巧借参变分离，妙用端点效应

王志华

摘 要：含参函数的单调性问题一直是新高考中比较常见的一类难点与亮点问题，结合一道高考真题实例，从不同思维视角切入，剖析问题的转化与求解，进一步拓展思维，变式提升，归纳解题规律，提升数学能力，引领并指导解题研究.

关键词：函数；单调性；参变分离；端点效应

含参函数的单调性及其综合应用问题，一直是高考数学试卷中比较常见的一类常见题型.此类综合应用问题，设问方式多变，形式新颖创新，同时合理交汇并融合函数与方程思想、函数与导数应用、不等式等相关的数学思想与基础知识，可以很好考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，具有较高的选拔性与区分度，倍受各方关注.

1 真题呈现

高考真题：（2023年高考数学全国乙卷理科·16）设a∈（0，1），若函数f（x）=a^x+（1+a）^x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是__________.

此题以两个含参的指数函数的和式所对应的函数解析式来创设函数场景，利用函数的单调性来确定对应参数的取值范围问题.

涉及此类判断函数的单调性或利用函数的单调性来综合应用问题，都是高考命题中比较常见的题型之一.这里借助函数在给定区间上单调递增（或减），则其对应的导函数恒为正数（或恒为负数），借助不等式的构建，为进一步参数值的求解或其他相关应用奠定基础.

在实际判断函数的单调性或利用函数的单调性来综合应用时，合理借助相应的技巧方法与解题策略，主要利用不同形式的参变分离法或端点效应法来切入，同时经常要结合分类讨论、构造等数学思想方法来应用.

2 真题破解

3 变式拓展

4 教学启示

4.1 总结常规方法，归纳常见思维

解答一些解析式中带有参数的函数的单调性、极值或最值等综合应用问题，主要是借助函数的求导，通过导函数的构建，从函数的图象或不等式恒成立等方面数形直观或逻辑推理，借助方程的恒等变形以及不等式性质，合理采取参变分离、主元分离、端点效应等思维方式，做到一“变”一“常”，一“静”一“动”，结合相关的技巧方法来分析与处理.

4.2 倡导“一题多解”，实现“一题多得”

选取一些经典的高考导数真题，在问题解决的前提下，要适当停下来，合情合理适时地反思，领悟其中蕴含地数学思想，不同视角、不同层面进行深层次探究与剖析，以期达到触类旁通，举一反三，全面运用“一题多思”“一题多解”“一题多变”手段，真正达到“一题多得”的学习效果.

借助“一題多解”，可以使得我们更加熟练和牢固地掌握数学知识，更加完善地建立知识体系，获得更开阔地解题思路，解题效益从而真正提高，发散思维能力进一步提升，我们学习的主动性、积极性和趣味性有了进一步激发，从而我们的知识水平和思维能力有了全面提高.