双层网络上考虑人口流动的传染病建模及分析

秦煜琰，杨丽新，顾梓玉

（陕西科技大学数学与数据科学学院，西安 710021）

传染病是致病性（微）生物在人与人、动物与人以及动物与动物之间相互传播的疾病，传染病的流行既具有隐蔽性也具有突发性。一直以来，传染病给人类身体健康造成了极大的危害，给社会经济发展带来极大的损失。1918年全球爆发流感，死亡人数达到2000万、2003年爆发的SARS病毒、2019年在全球范围流行的新冠肺炎等等都给人类的身体健康带来了极大地威胁。

近几十年来，复杂网络传播的动力学已经取得了一些非常重要的研究成果［1-5］。由于网络的复杂拓扑结构，可以准确地描述个体之间的关系。关于传染病在复杂网络上传播的研究大多集中在静态网络上［6-8］。静态网络是研究短期传染病的有效工具［9］，但对于一些持续时间较长的传染病，在传染病传播过程中，人口流动因素可能会改变网络的拓扑结构［10-11］。因此，研究传染病［12］在复杂动态网络中的传播具有重要意义。Jin等［13］设计了一个传染病模型，将人口统计纳入复杂网络理论，以研究人口统计对人口分布的影响，但忽略了人口分布在多层网络上的影响。Pan等［14］建立了SIS流行病模型，并讨论了人口统计和短期旅行对疾病传播的影响，未考虑在更为复杂的多层网络上的个体流动。

然而，上述文献仅考虑单层网络上传染病的传播，有着一定的局限性，在现实生活中，人口的流动不仅仅在单层网络上，而是存在更加复杂的多层网络。因此，本文考虑双层网络上人口流动因素，构建传染病数学模型，深入分析人口流动率对传染病传播动力学的影响。

1 模型建立

在本节中，主要讨论模型的建立。首先，将总人口规模表示为Ni，k（t），将人类总人口规模分为6类。

设Si，k（t），Sqi，k（t），Ei，k（t），Ii，k（t），Qi，k（t），Ri，k（t）表示为易感者（S），自我隔离者（Sq），暴露者（E），感染者（I），隔离者（Q）和康复者（R）在时间t时城市i中度为k的密度。同时，总人口规模满足：

以下是模型的一些假设。

1）没有独立的个体。并且个体最多可以与m个个体相关联。即，k∈｛1，…，m｝，i∈｛1，2｝。

2）以下等式成立：

3）所有新生儿都易感。新生儿进入城市i的概率为δi，k。每一步时间，城市i中新生儿个体的数量为Ai。

4）城市网络节点不会形成多重边和自环。

5）度为k在城市i的个体比例可以定义为pi，k＝Ni，k／Ni。随机选择连接到感染邻居的边缘的概率由下式给出：

如图1所示，疫情在两个城市之间的传播机制图，红色箭头表示由于人口流动导致两个城市的人之间的接触而导致的感染，黑色线表示由于城市内的人口流动而导致的疾病传播。

基于上述假设和传播机制，得到以下模型：

其中，d1和d2分别表示自然死亡率和因病死亡率，βi表示城市i中感染者的传染率，λi表示城市i中潜伏者的传染率，q和q1分别表示自我隔离率和解除自我隔离的概率，ξi和ωi分别表示城市i中人口流动率和城市i中因为人口流动接触的人数，εi表示城市i中潜伏者转化感染者的概率，和分别表示城市i中隔离者的康复率和感染者的和康复率。和表示城市i中潜伏者的隔离率和感染者的隔离率。

模型（3）的第一个等式中，δi，kAi表示城市i中度为k新生个体的数量。（βi＋λi）k（1－ξi）θiSi，k意味着易感个体不在两个城市之间流动，而是接触城市i中的潜伏者和感染者而导致的感染。q1Sqi，k表示自我隔离的个体解除了隔离状态，变成了易感个体。（q＋d1）Si，k表示易感个体的自然死亡或自我隔离。ωikξi（λi′＋βi′）［（Ii′＋Ei′）／Ni′］Si，k表明易感个体由于在两个城市之间的人口流动时与其他城市的潜伏者和感染者接触而被感染。

2 动力学分析

在本节中，主要讨论了模型的基本再生数以及平衡点的稳定性。由模型的假设，可以得到：

定理2.1集合Ω是模型（3）的正不变集，其中

证明：由模型的假设可以得到：

化简后为

给上述不等式两边积分得：

因此，对于模型（3），该Ω 区域是正不变的并且是吸引的。

下面计算该模型的无病平衡点。记无病平衡点为E0：

基于无病平衡点，讨论模型的基本再生数。使用下一代矩阵的方法，同时计算矩阵的谱系数，模型的基本再生数等于矩阵的谱半径。下面给出了两个矩阵F1和V1，它们分别是模型的输入矩阵和输出矩阵：

输入矩阵和输出矩阵在无病平衡点的偏导数计算如下：

其中：

因此，得到：

让模型（3）的右端项为0，得到地方平衡点为：

其中，

定理2.2对于系统（3），如果R0＜1，则无病平衡点E0在Ω 中全局渐进稳定。

证明：首先，将模型改写为如下形式：

U0＝（X0，0）是模型的无病平衡点。

模型（3）满足下面两个条件：

x0是的全局渐进稳定的平衡点。因此，U0是全局渐进稳定的。

A21＝－V21，A22＝－V22，A31＝－V31，A32＝－V32，A33＝－V33。其中Vij为计算基本再生数时提到的矩阵。

注意到A是一个Metzler矩阵，则－A是一个M-矩阵，并且当R0＜1，所有关于A的特征值都有负实部。因此Z（t）是全局渐近稳定的，即：

也就是说，如果R0＜1，无病平衡点E0在Ω 中全局渐进稳定。

定理2.3如果R0＞1，则地方平衡点E*在Ω中全局渐近稳定。

证明：考虑以下李雅普诺夫函数：

下面对上式求导可得：

再将模型（3）代入上式得：

其中，

令h3＝1，将x2，x3，x4，x5的系数都设为0来求h1，h2，h4，求得

因此，使用算术-几何平均不等式，可以看到L只有当x1＝1，x2＝1，x3＝1，x4＝1以及x5＝1时，它才小于或等于零。根据LaSalle不变集原理，包含最大的Ω 不变集：

减少到地方平衡点。因此得出结论，地方平衡点E*在Ω 中是全局渐近稳定的。

3 数值模拟

在本节中，主要分析与人口流动相关的参数对两个城市之间传染疾病传播的影响。

从图2中可以看到，当R0＜1时，两个城市的感染者等密度稳定并趋于0时，这与理论结果相符合。

图2 个体密度随时间的变化Fig.2 Changes in individual density over time

可以从图3中看到，当R0＞1时，感染者的密度趋于一定的稳定值，不趋于0，也就是成为了地方性疾病。

图3 个体密度随时间的变化Fig.3 Changes in individual density over time

图4为两个城市之间人口流动率的变化对感染者密度的影响。人口流动率越大，表明两个城市之间的人口流动增加，这种行为加剧了疾病的爆发，也增加了感染者的数量。

图4 I 1（t）和人口流动率的关系Fig.4 Relationship between I 1（t）and population mobility rate

图5显示了两个城市之间人口流动期间接触人数的变化对疫情传播的影响。从图中可以看出，随着接触者数量的增加，疫情传播速度增加，感染者数量增加。

图5 I 1（t）和接触人口数的关系Fig.5 Relationship between I 1（t）and contact population

图6显示了当两个城市之间的人口流动率和人口流动过程中的接触人数为0时，个体随时间的变化。这与现实生活中的学校封锁或城市封锁政策非常相似，可以有效抑制疾病的传播。

图6 无人口流动时个体密度变化Fig.6 Individual density changes without population mobility

图7显示，由于媒体效应的增强，媒体呼吁人们采取自我保护措施或避免附近感染者的轨迹，从而提高了个人的自我隔离率。这种措施可以极大地避免个人感染的可能性。

图7 I 1（t）与自我隔离率的关系Fig.7 Relationship between I 1（t）and Self isolation rate

图8显示了两个城市的人口流动率与基本再生数之间的关系。随着两个城市人口流动性的增加，基本再生数逐渐增大。这对于疾病在现实生活中的传播具有重要意义。如果减少城市之间的人口流动，就可以控制基本再生数，并有效抑制疾病的传播。

图8 R 0 与人口流动率的关系Fig.8 Relationship between R 0 and population mobility rate

在数值模拟部分，重点讨论了两个城市之间的人口流动对疾病传播的影响。研究结果表明，城市之间的人口流动具有显著影响。如果想迅速遏制疾病的传播，需要控制人口流动，以隔离疾病与外界的传播。

4 结论

本文提出了一个改进的传染病模型，该模型考虑了两个城市之间的人口流动，构建了一个更接近真实网络的传染病传播模型。此外，通过理论分析和数值模拟对流行病的传播动力学进行了分析。研究结果表明，当城市内人口流动率增加时，人们更容易感染。当两个城市之间的人口流动速度增加时，易感人群的感染率加快，传染病的传播速度迅速增加。同时，如果在传染病传播期间媒体效应增强，自我隔离的个体就会增加，减缓传染病的传播。也就是说，在传染病传播期间，控制城市之间和城市内部的人员流动，可以有效地遏制传染病的传播速度。