解题研究：从解法研究走向解题教学设计

秦延延

［摘  要］ 针对中考较难题，教师往往不只局限在答案获取上，还会关注回顾反思阶段的一题多解与模式识别. 当然，更重要的是，要从解法的深度思考走向解题教学的精心预设. 包括预设出较难题的铺垫问题、引例问题、简化问题、等价问题、拓展问题等，再根据由易到难的方式渐次呈现，促进学生在解题学习中学会思考.

［关键词］ 解题研究；自贡中考；深度思考；解题教学设计

每年中考试卷“新鲜出炉”之后，在一些自媒体公众号、“解题群”都能看到不少教师的解题热情，其中一题多解、巧思妙解、无字解法等“热度很高”.然而，解题研究还需要从“一题多解”走向“多解归一”，更需要从解法研究走向解题教学研究. 本文以一道2023年中考较难题为例，整理该题的解法思路与解题教学微设计，并进行反思.

由一道中考题的思路突破及解后反思说起

考题  （2013年四川省自贡市中考题）如图1所示，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b的夹角∠OBA=30°，M是OB的中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（    ）

思路突破：观察△AOB，由已知条件可知OA为定长4，它所对的∠OBA是定角30°，于是可联想到“定弦定角”的解题经验，所以构造如图2所示的圆P（以OA为一边在第一象限取点P，构造等边三角形AOP，再以点P为圆心，PO的长为半径画出圆P，点B的轨迹是优弧OmA，不包括端点O，A）. 接着思考OB中点M的轨迹. 如图2所示，连接PM，在大圆中由垂径定理得PM⊥OB，由此有∠PMO=90°，结合OP是定长，可知点M的轨迹是以OP为直径的圆的一段圆弧.接下来我们适当删除图2中的一些线条，得到如圖3所示的“简化”图形，进一步研究∠OAM何时取得最大值.

在图3中，点A是☉Q外一点，过点A作☉Q的切线AM（切点M在第一象限），此时∠OAM最大.

解后回顾：从上面的思路突破来看，以下两个“关键问题”值得重视，让我们“提取”分析如下.

关键问题1：如图5所示，在△AOB中，AO=4，∠B=30°，点M是边OB的中点，分析点M的轨迹.

关键问题2：如图6所示，OP是☉Q的直径，点M在☉Q上，且P，M都在OA的同侧，当AM与☉Q相切时，求sin∠OAM的值.

另解分析：对于“关键问题2”，还可以借助高中“三角公式”直接计算. 如图7所示，连接AQ，可分别求出∠OAQ，∠MAQ的正切值，然后运用两角和的正切公式，求出tan∠OAM的

教学环节1：基础热身

问题1：在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°.

（1）当AC=BC时，求△ABC的面积.

（2）小明发现（1）中的情形，使得△ABC的面积取得了最大值. 你同意小明的发现吗？请说明理由.

教学预设：第（1）问是“特例引路”，让学生感受到顶点C在AB边的垂直平分线上的特殊位置.而要解释第（2）问，则需要作出点C的轨迹（在一段优弧上）. 第（3）问根据对称性质，如图8所示，有两个符合题意的点C，且都为等腰三角形. 教学时教师要请注意训练学生思维的严谨性.

教学环节2：拾级而上

问题2：如图9所示，在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°，BD是△ABC的中线.

（1）分析中线BD的最大值与最小值；

（2）当∠ABD最大时，求中线BD的长.

教学预设：第（1）问的关键是

教学环节3：挑战考题

问题3：见上文“2013年四川省自贡市中考题”，解题时可参考上文的思路突破及解后反思，限于篇幅，这里略去.

教学组织：呈现考题后，教师要先引导学生独立思考，将问题的本质看清，再分离图形、简化问题，看出需要突破哪些关键步骤，与前面“教学环节”中已经研究的哪些问题等价，这样就可以快速“通过”较难步骤.对于思路较快的学生，可优先让他们讲解思路，再安排其他学生复述思路，让更多的学生都想通解题的关键步骤. 如果课堂时间不够，解题过程或一些细节可以留作课后进一步整理成解题笔记，而将课堂时间尽可能多地用在思路分析、关键步骤的突破上.

写在后面

笔者以为，“完整”的解题研究包括解题方法或思路的深度探究，含一题多解、多解归一、结构揭示、复杂问题或图形的分离与简化等；解题教学各个环节的精心设计，包括铺垫问题的预设、变式问题渐次呈现、较难题的思路启示等预设.而以上这些，都离不开教师持续修炼与精进命题改编的专业基本功.