四阶非线性分数阶反应扩散方程的混合有限元方法

覃 燕 梅

(内江师范学院 数学与信息科学学院, 四川 内江 641100)

0 引言

近年来,分数阶偏微分方程因其在物理、化学、生物和工程等各个领域的频繁出现而成为研究的焦点[1-5]. 四阶分数阶反应扩散方程是一类重要的四阶分数阶偏微分方程模型,经常出现在许多科学领域,如:反应扩散行波问题系统,液晶中畴壁的传播和双稳态系统的模式形成等[6-10]. 本文将研究如下四阶非线性分数阶反应扩散方程:

(1)

其中Ω⊂R2,J=(0,T]分别表示空间区域和时间区域,且Ω是一个有界凸多边形区域,边界为∂Ω,反应项f(u)是关于u的非线性函数,且满足|f(u)|≤C|u|和|f′(u)|≤C(C>0为常数),初始值u0(x)和g(x,t)为已知函数,且Riemann-Liouville(R-L)分数阶导数定义为

本文结构安排如下:第1节,推导出含参数θ的二阶混合有限元格式;第2节,导出该格式的无条件稳定性;第3节,对该格式的先验误差进行详细分析,并证明误差结果在时间上可达到二阶精度.

1 含参数θ的二阶混合有限元格式

为了给出全离散格式,在时间区间[0,T]上插入节点:tn=nΔt(n=0,1,2,…,N),对于任意正整数N,步长Δt=T/N,tn满足0=t0

引理1[16]若

在tn-θ时刻,存在如下二阶逼近:

(2)

其中

(3)

f(tn-θ)=(1-θ)fn+θfn-1+O(Δt2)
≜fn-θ+O(Δt2),

(4)

g(v(tn-θ))=
(2-θ)g(vn-1)-(1-θ)g(vn-2)+O(Δt2)
≜g[vn-θ]+O(Δt2).

(5)

(6)

其中

(7)

而

(8)

引理5[15-17]设{ϖγ(i)}如式(7)所定义,则对任意实向量(v0,v1,…,vL)∈RL+1和正整数L,有

(9)

成立.

为了形成混合有限元算法,引入辅助变量σ=Δu,可将原问题(1)改下为如下耦合系统:

(10)

当n=1时,

(11)

当n≥2时,

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

注2文献[10,15]所研究的方法仅仅针对f(u)=γu(γ为常数)进行了讨论,而本文针对f(u)为u的非线性函数进行了讨论. 相比于文献[14]的双重有限元方法,本文所给的方法不需要在多重网格上进行计算.

该格式的稳定性和误差估计将在下面两节给出.

2 稳定性

为了讨论的方便,本文用c表示与h和Δt无关的非负常数,且在不同的情况下表示不同的常数．

(16)

其中

[χn]=(3-2θ)‖χn‖2-(1-2θ)‖χn-1‖2+
(2-θ)(1-2θ)‖χn-χn-1‖2,

(17)

且

(18)

(19)

∇∇

(20)

根据式(6)、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和|f(u)|≤c|u|,可得

(21)

(22)

和

(23)

将式(21)-(23)代入式(20)可得

∇∇

(24)

(25)

可得

(26)

用类似于n≥2的方法,可以得到

(27)

又因为

故进一步可得

∇∇

(28)

将式(28)代入(24),并由式(9)可得

(29)

根据Gronwall不等式和引理6可得

(30)

即得到定理1的结论.证毕.

3 先验误差估计

为了给出先验误差估计,引入投影和估计不等式.

(∇v,∇φh)=(∇(Λhv),∇φh), ∀φh∈Vh,

(31)

满足估计不等式

(32)

存在不依赖时空步长(h,Δt)的常数c,使得对n≥1,有

证明为了给出误差估计,引入记号

(33)

和

(34)

当n=1时,

(35)

当n≥2时,

(36)

∇∇

(37)

∇∇

(38)

根据式(6)、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式、|f(u)|≤c|u|和|f′(u)|≤c,可得

(39)

(40)

(41)

和

(42)

将式(39)-(42)代入式(38),可得

∇∇

(43)

(44)

∇∇

(45)

将式(45)代入式(43)可得

∇∇

(46)

根据式(9)、(18)、(46)和Gronwall不等式,得

再结合三角不等式可得定理2.证毕.

4 结语

本文基于θ格式结合分数阶导数的WSGD格式近似时间方向,并采用Galerkin有限元方法离散空间方向,针对四阶非线性分数阶反应扩散方程,建立了二阶混合有限元格式. 证明了该方法的无条件稳定性,给出了先验误差估计. 误差结果表明,本文所建立的格式在时间上可达到二阶精度.