结合基础数学教学谈学生思维能力的培养

修祺文

【摘要】学生基础知识、基本方法和基本技能的培养离不开学生的数学思维能力的培养.学生思维能力及其数学品质的提高是数学教学中最根本的任务.文章结合基础数学课程内容的教学实际，从分类能力、转化能力、抽象概括能力和可逆思维能力等四个方面来谈培养学生的思维能力的具体方法.

【关键词】思维能力；分类；转化；抽象概括；可逆思维

中招班的学生，年龄在十五岁到二十岁之间.他们正处于成长的黄金时期，这个时期他们的心智日趋成熟，记忆能力达到顶峰，抽象思维能力得到高度发展.在这个时期培养学生的数学品质和数学思维能力无疑是最佳时间段.在教学过程中，教师应引导学生学会观察、试验、比较、猜测和分析，学会抽象和概括、归纳和演绎，学会类比推理，能逻辑准确地阐述自己的思想和观点，能运用数学概念、思想和方法，识别数学关系，形成较好的数学思维能力.

一、分类能力

分类，简单地說就是分门别类.学生从小整理文具、书本需要分门别类，打扫卫生、处理垃圾也需要分门别类，可以说分类是学生应具备的一种生活能力.分类也是一种学习能力，各种各样的知识存在不同类别之分，有的同一类知识又可进一步分为若干小类，分好类也是学习中不可缺少的一种能力.特别地，对于数学知识的学习，分类能力的重要性更加凸显.这是因为数学知识具有很强的逻辑性和关联性，分起类来会比其他知识更加困难.另外，对于一些比较复杂的数学题，它的核心难点就在如何分类上.这样看，分类既是学习数学知识的一种能力，又是解决数学问题的一种能力.分类用得好，学生对数学知识的把握和对数学问题的理解都会有质的飞跃.

（一）学习数学新知识方面

对于新知识的学习，学会分类可让学生的条理更加清楚.以基础数学第一章集合为例，在集合中元素的性质、集合的分类、集合的表示法、集合的运算等多块内容中都涉及分类.集合中元素的性质包括确定性、互异性和无序性，集合根据元素个数可分为无限集、有限集和空集，集合的表示法可分为列举法、描述法和图示法，而列举法、描述法和图示法有各自的适用范围.列举法适用于元素个数较少或者元素呈现规律的集合，而描述法适用于元素具有共同特征且元素个数不可数的集合，图示法则适用于描述集合之间的关系，而不是具体地表示集合.集合的运算则分为交集、并集、补集和差集等运算.这些知识表面零散，实际上内在的逻辑条理却非常地清楚.另外，教师在教授这类知识时，还要不断地启发学生：为什么要这么分？每一类有什么不同？它们各自的特点是什么？又或者它们之间有什么联系？在不断地提问和思考之后，学生才会明白这样分类的道理.同时，良好的分类能力又为学生的知识迁移打下了基础.

（二）解决具体数学问题方面

二、转化能力

转化是数学知识富于变化的表现，转化的本质是带有一定目的的逻辑推理，它体现了思维的灵活性.对于学习者而言，转化能力是解决数学问题必备的能力，也是学习基础数学课程中学生亟待提升的地方.扎实熟练的基础是学生做好转化的前提，丰富的联想、敏捷的类比观察能力是实现转化的关键.转化要遵照熟悉化、直观化和典范化的原则.具体来说，就是要把生疏的问题转化为熟悉的问题，把抽象的问题转化为直观的问题，把非典范型的问题转化为典范型的问题.提高转化的思维能力可以大大提高学生解决数学问题的水平，对学生把握数学知识的内在联系大有裨益.

（一）把陌生的问题熟悉化

分式不等式对学生来说是陌生的，怎么求解是未知的，但将其转化为整式不等式后，就变为学生不久前学习过的内容，这样对学生来说就很容易解了.通过转化，分式不等式的求解难度大大降低.

（二）把抽象的问题直观化

数学的本质是抽象，但这种抽象并非绝对的.数学里的“抽象”可以通过一定的方式转化为“直观”.在基础数学课程中，把抽象问题直观化的一个重要手段就是数形结合.如在对两个集合进行交、并运算时，学生并不能很准确把握运算的结果，这就需要教师辅助以图像，通过画数轴，把集合的交集、并集直观化.又如解一元二次不等式，在求出对应一元二次方程的实根后，学生对于这两个实根有什么用，并没有很深刻的认识.对此，教师可以通过作出对应二次函数的图像，让学生知道这两个实根就是对应函数图像与x轴两个交点的横坐标，再接下来解集在哪个范围，这个问题的求解就很直观了.

又例如在解析几何中，无论是圆、椭圆或是双曲线，都有标准方程.对于在具体问题中得到的形式各异的非标准方程，解题者都只有将其化为标准方程，才能得到它们的圆心坐标、半径或是半轴长、焦点坐标等关键数据.在线性代数、高等数学等后续课程中，这种思维方式更加常见.

三、抽象概括能力

数学对于大部分同学来说是抽象的，但它不是空中楼阁，在基础数学课程里面，几乎所有的概念、公式都与实际生活有关，它们都源于生活.教师在教授这些知识时，也都先引入与之相关的生活实例.但由实际问题过渡到数学语言表述，就需要学生具备较强的抽象概括能力，它是数学思维中的核心.

例：某书籍的单价定为30元时，销售量为15万册，经调查，如果单价每提高2元，销售量就会减少3000册，要使该书店的销售收入超过540万元，应把单价定在怎样的范围内？

在学习数学内容的过程中对抽象概括能力的要求是高标准的，它贯穿于数学学习的始终.这是因为数学是高度符号化的语言，而且有完整的符号语言体系.

四、可逆思维能力

可逆思维能力是基础数学课程中一种重要的思维能力.常见的如等价问题中就蕴含可逆思维.等价的数学符号为“？”，即若顺过去可推出，逆过来也可推出，则称为等价.这里逆过来推就是可逆思维的体现.

如在集合之间的相互关系中，A？B，B？A？A=B，這个结论有两个地方体现了可逆思维，一是逆过来推，若A=B，则A？B，B？A，由子集的概念，这是显然的.虽然这里逆向思考简单，但训练学生的逆向思维不可忽视，要从简单的问题开始.二是A？B，B？A，这里相互包含即蕴含于逆向思维.

在函数内容的教学中，有很多问题需要用到逆向思维.如学习完指数函数后，学生接着学习对数函数.而要学好这两种函数，学生就一定要从可顺、可逆两个角度，将它们进行对比学习，把它们的关系理清楚.指数函数的解析式为y=ax（a>0且a≠1），把它化为对数式即为x=logay，然后把y换成x，把x换成y，即得对数函数解析式为y=logax.通过对比，指数函数的自变量就是对数函数的函数值，指数函数的函数值就是对数函数的自变量，底数a没有变，因而指数函数的定义域就是对数函数的值域，指数函数的值域就是对数函数的定义域，这样去认识它们的关系就非常清楚了，也可进一步引出它们的关系其实就是互为反函数.又如在分段函数求值问题中，学生既要会给自变量求值，反过来又要会给函数值求相对应的自变量，这都与可逆思维分不开.

需要特别指出的是，教师在教学中有意培养学生的逆向思维意识是至关重要的.许多数学问题都可以逆向思考.这种能力不是天生的，是在长时间逆向思考的习惯中养成的.学生只有经常这样去思考，才会有很强的可逆思维能力.因而教师要经常引导学生逆向思考，提升思维品质.

简而言之，培养学生的数学思维能力不是一蹴而就的，它是一项系统性的工作.要将这项工作落实，教师就必须将其融入每一个数学知识的讲授中.思维能力不是凭空存在的，它是以具体的每个知识为载体，体现在某个知识，某个问题中.在教学过程中，教师只有多总结、多领悟、多思考、多发现，才能带领学生朝着正确的方向思考，达到提高学生思维能力的目的.

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