注重推理过程，提升推理能力

潘敬贞 钱耀周

［摘  要］ 立体几何是发展学生直观想象和逻辑推理素养的重要载体，也是每年高考必考的内容.文章从考查思路、求解思路和解法评析等方面对2023年全国新高考Ⅰ卷“立体几何解答题”进行分析，提出几点教学建议与大家交流、探讨.

［关键词］ 立体几何；试题分析；逻辑推理；教学思考

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的方法. 推理形式有归纳推理、类比推理和演绎推理.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质［1］.立体几何是发展学生直观想象和逻辑推理素养的重要载体，也是每年高考必考的内容. 立体几何解答题的第（1）题一般是证明平行或垂直的问题，求解这类问题先直观感知点、线、面的位置关系，然后根据相关的几何性质、定理和推理规则进行证明. 论证过程要环环相扣，一步一步地推进，每一步都有理有据，语言表述要准确精练，符合推理规则.

然而很多学生证明立体几何中的平行与垂直时，却表现出：逻辑思维混乱，说理过程不连贯，缺乏论据；语言表述啰唆，不精炼，不准确. 本文从考查思路、求解思路和解法评析等方面对2023年全国新高考Ⅰ卷“立体几何解答题”进行分析，提出几点教学建议与大家交流、探讨.

试题呈现与分析

1. 试题呈现

（2023年全国新高考Ⅰ卷第18题）如图1所示，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2，AA=4.点A，B，C，D分别在棱AA，BB，CC，DD上，AA=1，BB=DD=2，CC=3.

（1）证明：BC∥AD；

（2）点P在棱BB上，当二面角P-AC-D为150°时，求BP.

2. 试题分析

本题以正四棱柱为载体，第（1）题证明线线平行，第（2）题通过二面角的大小来确定动点P的位置并求线段BP的长度. 试题背景熟悉，问法常见. 试题难度不大，但有一定的灵活性和综合性，而且具有良好的信度和区分度. 试题主要考查正四棱柱的概念与性质、面面平行的性质、平行四边形的性质、线线平行的性质、二面角的定义、向量法等基本知识，以及直观想象、逻辑推理与数学运算等素养.

求解思路分析

第（1）题的求解思路比较多，为学生解决问题提供了广阔的思维空间. 可以结合正四棱柱的性质证明线线平行，也可以结合面面平行的性质定理证明线线平行；可以先构造平行四边形，再利用线线平行的传递性证明结论成立；还可以利用向量法进行证明. 第（2）题先设动点P的坐标，再求两个平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程，最后解方程获解. 第（2）题还可以用几何法求解，但求解过程比较复杂.

1. 解答第（1）题

（1）思路1（向量）

评析 由于第（2）题可以用向量法求解，因此第（1）题可依题意建立空间直角坐标系用坐标法求解. 解法1的思路自然，过程简洁，效率高，是一种不错的解法；解法2是求解本题的通法.这两种解法简单好用，但有不少学生漏掉了“A，B，C，D四点不共线”这一重要步骤，使得说理不够充分，逻辑推理不够严密. 另外，大部分学生证明线线平行时习惯用几何法，这向教师提示：在平时教学中，要引导学生从多角度思考问题，并比较各种方法的优缺点.

（2）思路2（平行四边形）

解法1（平行四边形的性质） 如图3所示，连接AC，BD，设AC∩BD=O，取AC的中点O，连接OO. 因为ABCD是正方形，所以O是AC的中点.由题设条件可知OO是梯形AACC的中位线，所以OO=2.又DD=BB=OO=2，DD∥CC//BB∥OO，所以D，O，B三点共线，即A，B，C，D四点共面. 又O是BD的中点，所以O是BD的中点，所以ABCD是平行四边形，所以BC∥AD.

评析 解法1先证四点共面，再证对角线相互平分，最后根据平行四边形的性质证明对边平行. 然而不少学生由于各种原因漏掉了四点共面的证明，导致结论不成立（对角线相互平分有可能是空间四边形）.解法1对数学综合能力的要求比较高，一般学生很难做到：条理要清晰，说理要充分，推理要严密.

解法2（棱形概念） 如图4所示，连接AC，BD，设AC∩BD=O，取AC的中点O，连接OO. 因为ABCD是正方形，所以O是AC的中点. 由题设条件可知OO是梯形AACC的中位线，所以OO=2.又DD=BB=OO=2，DD∥CC∥BB∥OO，所以D，O，B三点共线，所以A，B，C，D四点共面. 作AE⊥DD，垂足为E；作AF⊥BB，垂足为F. 取CC的中点H，连接DH，BH，则DH⊥CC，BH⊥CC. 在直角三角形中利用勾股定理易得AD=AB=

评析 不少学生求出四边形ABCD的边长后发现四条边相等就认定其是菱形，漏掉了四点共面的证明，自然结论不成立.

（3）思路3

评析 解法1与解法2的思路基本一致，求解思路虽然清晰，但涉及的知识面比较广泛，不仅要用到平面向量基本定理，还要用到面面平行的性质定理. 在表述过程中，不少学生漏掉了“平面AADD∩平面ABCD=AD，平面BBCC∩平面ABCD=BC”，使得推理不严密，說理不充分，结论站不住脚.

解法3（全等+面面平行） 如图5所示，作AE⊥DD，垂足为E；作BF⊥CC，垂足为F. 由题设条件可得DE=CF，∠DEA=∠CFB，AE=BF，所以△AED≌△BFC，所以∠EAD=∠FBC. 因为平面AADD∥平面BBCC，且=，=，所以BC∥AD.

评析 解法3先证明两个三角形全等得到两个角相等，然后根据空间等角定理得到结论. 不少学生的求解思路与解法3基本一致，但推理过程漏洞百出，有的没指出面面平行，有的没指出角的两边方向相同，这样推理得到的结论是不成立的，很容易举出反例.

（4）思路4（线线平行的传递性）

如图6所示，分别设线段BB，CC的中点为E，F，连接EF，AE，DF，由题设条件可得BE=CF，BE∥CF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BC∥EF. 因为AE∥AB∥CD∥DF，且AE=AB=CD=DF，所以四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF. 所以BC∥AD.

评析 思路4符合大部分学生的思维习惯，解答过程简洁，也容易表述，解答效率高.思路4可以说是第（1）题最优的几何法.

2. 解答第（2）题

（1）思路1（解析法）

评析 解法2根据二面角的定义，先在两个半平面内分别作交线的垂线，然后用向量法解决两条异面直线的夹角问题. 解法2接地气，解答过程简洁，效率高，是不错的解法，但很少有学生能想到该解法，这需要教师在平时教学中引导学生思考，积累这方面的解题经验.

（2）思路2（几何法）

作PS⊥AC于S，连接QS，则QS⊥

评析 该解法具有一定的靈活性，关键是掌握并运用正四棱柱的性质转化问题，需要学生具备完整的逻辑链条以及较强的运算求解和推理论证能力，一般的学生很难想到该解法，利用该解法并顺利解决问题的学生就更少. （几何法）还可以在两个半平面分别作交线的垂线，再平移垂线使其相交于一点，然后连线得三角形，求出三角形的边长（用参数表示出来），由余弦定理列出关于参数的方程，最后求出参数的值即可得BP的值. 但该解法方程较多、字母较多，求解过程繁杂，效率不高. 相对而言，向量法（解析法）的求解过程更简洁，效率更高，凸显了向量法（解析法）的优越性.

教学建议

1. 提出新的问题——培育深度思考

2. 加强技能训练——实现熟能生巧

数学学习离不开必要的技能训练［2］，选择不同的几何体（圆锥、棱锥、圆柱、棱柱、圆台、棱台）为载体，设置不同的证明路径为问题情境，让学生运用不同的几何知识证明不同的问题，深化知识的理解，构建知识体系.在证明平行的问题中，设置三角形的中位线、平行四边形、相似三角形、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理等证明路径为问题情境；在证明垂直的问题中，设置线面垂直的性质定理、菱形的对角线、等腰三角形“三线合一”、面面垂直的性质定理、圆周角是直角等证明路径为问题情境. 在推理证明训练中培养学生的说理能力、推理能力，实现推理过程熟能生巧；鼓励学生多角度思考问题、解决问题，让学生体会问题的本质，培养学生的发散思维和理性精神.

3. 重视推理过程——提升推理能力

立体几何是培育学生逻辑推理能力的好素材，立体几何证明问题的求解教学切不可“蜻蜓点水”走过场，更不能停留在知识表层机械式操作，没有上升到数学概念内部的思维演绎层面，没有直击核心素养内核的重复练习是无益的，要让学生真实参与推理证明过程，体验思维发展过程，彰显推理论证的学习价值.因此，在立体几何证明问题的求解教学中，教师要重视推理过程，要循序渐进地开展教学，先引领学生弄清推理的依据是什么、推理的规则是什么、推理的目标是什么，然后带领学生一步一步地推理，讨论每一步推理的充分性与必要性，逐渐提升推理能力，形成推理素养.

4. 注重数学表达——培育理性思维

图形是从实物和模型抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字是对图形的描述、解释与讨论；符号则是对文字语言的简化. 因此，教学立体几何时要重视几何语言表达的训练与培育，要特别注意“模型→图形→文字→符号”这一抽象过程［3］. 求解问题时，要引导学生用数学思维思考问题，用数学语言表述问题，表达过程要注意语言的连贯性与准确性. 在训练与规范数学表达的过程中培育学生的理性思维，提升学生的思维品质.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2017.

［2］ 李刚. 在问题探究中构建知识的整体关联——以“圆锥曲线中一类定点定值问题”为例［J］. 数学通报，2023，62（02）：16-21.

［3］ 李海东. 基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考［J］. 数学教育学报，2019，28（01）：8-11.