数学软件辅助函数教学的研究分析

周星辰 吴婉君

摘要：函数教学是高中数学教学全过程中至关重要的一环。然而，函数知识的抽象性和复杂性常常给学生带来困惑。为了更好地帮助学生理解函数的概念，激发学生的兴趣，提高教学效果，将信息技术应用于函数教学是一种有效的方法。本文探究基于Maple数学软件平台的信息技术融入高中数学的函数课堂教学中，希望更好地助益高中数学课堂教学，并提升教学效果。

关键词：数学软件；高中数学；Maple；函数教学；信息技术

函数作为高中数学中的重要概念知识点，贯穿整个高中数学教学。然而，函数的抽象性和复杂性，让许多高中学生难以理解和掌握，给教师的课堂教学带来一定的了挑战。特别是在涉及涉及到函数图像变换和参数变化的内容时，学生更容易出错并难以理解，导致课堂效率低下。传统函数教学中存在一系列教学障碍，其中充分发挥数形结合思想对于学生理解函数概念至关重要。然而，传统的手写描点绘图方法往往不能准确呈现数形结合思想，因此需要借助教育信息技术工具来辅助教学。其中，Maple平台在函数教学辅助中发挥了重要作用。作为一款广泛应用于数学及工程计算领域的软件平台，Maple具有编写程序、绘制图形、高性能运算等强大功能。它不仅能简化教学过程，还能提供动态数学实验的研究环境。Maple的简单易学和方便快捷的使用方式使得它成为高中数学教学课堂上的理想辅助工具。通过在课堂上应用Maple，学生可以更好地进行数形结合思想的探索，并提供更直观、动态的图形呈现。这有助于解决传统数学教学中的一系列教学障碍，提高课堂教学效率。

一、《指数函数的图象和性质》案例分析

本节内容选自高中数学人教A版必修一第四章4.2.2指数函数的图像和性质。此课中学生的学习障碍是无法掌握当底数a在变化时对指数函数有何影响。传统函数教学课堂中教师根据底数a的范围分为a＞1和0＜a＜1两类指数函数并对指数函数性质进行研究和讨论。那具体应该如何分析和研究它们呢？如果仅是通过描点法画出若干个指数函数的曲线图象，然后讨论并归纳其中的共有特点，从而导出它们的性质。那么学生则很难理解：为何底数a必须取值a＞0且a≠1？为何要划分a＞1和0＜a＜1这两类来进行指数函数性质的研究？如此就急需教育信息技术工具登场帮助教师针对学生疑惑进行解答。

教师展示实例“一尺之棰，日取其半”及“木马病毒，自我复制”，分析函数解析式的共有特性，由此导出指数函数的概念：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

【思考探索】为何必须a＞0且a≠1呢？如果设定a＜0，a=0或者a=1，那么结果会怎样呢？

师生在Maple数学软件平台上探究手动拖动滑动条令底数a变化时指数函数曲线的动态变化进程。详细步骤如下：第一步录入Maple编程命令行语言： plot（ax， x=-2..2， y=-1..8）。 第二步点击鼠标右键，弹出上下文菜单，在菜单里选择按钮“探索器”，随即出现一个探索器界面，在Explore中可以对底数a进行取值范围设定。随即学生可以拉动滑动条更改变量a的取值，从而探究函数曲线的变化状态。通过这个过程，学生可以清楚地看到函数曲线跟随底数a数值的更改而运动。

学生使用探索器滑动a值做数学实验，其间期间能够观察到：当a＜0时，Maple平台绘制不出指数函数的图像；当a=0时，Maple平台只能绘制出只有半截直线的图像；而当0＜a＜1时，随着底数a拖动的数值渐渐增大，Maple平台绘制的指数函数曲线上部渐渐远离y轴，但它们始终经过定点（0，1）；当a=1时，Maple平台绘制的指数函数图像为一条y=1的直线；当a＞1时，可以观察到，拖动底数a的数值渐渐增大，Maple平台绘制的指数函数曲线上部渐渐靠近y轴，但它的下部无限靠近x轴，并始终经过定点（0，1）。通过手动滑动探索器的滑动条，细心观察归纳，学生能形象清楚地总结出底数a对于函数性质有着怎样的影响。

【教师问题】a＜0时，指数函数没有图像是为什

么？a=0时指数函数图像只有半截图像是为什么？a=1时指数函数图像是与x轴平行的直线又是为什么？你们尝试从数的角度进行分析。

【学生回答】若a=0，则当x>0时，ax=0；当x≤0時，ax无意义。所以才绘制出半截图像。若a＜0，如（2）x，这时对于x=1/4，x=1/2，…，处于实数范围内也是无意义的，因此也无函数图像。若a=1，则对于任何x∈R，ax=1，它是一个常量，因此才绘制出与x轴平行的一条直线。正是因为以上这几类取值是无数学意义的，所以我们才明白为什么要设定指数函数的底数取a＞0且a≠1。

【师生探索】现在有两个指数函数，它们的底数互相为倒数时，能找出两图像之间的联系和规律吗？

【学生实验】在Maple数学软件平台的程序界面输入plot（[ax， （1/a）x]， x=-2..2， y=-1..8），点击探索器，描绘出底数互为倒数的两指数函数曲线，如图2所示。学生操纵滑动条探究它们之间的规律与联系。

从以上实验结果可以清楚地发现，随着a值的不断变化，两函数曲线的图像也在不停地发生改变，但有一样却始终无变化，那就是它们的对称性。不管两曲线是如何动态的舞动，它们始终关于y轴对称。由此，学生最终可推出：如果两个指数函数图像的底数互为倒数，那么它们关于y轴对称。

二、《函数y=Asin（ωx+φ）的图像》案例分析

本节内容选自高中数学人教A版必修一第五章5.6.2的对生产生活中常遇的函数类型进行深一步的研究，即y=Asin（ωx+φ）函数的图像分析。三角函数图像变换规律的探索研究是函数课堂教学中的重难点。传统课堂的函数教学很难呈现出图像变换的动态性，而Maple数学软件绘制三角函数图像仅需要一行程序代码即可，且平台自带的“探索器”功能能设定参数值范围并对函数中的参数值进行动态的观察，探究出参数对y=Asin（ωx+φ）图像造成的具体影响，从而把握其中的规律。从现代化角度讲，这已经转变成一个简单的信息技术试验过程。

教师导入交流电实例及物理简谐振动的实例，带领学生通过Maple数学软件平台进行函数图像的绘制，探究各参数φ，ω，A对函数y=Asin（ωx+φ）的影响，从而总结规律，帮助学生理解和记忆。

第一步在Maple平台上输入绘制函数的程序语言，其中包含若干个变量，并对x轴、y轴的范围进行规定设置plot（Asin（ωx+φ）， x=-2Pi ，y=-4.4）；

第二步点击鼠标右键，弹出上下文菜单，在菜单里选择按钮“探索器”，随即可以在出现的探索器界面进行参数范围设置，同时可以在Explore中对三个参数进行取值范围的设定。最后学生可以拉动滑动条更改变量的取值，从而观察探究函数曲线的变化状态，如图3所示。在此过程中，学生可以清楚地看到，函数曲线会跟随参数数值的更改而运动。

在探索器中拖动φ，ω，A三个参数中的任意滑动条对参数变量的值进行更改：随着参数值的改变，三角函数图像曲线也随之改变。学生通过对这一函数图像变化的过程进行细心观察，能有效归纳和掌握平移、周期、振幅三类过程变换的规律。

（1）探究φ对y=Asin（x+φ）， x∈R的图像的影响。

学生在探索器界面里设定滑动条A和ω均为1，拖动φ滑动条，细心观察函数曲线图象的改变，洞悉其内在规律。

【学生思索】从函数曲线图象变化的动态过程可发现：操纵滑动条φ按正数方向由0向右拖动时，函数曲线朝左边平移；操纵滑动条φ按负数方向由0向左拖动时，函数曲线朝右边平移，如图4所示。由此可得出结论：y=sinx函数曲线上全部点向左边平移π/2得y=sin（x+π/2）；y=sinx函数曲线上全部点向右边平移π/2得y=sin（x-π/2）。

教师和学生一起在Maple数学软件平台上编写程序绘制出y=sinx， y=sin（x-π/2）， y=sin（x+π/2）函数曲线在两周期的图像来对学生的推论进行印证。

【教师总结】概括总结参数φ对y=sin（x+φ）x∈R的图像的影响：正弦曲线sinx上的所有点沿x轴向左边平移（φ＞0）或向右边平移（φ＜0）|φ|个单位得出y=sin（x+φ）函数。

（2）同上探究ω（ω＞0）以及A（A＞0）对y=sin（ωx+φ）图像的影响。

（3）根据实验结果师生归纳总结三角函数的图像变换规律。

通过应用Maple数学软件平台，上述示例可以帮助学生自主地探索函数的性质。使用平台的探索器功能，学生可以直观地操作动态曲线，增添了活动性和参与感。学生们可以通过拖动参数滑动条，观察函数曲线的变化并欣赏它们的“舞蹈”。这种互动性的学习方式不仅能激发学生的兴趣，还能自然而然地引导他们发现函数曲线中隐藏的规律。通过这种探索过程，学生可以总结出函数的概念和性质。这样的学习方式有助于增强学生对数学的理解和应用能力。

三、结束语

本文以高中函数教学为实验内容，以Maple为技术媒介，尝试将二者进行深入地有机融合，希望在高中数学课堂上搭建一个学生能动手实践、主动探索的信息技术实验平台，从而为信息技术更好地助益高中数学课堂教学提供一些有效的帮助。

作者单位：周星辰 曲阜师范大学网络信息中心

桂林电子科技大学广西密码学与信息安全重点实验室

吴婉君 广东省中山市龙山中学

参  考  文  献

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基金项目：广西科技计划项目“有限域上特殊类型置换多项式的构造及其在密码学中的应用研究”（18281065）。

周星辰（1986-），女，湖南常德，硕士研究生，助理实验师，研究方向：教育信息化；

通讯作者：吴婉君（1990-），女，湖北天门，硕士研究生，高中数学教师，研究方向：中学教育。