数学分析课程分层教学探索与实践

段雅丽, 程 艺

(中国科学技术大学 数学科学学院,合肥 230026)

0 引 言

中国科学技术大学是中国科学院所属的一所以前沿科学和高新技术为主,兼有医学、特色管理和人文学科的理工类全国重点大学.学校坚持高起点、宽口径培养新兴、边缘、交叉学科的尖端科技人才.基础课程的教学对于人才的培养至关重要.微积分(或称高等数学)是理工科大学最重要的基础课程之一,也是占用学时最长、学分最高的课程,在学生培养中具有举足轻重的作用.该课程所蕴含的数学分析思想,逻辑推理方法,处理问题的技巧及整个思维方法,在后期数学学习和科研工作中起着特别重要的作用.在中国科学技术大学,关于微积分的课程分为数学专业的数学分析和非数学专业的微积分,并分别有各自的教材.从1958年中国科学技术大学成立,华罗庚先生作为副校长兼数学系主任,亲自给数学专业的本科生讲授微积分课程,历届的校、院、系领导都对非数学专业的微积分课程的建设工作极为重视.经过几代人多年的探索实践,逐渐形成了一套独具特色的教材体系和教学模式.

随着社会的发展,社会对人才需求的变化,高校扩招促进高等教育大众化,高校的学生数大幅增加,学生的兴趣和就业取向越来越多元化.鉴于这种情况,作为大学理工科各专业必修的微积分课程,既不可能继续按照专业进行“细分”,更不能因为“通识性”而“泛化”.当前,高等院校普遍采取“按学科大类招生”的做法,并给予学生在校学习期间“自主选择专业”的机会.一些高校开设了各类“理科实验班”或“英才班”等,试图体现“前期淡化专业,尊重学生选择,强化基础训练”的教育理念.

中国科学技术大学无疑走在了上述改革的前列.多年来,针对少年班、创新班、英才班的培养特点和培养目标,如何上好数学分析课程,是几代人用心思考的问题.在常庚哲、史济怀、徐森林等老一辈教师打下基础上,笔者学校从本世纪初,开始探索“分层教学”模式[1-3],逐步形成了针对少年班、创新班、英才班培养特点和教学要求的数学分析B课程.为了进一步打通全校学生自主转专业分析类数学基础课替代的通道,中国科学技术大学数学科学学院将数学分析B课程的开设,推广至面向全校非数学专业的学生.宏观上采用分层教学理念,设计不同难度的分析类课程,达到了因材施教的目的.下面从数学分析B课程的设置与发展、分层设计及教学实践情况进行逐一介绍.

1 课程设置与发展

自2000年起,中国科学技术大学本科生学制由五年改为四年,以前上三个学期的高等数学被统一安排在第一学年,总计12个学分,240个学时.在此改革过程中,对少年班数学课程也提出新要求.“少年班”和“教学改革试点班”(“零零班”)组成“少年班学院”,这个群体的特殊性不仅在招生上有别于现行的高考制度,更重要的是在人才培养上,采取更加科学和灵活的方式.其培养特色就是在坚持基础知识“宽、厚、实”的原则下,学生入学后不分专业,在一年级或二年级以后根据个人兴趣和志向,在全校范围内自主选择专业.2003年,中国科学技术大学把在少年班试点取得的经验和做法推广到全校.这样,中国科学技术大学的学生不但按大类招生入学,进校一年后还可以跨学科自主调整专业.这些改革激发了学生学习的主动性,发挥了学生的特长,体现了“因材施教”的教育理念.但是,这些改革举措对课程体系结构提出了新要求,尤其是按专业设置基础课程的传统已经不能适应上述改革的需要.

2005年,中国科学技术大学数学系组成了专门的课程组,开始尝试在数学专业数学分析和非数学专业微积分之间,开设一种“分层”模式的同类课程——数学分析B,不同于数学专业的数学分析A.2005年开始在少年班、教改试点班试行,2012年扩展到创新班,2017年扩展到各专业英才班.本课程较好地体现了因材施教、循序渐进的原则,既契合了各专业拔尖人才培养需要,又满足了学生自主选择或调整专业的需要,体现了“分层教学”的思想,探索个性化培养,提供可选择空间.对选择数学专业的学生,较好解决了课程和知识的衔接问题,保证专业课学习所具备的数学分析基础;对选择非数学专业学生,提高了数学分析基础水平,开阔了视野.课程整体水平较高,结构设计合理,具有较强的可操作性和辐射示范作用.在该课程的助力下,少年班、创新班和英才班毕业生中考取研究生比例一直保持在80%左右,也产生了一批基础学科领域后起之秀.

为了顺应全校学生自主选择专业的需要,顺应不分专业讲授基础课程的发展趋势,以及减少不同专业选择之间学生选课的混乱情况,尤其近年来学校开设一些新兴专业,如数据科学与大数据技术、网络信息安全和量子信息安全、人工智能、微电子、核科学与技术等等专业,都需要坚实的数理基础.2019年面向全校非数学学院所有班级,数学分析B与传统的非数学专业微积分课程并轨.

数学分析B(B1,B2,B3),和数学分析A(A1,A2,A3)都是讲授三个学期,16(=6+6+4)学分,320(=120+120+80)个学时,修完这两个系列的课程都可以在大学二年级第二学期进入数学学院进一步的专业学习.对于大学一年级的新生,如果对自己以后专业和兴趣不明确的学生,选数学分析B就是不错的选择.如果在第一学年结束后,不转入数学学院学习,就不必修数学分析B3.对于数学学习兴趣不大且数学基础比较弱的学生,还可以选微积分(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ),就是之前的基础微积分课程,分别在秋季、春季和夏季学期上,12(=5+5+2)个学分,总280(=120+120+40)个学时.

当然选择修哪个系列的分析类课程,在新生入学数学考试成绩也很关键,尤其是成绩后大约10%的同学要进入微积分班.经过一学年学习,成绩突出还想转学数学专业,需要再修数学分析B3.也就是数学分析B1,B2和微积分I,II,III相当,可以替代.这样学生可以在全校范围内自主转专业时,数学分析B打通了分析类数学基础课替代的通道.鉴于该课程日臻成熟,笔者学校在新一轮“一流本科教育质量提升计划”中,从2020年开始将数学分析B和同样采取分层设计理念的线性代数推广到全校各专业,努力打造全校公共基础课的两支重要支柱.

2 课程的分层设计

目前,数学分析A选用的教材为常庚哲、史济怀教授编著的《数学分析教程》[4],分为上、下两册,授课对象是数学类专业的学生;数学分析B课程,选用的教材为程艺、陈卿、李平教授编著的《数学分析讲义》[5],分别是第1,2,3册,共3册,对应三个学期的教材; 微积分选用的教材是中国科学技术大学微积分课程组编写的《微积分学导论》[6],分为上、下两册.三个系列,教材不同,学生基础不同,但要最终达到在同专业类学生有相同数学能力的基本要求.

由于中国科学技术大学学生生源广泛性,数学基础差异性,兴趣多元性,就需要课程组兼顾各方面的因素.既要按照学生数学基础不同对同一类课程分层,就是“课程分层”,又要适应不同兴趣志向的学生自主选专业的灵活性,还要确保他们具有扎实和系统的微积分基础知识,更要确保选择数学专业的学生具有较强的分析能力,就需要把课程内容从“分块式”(如图1)改为“分层级”(如图2),即“内容分层级”.

图1 数学分析分块体系 图2 数学分析B分层体系

数学分析B课程分为“两个层级”,即“基础层级”(Basic Mathematical Analysis简称 BMA)和“提高层级”(Advanced Mathematical Analysis简称 AMA).“基础层级”主要面向理工科一年级所有学生.开设在第一学期(数学分析B1)和第二学期(数学分析B2).紧扣微分、积分这一主线,系统介绍微积分基本内容,突出微积分基本思想,内容和演算,满足理工科所有学生的需求.保证学生能够顺利进入非数学的专业学习.“提高层级”主要面向选择数学专业,或对数学要求较高的理论性专业或新兴专业,或对数学特别感兴趣的学生.开设在第三学期(数学分析B3),是 BMA 的提升,具有一定的系统性.更加注重严谨性、理论性,为选择数学专业学生打下坚实的现代分析基础,拓展视野与后续课程保持更好衔接.数学分析B课程体系结构按照循序渐进的原则,有利于初学者掌握基础知识,并逐步深入,同时完善与其他课程衔接的连贯性,满足不同专业学生的需要.

数学分析B系列的教材《数学分析讲义》就是按照分层级结构编写的,既保证各章节内容的逻辑性,还保证整体水平不降低;既保证基础层级的相对完整性,又使得提高层级在内容、方法和观念的广度和深度上有所提高.选择非数学类专业的学生,在完成第1,2册的学习之后,已具备甚至超过传统微积分或高等数学的知识水平,可不再修第3册.对于选择数学类专业的学生,要继续学习第3册,可使数学分析的水平总体达到甚至超过通过传统方式所达到的水平.该课程从设置结构和内容分层级越来越完善.

3 课程教学实践

自2020年以来,全校开设数学分析B1,B2的课堂共16个,可线上线下同步教学,每节课都有录播课,可随时回放.每个课堂都是2至3个助教(都是数学专业的研究生或博士生),他们随堂听课,随时在线答疑,每周都有习题课.总之,配有完善的助教辅导团队.现在本课程的课堂实行不置课,全校一年级学生可以在选课时间段内自由选课堂,每个课堂几乎包含了全校各个学院和专业的学生,大家既可以相互交流,又可以为以后交叉研究建立联系.数学分析B3课堂有2个,其中不乏有一些酷爱数学,且数学基础非常扎实的学生,有的甚至在丘成桐大学生数学竞赛中获得很好的成绩,将继续数学理论或应用的研究工作.课程组的授课老师来自各个不同的数学专业方向,从事着不同的科研课题,把各自领域研究的问题与经典微积分的联系,在课堂上和课外介绍给学生,增强学生学以致用的素养,提高他们学习兴趣、开阔视野,这也是中国科学技术大学建校的优良传统.

当然也有一些专业的学生,比如生命学院和化学学院,可能由于本学院课程设置原因,实验多,学习数学的时间不足,不能及时完成作业,跟不上老师的节奏,导致学生学习数学分析比较吃力,挂科率高.课程组的建议是这部分学生直接选微积分系列的课程,而且每学期初前两周是可以自由选课堂及个性化选课,这也是学校因材施教的举措,还不影响后期选课和转专业.不管是学校层面,还是学院、系层面,对本科生的选课和转专业给予很大的自由度和支持力度,这也是中国科学技术大学的办学特色.

本课程是大学一年级基础的课程之一,一直以来深受学生欢迎,学生评价较高.在每学期学生评价中,始终处于全校所有课程的前列.近年来,数学分析课程组组长李平教授主持了“英才班数学分析课程的教学与研究”及2019年“非数学专业数学分析和微积分教学团队建设”的省级教学项目.陈卿教授主持了“微积分类课程国家级教学团队建设”及“国家级精品资源共享课程建设”项目.程艺教授2005年主持了“大学生创新能力培养体系建设与实践”项目,并获国家教学成果将二等奖,2019年“微积分和数学分析”课程建设,及2023年国家一流课程数学分析B的建设,逐步推动“分层教学”模式的改革,努力把该课程打造成一流人才培养的精品课.

4 结 论

数学分析B课程是顺应教学改革,探索“分层教学”模式的过程中,开设的分析类课程.本课程是覆盖面最广、学时最长、学分最多、难度最大、结构最复杂的公共基础课程,面向全校一年级全体本科生.以“前期不按专业分类、尊重学生专业选择、强化数理基础训练”为指导思想,为大学一、二年级学生搭建一个坚实的数学基础平台,满足学生选择不同专业的需求.从课程的设置与发展、分层设计及教学实践情况看,本课程很好地体现了“因材施教、循序渐进”的教育理念,遵循“学其所爱,爱其所学”的学习主旨.既契合了各专业拔尖人才培养需要,又能激发学生学习积极性和主动性,培养学生数学能力,使学生能够将数学思想和方法融合于其专业领域,提高学生分析问题和解决问题的能力,使其成为社会各领域的复合型、交叉型、创新型人才.希望本课程的改革经验能为更多的院校提供借鉴作用.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.