由一道平面向量最值问题引发的思考

孔令春

向量是既有大小又有方向的量.由平面向量的这种特殊性质可知，解答平面向量最值问题，可从数量關系和几何图形两个方面入手，寻找解题的思路.下面以一道平面向量最值问题为例，探讨一下解答此类问题的常规思路.

例题：

一、基底法

基底法是解答平面向量问题的重要方法.在解答平面向量最值问题时，选择两个或三个已知的向量为基底，并根据向量的共线定理、基本定理，用这组基底表示出所求的向量，即可通过向量的加法、减法、数乘运算，利用向量的数量积公式、模的公式，求得问题的答案.

解：

我们根据题意很容易求得、、的模长，于是采用基底法，设=λ ， 以、、为基底，将向量、表示出来，并求得这两个向量的数量积的表达式，即可通过配方，求得最值.

二、利用极化恒等式

极化恒等式是解答向量数量积问题的重要工具. 在平行四边形 ABCD 中，若AD = a，AB = b ，由平行四边形法则可得AC = a+ b ，DB = a- b，则 | |AC 2 = （a+ b） 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，| |DB 2 = （a- b） 2 = a 2 - 2ab + b 2 ，将两式相减可得 | |AC 2 - | |BD 2 = 4ab ，即 a?b = 1 4 [（a+ b ） 2 -（a- b ） 2 ] . 运用极化恒等式，可将平面向量数量积的最值问题转化为求两个向量或两条线段长的和差的最值，这样便使问题得以转化，我们可从另一个角度寻找解题的思路.

解：

运用极化恒等式，可将求?的最小值转化为求线段|EF|的最小值.运用极化恒等式解题，实质上是根据向量的平行四边形法则将问题转化为线段问题，再结合图形找到取得最值的特殊位置，即可得到答案.

三、坐标法

在解答平面向量最值问题时，可在图形中寻找或者求作垂直关系，建立平面直角坐标系，并用坐标表示各个点、各条线段，再进行向量坐标运算，即可求得目标式，这样便将问题转化为求代数式的最值.

解：

在建立平面直角坐标系后，求得各个点的坐标，便将平面向量最值问题转化为向量坐标运算问题.再根据完全平方式恒大于或等于0的性质，即可求得最值.

上述三种方法都是解答平面向量最值问题的重要方法，它们各有优缺点.在解题时，同学们要根据题目中的条件灵活选择以上方法.