019版）高中数学必修第一册教材7.3“三角函数的图像和性质”的第一节内容。周期性是三角函数的一个典型特征，是后续研究及学习三角函数的图像与性质的基本工具，三角函数周期性的研究也为一般函数周期性的研究奠定了重要基础。

二、学情分析

该堂课是在学生已经学习了函数、角与弧度、三角函数概念等相关知识的基础上开展的。学生来自江苏省四星级高中的普通班，数学学习的基础较好，且在高中阶段的学习已经接近一个学期，数学思维能力有了很大的提升，已具备一定的自主探究能力、数学推理能力及数学抽象能力，可以借助已学知识，采用类比、化归等思想方法完成本节课内容。

三、教学目标

其一，知识与技能。（1）了解周期函数的概念;（2）会判断一些简单的、常见的函数的周期性;（3）会求一些简单的三角函数的周期。

其二，过程与方法。通过众多实例总结探究周期函数，再由周期函数到三角函数的周期性的探索过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力。在研究周期性的过程中，让学生体验由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，并渗透数形结合的思想方法，培养数学的探索能力，学习钻研精神和科學的认知态度，通过小组合作学习培养学生团结协作的精神，体现立学课堂的教学思想.

其三，情感态度与价值观。通过家乡本土的实例引入，培养学生热爱家乡，热爱祖国的情怀。通过各种实例，提炼出共同特性——周期，体会事物间的内在联系，感受类比、化归的思想方法。在探索过程中体会失败与成功的情感体验。

其四，核心素养。以函数与三角函数的基本知识和基本技能为载体，培养学生的数学思维，让学生逐步体会到用数学的眼光去观察世界，用数学的思维来思考世界，用数学的语言来表达世界。在探究周期性和周期函数的概念过程中培养学生数学抽象能力;在由周期特征的实例与已有知识储备函数性质（例如函数奇偶性的概念）的表述中，表示出周期函数的数学语言，培养学生的逻辑推理能力;借助单位圆、三角函数线直观图，培养学生直观想象能力。

四、教学过程

（一）教学环节1：创设情境，引入新课

教师导入情境，如表1所示。

设计意图：不少本地学生在小学和初中时，通过在社会实践基地的学习，对潮水涨落有一定了解，而且有不少学生还有过赶海的经历。通过如东本土小洋口潮水时刻表的展示，让学生有感同身受的共鸣，更容易调动学生的兴趣，积极思考，参与课堂。另外，通过本土潮汐表带领学生进一步了解家乡的风土习俗，培养了学生热爱家乡，热爱祖国的家国情怀。

问题一：自然界和生活中有许多“过了一定的时间，某些现象重复出现”的事例，你还能举出一些吗？

生1：每周的周一周二等、海边风车的风叶、摩天轮上每个座位位置的转动……

生2：单摆运动，时钟的圆周运动，四季变化.

设计意图：数学源于生活，又服务于生活。通过举例不仅考察了学生观察事物的能力，也培养了学生类比思维能力。

问题二：以“钟表上时针的转动”为例，你能用数学化的式子描述这种现象吗？

生3：t+12=t。

生4抢答：f（t+12）=f（t）。

设计意图：着力培养学生的数学抽象思维、数学建模能力，由实际问题到数学表达，寻找自变量与函数值，再从中提炼出等式。在提炼等式的过程中，培养学生的理性思维，学生在交流的碰撞中把研究对象的特征慢慢总结出来。

问题三：三角函数是刻画圆周运动的数学函数模型，那么“周而复始”的基本特点必定存在于三角函数的性质中。那么能否用数学公式来表示三角函数的“周而复始”的规律？

生5：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx。

师：很好，这其实就是我们前面学习的终边相同的角函数值相等。那继续思考正弦线变化和余弦线变化有何特征？

生6：周而复始。

生7补充：每转一周，函数值会重复出现。当角度每加2π，函数值会相同。

设计意图：三角函数是最典型的一类周期函数。三角函数的诱导公式一，正是体现的三角函数的周期性。由周期函数到三角函数，由前一阶段的特殊周期函数到一般的周期函数，现阶段又由一般周期函数到特殊的三角函数，培养学生的逻辑推理能力，通过几何画板展示正弦线、余弦线变化的情况，培养学生的直观想象能力。

问题四：我们把正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性。能否用统一的式子表示它们？

生8：f（x+2）=f（x）。

师：那思考一下，等式的成立与x的取值有关吗？

生9：无关，x是任意的。

教师安排学生活动，小组合作画一些周期函数的图像。

师：你们各小组能否检查自己画的这些图像是否是周期函数的图像呢？

生10：用定义检验。

师：很好，下面就请你们试着把周期函数的定义概括出来。

设计意图：让学生体会从特殊到一般的过程，三角函数也是一类特殊函数，体会周期函数的定义域的要求。通过小组合作，让学生用数形结合更形象地去概括理解周期函数的概念。

问题五：将上述函数抽象成一般的函数，你能得到什么等式？

师：f（x+C）=f（x），现在请哪位同学试着给出周期函数的定义。

生11：函数f（x），对于任意的x，如果有f（x+C）=f（x），那么函数就叫作周期函数。

师：C是什么？

生11：常数，非零常数。

师：很好，请组织好语言，更好地定义一下周期函数的概念。

生11：一般的，对于函数f（x），如果存在一个非零常数C，使任意的x，都满足f（x+C）=f（x），那么函数就叫作周期函数。

师：任意的x是整个实数集上吗？

生12：应该是定义域内。老师，那周期函数的定义域是不是一定是整个实数集呢？

生13：可以不是整个实数集，比如可以只是整数集，f（x+1）=f（x），也可以是周期函数。

师：很好，那你再完善一下周期函数的定义。

生13：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使当x取定义域内的每一个值时，f（x+C）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫作周期函数。

设计意图：总结出周期函数的定义，实现了从特殊到一般的建构。高度概括、表达准确且结论具备一般性。

问题7：若函数f（x）是一个周期函数，C为该函数的一个周期，该函数还有其他周期吗？

生10：2π、-2π、4π、6π等等。

师：很好，你注意到负数也可以，而你这个总结的是三角函数的，一般函数呢？

生11：C、-C、2C、3C、kC等都是。

师：不错，那也就说明周期函数的周期有无数多个，我们最好引入一个最具有代表性的周期，以更方便地描述周期函数的周期。

生12：C。

师：如何命名呢？

学生小声讨论：最小周期？不对，最小还可以是负的，正的最小周期？

师：很好，最小正周期。下面定义一下最小正周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。大家发现如果一个周期函数y=f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f（x）的最小正周期。

设计意图：完善周期函数的定义，体会最小正周期引入的必要性，总结出最小正周期的定义。

（二）教学环节2：例题分析

例题：已知函数f（x）是一个周期函数，周期为2，并且f（x）=x2（x∈[0，2）），那么你能否画出整个定义域上的图像？

师：对于这个问题，你想从什么角度切入？

生13：我们只要画出f（x）=x2（x∈[0，2））的图像，那么其余地方的图像都是和这个图像一样的。

生14：更准确地说应该先画出f（x）=x2（x∈[0，2））的图像，其余地方的图像都是由这个图像平移得到的，应该是左右平移得到的。

师：很好，那为什么是左右平移得到的呢？

生14：因为函数f（x）是一个周期函数，周期为2，也就是f（x+2）=f（x）。

师：不错，我们发现对于周期函数，如果能画出一个周期的图像，那么通过周期函数的定义，就可以画出整个函数的图像。同理，如果知道一个周期的解析式，就可以根据定义写出整个定义域的解析式。

教学反思：数学学科核心素养的落实，应该重点关注教学内容与教学结构的环节设计，由外到内逐步深入，合情合理地提出教学问题，以符合学生思维形成过程。对于“三角函數的周期性”的相关学习内容，会涉及以下问题：三角函数为什么会有周期性？三角函数的周期是多少？如何描述一般函数的周期性？教师通过上述三个问题逐步开展教学，可以促进学生形成学习数学的思想和方法，从“科学探究与创新意识”到“科学态度与社会责任”进一步揭示数学学习更高层次的价值追求。

数学概念的教学是培养学生核心素养的重要组成部分，合理设计概念的探究生成过程，是开展教学、落实核心素养教学的基本着力点。教师要创设合理的、实际的问题情境，提出具有开放性、挑战性的问题，以概念的生成发展过程为主线，合理设计教学流程，将数学核心素养与整个教学过程融会贯通，促使学生在主动建构知识体系的过程中实现思维的发展。另外，在教育教学的过程中，要注重在课堂上互相渗透各类数学思想方法，使学生的学习由“散珠”的基本概念形成“串珠”的核心概念。

参考文献：

[1]陆春霞. 追求自然而有深度的数学概念教学[J]. 中学数学研究，2022（09）：1-2.

[2]陈唐明. 和数学教师谈如何有效研读教材[J]. 中学数学教学参考，2016（13）：60-62.

[3]陈唐明. 本质的角度·思想的高度·思维的效度——高效数学课堂的三个基本维度[J]. 数学教学研究，2014，33（05）：2-4+14.

[4]刘长明. 基于核心素养的“三角函数”教材设计与教学思考[J]. 中学数学教学参考，2020（Z1）：50-53.

（责任编辑：淳  洁）