问题双驱动的概率论与数理统计教学方法及实践

段晓君, 陈 璇, 晏 良

(国防科技大学 理学院,长沙 410073)

0 引 言

目前很多课程教学模式从传统的面对面线下教学模式,转变为线上线下混合型教学模式或完全线上教学模式.将线下教学的经验和方法完全照搬到线上教学直播课程中并不一定合适,会带来师生间的实时互动交流效果不够,无法准确判断全班学生的知识掌握理解程度等情况,应进行相应的教学设计改善,解决线上教学模式带来的种种问题[1-3].原有的线下课程教学模式可随时关注学生动态,保证学生的学习专注力.而在线理论课程教学则主要面对如下挑战:一是缺乏面对面和眼神交流,教学感染力可能下降;二是面对电脑、手机,尤其是理论课程的教学,学生可能会觉得比较枯燥而容易分神;三是线上教学可能面对数百学生,容易出现难以掌控学生全局的局面.

问题驱动的教学设计方法能够在一定程度上有效解决上述挑战.文献[4]通过问题驱动、激发头脑风暴等方式调动学生主动思考和探索的科学精神积极性,注重培养学生的优化思想和追求优而更优的创新思维方式的能力.文献[5]构建了以学生为中心、科研创新为目标、问题驱动型的教学方法,采用“问题场景式导入+基本理论介绍+前沿阅读+专题交流”的研讨方式,通过协作学习,选择关键方法和核心知识解决面临的实际问题.文献[6-7]在概率论与数理统计课程教学过程中贯彻问题驱动、案例教学的理念,引入网络平台课程的师生课外互动环节、统计软件的应用等,形成了以解决实际问题为目的的新的教学模式.文献[8]在教学过程中以问题驱动,采用启发、探究等多种教学方式,引导学生积极分析思考.总之,在“新工科”的背景下,问题驱动的教学方法已经在计算数学类课程、统计优化类课程中取得了较为有效的应用.综合目前对于问题驱动的理解,多为通过案例教学的手段与方法,引出课程知识点并进行讲解.这种从实际案例出发的问题驱动非常重要,但在一定程度上未强调全程深度融合.若能将概念起源、性质推导、推广应用等与案例教学全程有效结合,则可引导学生对所学知识点的理解更加深刻,有利于学生创新思维的培养.

因此,本文以概率论与数理统计课程为例,结合课程特点与内涵,从“以用领教”和“以问串教”两个角度出发,开展了问题双驱动的理论课程教学设计思考与探索,力图为理论课程线上教学模式带来的挑战提供一种解决思路,激发学生的学习兴趣和提升相关知识的理解掌握深度.通过“以用领教”(实践案例贯穿始终)和“以问串教”(概念复现逐步深化)的“串串烧”模式,有机结合雨课堂的客观题和主观题,生动引入形象案例、严谨推导理论公式、反复练习应用例题,全面关注学生的问答反馈,进一步激发学生学习自主性和浓厚的线上学习兴趣.

1 课程线上教学设计策略

概率论与数理统计是一门理工科学生的公共理论基础课程,研究和分析对象是生活中应用广泛的随机现象.课程目的是通过理论学习和实践教学,使学生掌握概率思想、随机变量、概率分布、统计数据收集描述与解释、分析推断等基本理论与方法,并解决实际应用中的概率统计问题[9].

该门课程有以下特点:(i)以高等数学和线性代数等课程知识作为基础.例如,在事件的关系与运算知识点中应用了集合论,在连续型随机变量知识点中应用到了微积分,在离散型随机变量知识点中应用了级数,在二维连续随机变量的变换及分布知识点中应用了线性变换等等;(ii)概念繁杂,理论性强,理解掌握相对困难.例如,概率密度包括联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度等概念,随机变量的分布介绍了正态分布、指数分布、泊松分布等多种类型,数字特征包含了期望、方差、相关系数、协方差、矩等等;(iii)与现实世界联系紧密,应用广泛.不管是日常生活中的生日问题、抽奖问题、股票问题、产品寿命问题、抽样检测问题,还是军事领域中的弹道估计问题、图像噪声去除问题、装备维修问题等等,都应用到了概率论与数理统计的相关知识[9-12].

课程学习过程中,学生心目中常见的疑问可以概括为三个“W”.第一个“W”指“Why”,即学习概念的时候为什么要学习这个概念,为什么概念是这种表示方式;第二个“W”指“What”,即学习性质的时候这个性质具体使什么内容,推导过程是什么;第三个“W”指“How”,即学习了概念和性质之后,应该如何进行计算,应该如何应用到实际问题中去.

因此,本文针对该门课程的内涵与特点,以学生常见的问题为驱动,从“以用领教”和“以问串教”两个角度出发,开展双驱动“串烧式”课程教学设计策略研究.如图1所示,在“以用领教”方面,结合实际应用中的背景案例、历史典故与关联回溯介绍激发学生的学习兴趣,通过课内演算、课外精练、动手实践等教学手段的实施和慕课、国家精品资源共享、线上直播混合教学模式的开展,提升学生的创新实践能力、加强实际应用能力;在“以问串教”方面,利用概念辨析、性质分析、定理证明、例题解析等方法进一步深化学生的知识理解和掌握能力.

图1 线上教学设计策略

2 以用领教的多维度实践驱动教学

所谓“以用领教”,就是从实践角度出发,结合课程特点,将概率统计的相关知识应用到生活中的具体实际问题中去,更好地激发学生们的学习兴趣.主要包含线上混合式教学模式开展、背景案例引入、历史典故及关联回溯介绍、课内外精算与动手实践结合四个方面.

2.1 线上混合式教学模式

概率论与数理统计课程有慕课课程(https:∥www.icourse163.org/course/ NUDT-43802)、国家精品资源共享课(http:∥www.icourses.cn/sCourse/course_6556.html)两种线上资源,可组织学生们开展自学.

线上混合式教学除了慕课课程和国家精品资源共享课同步开课之外,主要依托雨课堂、腾讯会议、钉钉等教学平台进行网络直播授课,并建立班级微信群,对学生们在学习过程中遇到的难点和疑问同步答疑,形成了线上中国大学慕课课程(国家精品资源课程)自学、网络教学平台直播授课、微信群答疑三种模式有机互补的混合式教学方法.

2.2 背景案例引入提升学习兴趣

为有效提升学生的学习兴趣,在介绍课程知识点的时候,注重加强了对相关应用领域引例的介绍,通过背景案例指导学生如何利用概率统计工具解决实际问题.下面以采用的三个引例进行简单介绍.

(i) 在介绍等可能概型知识点时,介绍了二战时期德军潜艇袭击英美运输船队的背景案例.1943年以前,大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击.当时英美两国无力增派更多的护航舰艇.一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额.数学家们建议由分散运输改为集中运输,舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口,通过等可能概型计算后,发现盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%下降为1%,大大减少了损失.

(ii) 在介绍随机现象与随机事件知识点时,引入了“幸存者偏差”案例.二战期间美国统计学教授亚伯拉罕·沃德应美国海军要求,研究“飞机应如何加强防护,才能降低被炮火击落的几率”.针对相关数据进行分析后发现:机翼是飞机中最容易遭受攻击的位置,而机尾则是最少被攻击的位置,因此,军方认为应防护机翼.而沃德力排众议,认为应防护机尾,因为中弹弹著点平均分布在机身各处,统计样本中仅包含没有因敌火射击而坠毁并安全返航的轰炸机.机尾一旦中弹,其安全返航并生还的可能性就微乎其微.

(iii) 在介绍随机变量函数的分布知识点时,给学生们详细讲解了导弹落点偏差服从的分布.导弹落点偏差一般服从二维正态分布.圆概率误差定义为:在相同的条件下,向同一目标发射多枚导弹,以瞄准点为中心,包含50%弹着点的圆的半径.半径愈小,说明导弹的命中精度愈高.通过公式推导,可以得到圆概率误差服从瑞利分布.

2.3 历史典故、关联回溯激发探索欲望

除加强结合概率统计在实践领域的案例引入之外,课程也适当通过对历史人物、历史典故的介绍,以及相关的知识关联激发学生的学习豪情与探索欲望,引导学生更加深入地投入到学习中去.

例如:(i)在讲解贝努利分布(二项分布)的过程中,介绍了瑞士贝努利家族中出现了众多的优秀人才,而其中佼佼者的雅各布·贝努利在微积分、概率论以及物理学方面都作出了出色贡献;(ii)在讲解泊松分布的时候,介绍了法国数学家泊松的生平,通过泊松定理的证明,带领学生们更好地领会了泊松分布与二项分布之间的关系,并了解了泊松分布在历史上最初是作为贝努利分布的近似被泊松引入的;(iii)在讲解正态分布的时候,详细介绍了正态分布名字的由来,以及最早由德国数学家高斯在研究误差理论时引入的历史.

2.4 课内外精算与动手实践深化学习理解

此外,通过课内演算、课外精练、动手实践等教学手段的实施,进一步提升学生的学习兴趣,深化学生的学习理解能力.

(i) 在课内演算方面,讲完知识点之后依托雨课堂导入的主观计算题,让学生进行演练和计算,通过上传的答案实时了解学生对知识点的理解和掌握程度,及时发现学生理解偏差并立刻予以纠正.

(ii) 在课外精练方面,每次上完课之后通过雨课堂发布课后作业,每周批改一次作业,及时了解学生是否确实理解和掌握了课上所授的知识内容.阶段性内容学习完成,如在讲完前三章随机事件与随机变量,以及前五章概率论部分的内容后,发布试卷进行了两次阶段性测试,并对测试成绩进行分析,对错误较多的题目,通过钉钉直播发挥同学的主观能动性,进行专门讲解,老师适时点评.

(iii) 在动手实践方面,通过收集在实际科研与生活应用中相关的概率统计问题,布置了课后动手练习的实践性专题,进一步提升学习兴趣,加强对创新意识与创新能力的培养.

例如:①在贝叶斯公式章节讲完后,布置了应用贝叶斯公式对实际数据进行分析或预测的课后动手练专题.有同学结合全国传染病报告统计数据,开展了基于贝叶斯公式的传染病概率计算研究,并通过编程实现,证实了后验概率与基数和先验均有关系的结论;②在讲完几种常用随机变量的分布后,引导大家验证泊松分布与二项分布、指数分布、正态分布之间的关系.很多同学通过Python等软件编程,实现了二项分布与泊松分布之间关系的验证(泊松定理)、泊松分布与正态分布之间的关系验证(参数与正态分布参数对应后,概率分布曲线重合)、泊松分布与指数分布之间的关系验证(单位时间内独立事件发生次数服从参数为λ的泊松分布,则两次独立事件发生的时间间隔服从参数为λ的指数分布).

3 以问串教的串烧式解析驱动教学

所谓“以问串教”,就是从学生角度看问题,深挖理论知识的内涵,针对学生心目中常见的疑问来引导教学内容,使学生更容易理解其中的重难点,解决心中疑问.通过混合线上模式组织学生开展自学,有机结合雨课堂的出题模式开展概念辨析与复访,生动引入形象的背景案例,严谨地推导理论公式和性质定理,结合具体常见应用反复练习例题,利用上述“串串烧”模式,与学生频繁交互,使学生能够在2小时的课堂内始终保持较高的参与度和注意力,确保稳定的学习效果.

3.1 概念辨析与复访

另外,针对概念较为密集的章节,在学完所有概念后会再次统一进行回顾复习,力求让学生理解和明晰各个概念之间的区别与联系.例如,在多维随机变量一章中,根据离散型和连续型随机变量,分别介绍了联合分布函数、联合分布律、联合密度函数、边缘分布函数、边缘分布律、边缘密度函数、条件分布函数、条件分布律、条件密度函数等相关定义,且各定义之间关联,存在极限、求和、积分等关系,因此有必要在章节完成后对所有概念进行回顾、辨析与复访,使学生掌握理解相关概念.

3.2 性质分析与定理证明

作为数学类的公共课程,课程中涉及众多的性质与定理,性质分析与定理证明的板书为数学课程的一大特色和亮点.线上课程难以完全在黑板上板书实现,可采用PPT与手写板板书结合的方式进行,通过PPT展示分析与证明的步骤与思路,对于细节和难点则利用手写板进行板书并发送全班.

对于性质分析,除了PPT和板书证明外,还可适当对学生提问,举出一些常见应用中的例子进行讲解.例如,三事件相互独立必须满足任意两事件均独立,但反之未必成立,此时可根据摸球模型,利用等可能概型列举反例进行证明.

此外,对于定理中的疑难问题,可采用多角度试验对比的方式进行证明.例如,在连续型随机变量单调函数的分布定理证明中,单一的证明很容易忘记结论中反函数导数的绝对值,因此在证明过程中,可以分别从单调递增函数和单调递减函数两个角度出发,分别进行案例分析和推导,得到定理证明的结论.

3.3 例题解析

要使学生熟练掌握概念、性质和定理,在介绍知识点的基础上,还需进一步加强在实际案例中的应用.因此,需要充分结合生活实际,在例题解析方面加以强化.例如,在事件独立性知识点中,通过概率的计算向大家讲解为什么“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,在贝叶斯公式介绍中可通过军训中常见打靶问题来解算“一发一中”与“百发百中”在命中率评估中到底有何区别.

此外,可通过“以用领教”中介绍的课内外精算与动手实践进一步深化学生对概念、性质和定理的学习理解能力,真正实现 “以用领教”和“以问串教”的双驱动有机结合.

4 课程效果调查统计

为对问题双驱动的课程线上教学效果进行研究观察,设计了一份调查问卷,针对影响线上教学效果的主要因素、教学环节对线上课程的帮助、基于案例授课与实际问题结合程度、基于案例课程的学习效率、线上课程的主要收获等问题对线上教学班级实施问卷调查,回收近100份,探讨问题双驱动的课程线上教学效果.

调查问卷统计情况见图2.可以看出,超过一半的学生认为教学设计、学习状态和注意力是影响线上教学效果的最主要因素,接近一半的学生认为教学平台和软件的选择、互动和答疑也是影响线上教学效果的主要因素.在教学环节对线上课程的帮助方面,大部分学生认为例题解析最为重要,近一半的学生认为实践案例引入、复杂公式理论推演、动手演练也起到了很大的作用.从基于案例的授课与实际问题结合程度而言,83.51%的学生认为结合明显.从学习效率角度出发,85.57%的学生认为,基于案例开展线上授课后,学习效率有所提升.

图2 问题双驱动的课程线上教学效果调查问卷统计

此外,将线上教学班级摸底考试成绩与前一年线下教学班级的期末考试成绩进行了简单的对比分析.为保证试题难度的一致性与考试成绩的可对比性,线上教学班级摸底考试采用的就是前一年的期末考试试卷.两个班级具体成绩分布情况如图3所示.成绩高低一方面与学生的学习主观能动性、考试态度相关,另一方面也与不同教学模式的教学效果关联.之前线下教学主要依靠老师在课堂上讲授,对学生的学习主观能动性要求更高,学生的课后复习大都依托课后习题等方式进行自学,能够做到慕课线上平台与线下教学相结合的只有少数,老师在课后的辅导与答疑只起到一定的辅助作用.而在这次线上教学中,为了保证学习效果,我们从问题双驱动出发,激励学生的学习兴趣和学习动力,同时依托线上教学平台进行课程的回看复习,反复在雨课堂进行薄弱环节针对性训练或在学习群中进行重难点主题式交流,学生对基础知识点和重难点的掌握得以不断加深巩固.

图3 线上教学与线下教学考核成绩分布对比图

5 结 论

概率论与数理统计是高校本科教学中十分重要的统计类理论公共课程,在无法开展完全线下教学模式的前提下,如何针对线上或混合式教学模式带来的挑战开展高效的教学是需要重点研究的问题.本文在对线上教学实践经验总结分析的基础上,从“以用领教”和“以问串教”两个角度出发,提出了问题双驱动的理论课程“串烧式”教学设计策略,有效解决了线上或混合式教学模式带来的教学感染力可能不足、学习专注力可能下降等现实问题,提升了学生的学习兴趣,培养了其自学能力、探索能力和创新能力,达到了较好的教学效果.实际上,问题双驱动的教学设计应用到线下也有良好的教学提升效果,同时也可为其它理论课程的教学设计提供借鉴和参考.

致谢作者非常感谢审稿专家提出的宝贵意见.