问题17解答

解答

注:读者在提供问题解答时,请先提供印刷体的版本,并注明单位、姓名和身份(教师、本科生或研究生等). 解答被选用后需提供word版本.

多位读者独立地给出了正确的解答.以下提供两种解答.解1由何雨航同学(中国科学院大学2022级本科生,E-mail:heyuhang221@mails.ucas.ac.cn)与曹峻玮同学(哈尔滨工业大学2022级本科生,E-mail:2022112927@stu.hit.edu.cn)给出.陆琳根(复旦大学博士后, lulingen@ fudan.edu.cn)给出了同样的解答.解2由陈超平老师(河南理工大学数学与信息科学学院, E-mail:chenchaoping@sohu.com)提供.

在(0,π)中内闭一致收敛,因此可以交换求导与求和顺序.结合f(x)表达式可得

∀k∈+,由于

在 (0,π) 中内闭一致收敛,交换求导与求和顺序得

解2记+为全体正整数构成的集合. 众所周知,

这里 Bn(n≥0)是 Bernoulli 数, 由下面生成函数给出

于是获得

进而获得

因此,f的k阶导数(k≥0) 均在 (0,π) 内恒正.

第二个解答整体思路上比较自然简洁:即把被研究的函数用适当的(幂)级数来表示, 进而对其导函数进行讨论,但解答的具体细节上还是非常不容易的,利用了由 Bernoulli 数为系数的幂级数表示cotx的相关结论,以及 Bernoulli 数的生成函数.