例谈线线平行性质的应用技巧

汪明亮

在解答立体几何问题时，我们经常会遇到判断空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行或垂直关系的问题，这就要用到线线平行的性质：（1）若两條平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面；（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（3）若两条直线平行，则其同位角相等；（4）若两条直线平行，则其同旁内角互补.

而要用线线平行的性质解题，往往要先证明两条直线平行.常用的方法有：（1）面面平行的性质定理：若两个平行平面分别和第三个平面相交，则交线平行；（2）面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；（3）利用三角形中位线的性质；（4）利用平行四边形的性质；（5）根据线段之间的比例关系.线线平行的性质常用于证明线面垂直、求异面直线所成的角、求直线与平面所成的角.下面举例加以说明.

一、证明线面垂直

有时无法直接证明直线与平面垂直，就不妨先证明这条直线与另外一条直线平行，再证明另一条平行线垂直于平面，然后根据线线平行的性质证明这条直线垂直这个平面.

我们很难直接证明直线 EF 垂直于平面 PAD ，于是先根据线段之间的比例关系证明直线 EF 平行于直线 CD ，再证直线 CD 垂直于平面 PAD ，即可证明直线 EF 垂直于平面 PAD .

先根据直三棱柱和平行四边形的性质证明直线 MN 平行于 BO ，再根据线面垂直的判定定理证明 BO 垂直于平面 A1B1C ，即可证明直线 MN 垂直于平面 A1B1C .

二、求异面直线所成的角

根据等角定理可知，如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在求异面直线所成的角时，常常需要平移异面直线，使移动后的直线与两条异面直线平行，并交于一点，构成平面角，通过求平面角来求得异面之间所成的角.我们就可以根据线线平行的性质以及等角定理，确定异面直线所成的角.

例3.如图3，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，E 是 BC 的中点，则异面直线 BC1和 D1E 所成角的大小为

先根据平行四边形的性质可以判定直线 AD1 与直线 BC1 平行，即可根据线线平行的性质确定异面直线 BC1 和 D1E 所成的角为∠AD1E 或其补角；然后根据正余弦定理、勾股定理求得△AD1E 各条边的长，即可求得角∠AD1E 的大小.

例4.如图5，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，ΔABC是等边三角形，AA1=AB，D，E，F 分别是棱 AA1，BB1， BC 的中点，则异面直线 DF 与C1E 所成角的余弦值是

我们先添加辅助线，根据平面四边形的性质证明直线C1E 与直线 HF 平行，即可根据线线平行的性质确定异面直线 DF 与C1E 所成的角为∠DFH 或其补角；再根据勾股定理、余弦定理求解即可.

三、求直线与平面所成的角

因为两条平行直线与同一个平面所成角的大小相等，所以在求直线与平面所成角受阻时，可以将问题转化为求平行线与平面所成角的大小.

解答本题，需先根据正方形的性质判定 PA//EF ；然后根据面面垂直的性质定理以及直线与平面所成角的定义，确定直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为∠PAD ；再根据线线平行的性质证明直线 EF 与平面 ABCD 所成的即为∠PAD .

由四边形 AMB1A1 为平行四边形可知 AM//A1B1 ，即可根据线线平行的性质，将求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角，转化为求直线 AM 与平面 BCB1 所成的角.而∠AME 为直线 AM 与平面 BCB1 所成的角，利用勾股定理得出 EM，AE 的长度，即可求得直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

可见线线平行的性质在解答线面平行、线面垂直、异面直线所成角和线面所成角问题时，都起着非常重要的作用.同学们要学会将其灵活地应用于解题当中.