具有隐性感染的年龄结构传染病模型的稳定性分析

张凡丽，高红亮

（兰州交通大学数理学院，兰州 730070）

病毒感染是一个极其复杂的过程，按照感染症状的明显程度分为显性感染和隐性感染，同一病毒可能对不同的人有不同的情况，有时会引起显性感染，有时引起隐性感染。隐性感染可能使病毒不能最后侵犯或到达靶器官，因而不呈现或很少出现临床症状，这种感染最为常见，是人和动物天然自动获得抗病毒特异性免疫力的主要来源。同时，隐性感染动物仍然有向外界散布病毒而成为传染源的可能性，许多传染病都具有隐性感染的特点，如口蹄疫、艾滋病、乙型脑炎、甲型肝炎和新型冠状病毒等。因此对隐性感染的研究具有非常重要的流行病意义。其实早在2009年Shil［1］已经建立了SEIAR 模型，考虑了隐性感染对于疫情的影响；Grunnill［2］建立了SAIR 模型，采用随机模拟的方法，估计出感染者中无症状感染者所占比例最高可达到70%；Robinson等［3］建立了SAIR 模型，证明了忽视无症状感染会对有症状感染的治疗效果变差；Aguilar等［4］建立了SEYAR 模型，讨论了无症状感染对传染病传播的影响。国内许多学者［5-11］同样讨论了无症状感染和其他种群因素对疫情的影响，但这些研究都未考虑年龄因素。

年龄不仅对于种群增长规律和传染病流行规律而言是一个重要因素，对生育率、死亡率、传染率以及恢复率也有一定的影响。因此，使用年龄结构模型来研究某些传染病模型传播的动力学是非常重要的。年龄结构分为生理年龄结构和类年龄结构，生理年龄即随时间变化的年龄，而类年龄是指自患病或者接种疫苗之日开始计算的年龄。自20世纪70年代开始，许多学者［12-15］已经注意到生理年龄结构对于疾病传播有着重要的影响，并提出了很多年龄结构的传染病模型来研究某些传染病的动力学行为。

基于以上分析考虑，本文建立了一个具有生理年龄的SEIR 模型，将人群分为易感者类、潜伏者类、染病者类、隐性感染者类和康复者类，假设个体成功接种疫苗后获得免疫不再发病，并且个体的自然死亡率、疫苗接种率、感染率和恢复率都与年龄有关。首先讨论了无病平衡点和地方病平衡点的存在性，然后研究了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，最后得出结论。

1 建立模型

本文将所研究的人群分为5类，分别为易感者类、潜伏者类、染病者类、隐性感染者类和康复者类，并用S（a，t），E（a，t），I（a，t），A（a，t），R（a，t）表示在t时成员年龄a的易感者类、潜伏者类、染病者类、无症状者类和康复者类的年龄分布函数。种群全体成员的年龄分布函数为N（a，t），即N（a，t）＝S（a，t）＋E（a，t）＋I（a，t）＋A（a，t）＋R（a，t），根据传染病建模方法，建立如下年龄结构的传染病模型，

各参数表示的意义如表1所列。

表1 各参数表示的意义Tab.1 Parameters meaning

基本假设：

1）具有一定的初始人口；

2）不考虑因病死亡；

3）无症状者和染病者都具有传染性，传染率为β，且无症状者的传染率是染病者的k倍；

4）无症状者的占比为p，且A＋I＝1；

5）无症状者的恢复率与染病者的恢复率相同。

为了简化系统（1），对系统（1）进行归一变换，令

则系统（1）变为如下形式

其中，

初始条件

边界条件：

有

2 无病平衡点的存在性和稳态

2.1 无病平衡点的存在性

当系统（2）达到稳定的年龄分布时，s，x，i，f只与a有关，所以系统（2）变为如下形式

显然i（a）＝0是系统（3）的第3个方程的解，那么

则

综上可知无病平衡点存在且唯一，即E0＝［s0（a），r0（a），0，0，0］。

2.2 无病平衡点的局部稳定性

为了研究无病平衡点的局部稳定性，对系统（3）进行线性变换，令

则系统变为如下形式

其中

它的线性部分如下

边界条件：s（0，t）＝0，i（0，t）＝x（0，t）＝f（0，t）＝0

考虑系统（5）的指数解形式，令

则系统（5）变为如下形式

其中，

解系统（6）可以得到

定理1若R0＜1，则无病平衡点局部渐进稳定。

证明由等式（7）可知，

F（ξ）的大致图像如图1所示。

图1 F（ξ）的大致图像Fig.1 Approximate graph of F（ξ）

当R0＜1时，如图1所示，存在唯一的负实根ξ*使得F（ξ*）＝1。

下证当R0＜1，ξ*＜0时，等式（7）的所有复根有负实部。设u＝α＋iβ也是F（ξ*）＝1的根，那么

又F单调递减，所以

定理得证。

2.3 无病平衡点的全局稳定性

定理2若R0＜1，则无病平衡点全局渐进稳定。

证明根据全局稳定的定义，只需证

对系统（2）的第一个方程沿着特征线积分a＝t＋c有

利用同样的方法可得到

又因为

对式（8）两边取上确界的极限，有

当R0＜1时，

又

所以，

再由i（a，t）的表达式可知

定理得证。

3 地方病平衡点的存在性和稳态

3.1 地方病平衡点的存在性

当系统（2）达到稳定的年龄分布时，系统只与a有关，则系统（2）的稳态解满足如下形式

边界条件：

其中，

则

令上式右端为L（Λ*），则有如下定理。

定理3若R0＞1，系统（2）存在唯一的正平衡点E*存在唯一的＞0使得

3.2 地方性平衡点的局部稳定性

为了研究地方性平衡点的局部稳定性，对系统（2）做线性变换，令

则系统（2）的线性部分如下所示

考虑上述系统（10）的指数解形式

则系统（11）为如下形式

由系统（12）可以得到

因此，有如下定理。

定理4若R0＞1，地方性平衡点局部渐进稳定。

证明因为

将等式右边记为Q（η）。

显然Q（η）关于η单调递减，那么，当η＞0时，

以上分析说明，只有当Reη＜0，P（η）＝1。因此，若R0＞1，P（η）＝1的所有根都具有负实部。

定理得证。

4 结论

本文提出了一个考虑隐性感染的年龄结构的传染病模型，分析得到了基本再生数R0的表达式，验证了无病平衡点E0和地方性平衡点E*的存在性；再根据特征方程得到R0＜1时，E0的局部稳定性，然后利用特征线法得到当R0＜1，E0的全局稳定性。另外，本文还讨论了R0＞1时，E*的局部稳定性。

最后，本文仅考虑了隐性感染对传染病的影响，未考虑隐性感染可以通过某些传播成为感染者。其次，本文只考虑了年龄和时间，没有考虑空间迁移或者空气传播等因素，后面的研究将继续讨论这些问题。