铁路长度投影变形与坐标系统设计研究

杨思山

(中铁第四勘察设计院集团有限公司,湖北 武汉 430063)

0 引 言

1 铁路投影长度变形值限值

根据我国铁路项目的无砟轨道CPⅢ控制网的测量实践也可以得出,投影长度变形值≤10 mm/km的情况下,CPⅢ观测边长不需进行两化改正处理[1],可以满足CPⅢ控制网的相邻点中误差不超过1 mm的精度要求,达到一定的平顺精度。

因此高速铁路规定:高速铁路工程测量平面坐标系应采用工程独立坐标系统,在对应的线路轨面设计高程面上坐标系的投影长度变形值不宜大于10 mm/km[1];普速铁路规定:铁路工程测量平面坐标系统应采用基于CGCS 2000基准的工程独立坐标系,线路设计高程面上的投影长度变形值不宜大于25 mm/km[2];工程测量标准中也规定:平面控制网的投影长度变形值不应大于25 mm/km[3]。

2 铁路投影长度变形研究

高速铁路平面坐标系统建立时,通常选择任意中央子午线和抵偿高程面建立工程椭球[4],工程椭球面是一个凸起不可展平的曲面,将地面上边长观测值投影到曲面上,或者将曲面上的边长值投影到平面上,将会变形[5],其边长值会发生变化;将地面观测边长值归算到参考椭球面需要进行高程归化改正,将参考椭球面的曲线长投影到高斯平面上则需要进行高斯投影变形改正[6]。

2.1 高程归化改正

由于地面边长观测元素离开参考椭球面一定高度,引起长度高程归化改正:

(1)

式中:S为归化到参考椭球面的长度;S0为地面上的观测长度;ΔS为高程归化改正值;Hm为观测边在参考椭球面上的平均大地高;Rm为边长范围内的地球平均曲率半径。

试剂及耗材：三氯蔗糖（规格1 g，储存温度2～8℃，日本和光纯药工业株式会社）；甲醇（色谱纯，美国Baker公司）；乙酸铵（分析纯，天津市天力化学试剂有限公司）；蒸馏水（广州屈臣氏食品饮料有限公司，规格600 mL）。

表1 每千米长度的高程归化改正

从表1可知,要使高程归化引起的每千米长度变形比<1/100 000或1/40 000,则设计高程面和投影高程面之间的高差值不宜大于63.7 m或159.3 m。

2.2 高斯投影改正

椭球面是不可展平的曲面,将其上的长度S投影到高斯平面上为s,需要按式(2)进行高斯投影变形改正:

(2)

式中:s为改正到高斯平面上的长度;S为参考椭球面上的长度;dS为高斯投影变形改正值;Ym为S在高斯平面上离中央子午线的垂距。

表2 每千米长度的高斯投影变形改正

从表2可知,要使每千米长度的高斯投影变形引起的变形比小1/100 000或1/40 000,则线路测量控制网边长离中央子午线垂距须不超过28.5 km或45.1 km。

接下来计算每千米长度变形总值,根据式(3)、式(4)和S0≈S可得:

(3)

对于铁路而言,由于轨道的平顺性要求很高,因此其平面坐标系统的投影长度变形值不宜大于±10 mm/km[1]或±25 mm/km:

(4)

由式(4)可知,一定的高程下边长需要处于离中央子午线一定的范围内,才能满足高速铁路长度变形的限差要求,表3列出Hm为-10～300 m时满足限差±10 mm/km到中央子午线垂距的范围值D。

表3 一定高程边长对应离中央子午线垂距的范围值(限差±10 mm/km)

表4列出了Hm为0～4 000 m时满足限差±25 mm/km的到中央子午线垂距的范围值D。

表4 一定高程边长对应离中央子午线垂距的范围值(限差±25mm/km)

由表3和表4可知,投影面高程只能有一定的投影变形抵偿,并且随着投影面高程的线性增加,满足投影变形要求的坐标系宽度也在急剧减小。

3 投影换带变形研究

铁路投影分带不可避免地会造成换带计算,高斯投影变形虽然理论上是保角投影,但是其还有如下特点:

(1) 在中央子午线相同、投影面高程不同时,只存在长度变形,没有方向变形。

(2) 在中央子午线不同、投影面高程不同时,存在长度变形、方向变形,长短分带衔接边都有角度变形,且长边角度变形比短边角度变形大。

(3) 在中央子午线差值变大时方向变形增大,长短分带衔接边的角度变形也增大,且长边角度变形比短边角度变形大,角度变形的数值与边长大致成正比。

(4) 在中央子午线差值保持不变时,方向及角度变形也不变,长度变形随着投影面的高程不同而改变。

(5) 当分带位置为东西走向时,中央子午线虽然改变,但长短分带衔接边都不会有角度变形。

4 铁路坐标系分带研究

4.1 投影高程面选择

为了减小长度变形,应选择合适的投影高程面。在坐标带的中央子午线上,只有高程归化导致的长度变形。而在坐标带的边缘,则存在两种变形。因此,应需要选择适当的归化高程面。

在选择投影高程面时,高程投影面应该选取在线路设计高程以下,充分发挥高程归化改正的抵偿性,这样能够进一步扩大投影带宽,并以较少的投影带进行坐标系设计。

4.2 投影分带注意事项

除满足投影变形值的要求外,在实际工程独立坐标系的设计过程中,由于铁路工程的特殊性,还应注意以下问题:

(1) 换代计算存在方向变形,投影分带的地方应尽量避开曲线段、车站、隧道、重点难点工程等,其中曲线段和车站必须避开。

(2) 在铁路勘察设计期间,线位在变化,存在多个对比方案等,因此在每一次的线位变化均应重新进行工程独立坐标系的设计。

(3) 中央子午线一般精确到分即可,并应保证分能被3整除,以便转换成十进制时能整除。

(4) 当单个长大隧道需要设计为两个或者两个以上投影带时,须保证该长大隧道所在的所有投影带中央子午线相同,只改变投影面大地高。

(5) 单个投影带需要有一点的长度,一般要求单个投影带的长度须大于4 km;

(6) 投影分带起止里程不能重叠,以免引起误解。

5 结束语

通过本文分析高程归化改正和高斯投影改正对变形值的影响,结合铁路工程的特殊性,在铁路坐标系设计的高程面的选择上,不再拘泥于大地高投影面,以选择本段工程轨面的平均大地高程面为宜,利用投影面高程的长度变形的补偿性,同时也提出了其他分带注意事项。本文分析成果可以为铁路工程独立坐标系的设计提供一定的参考与借鉴。