分类讨论：建构初中数学严谨的思维方式

徐茜敏

【摘要】分类讨论是一种解题方法，也是一种思维理念.学生熟练运用分类讨论方法，可以提高解题的正确率，培养严谨的思维习惯.本文首先分析分类讨论思想在初中数学教学中的应用意义，然后从“创设熟悉情境，培养分类意识”“依托分类思想，厘清数学概念”“布置分类任务，探究几何问题”“注重解题训练，实施分类实践”四个方面探索分类讨论思想在初中数学教学中的有效应用策略.

【关键词】分类讨论；初中数学；课堂教学

分类讨论思想，是解决问题的一种基本策略，更是一种严谨的思维方式.这需要学生根据合理的逻辑，将研究对象划分成各种不同的类别，在整理和分析的过程中推导出正确的结论.当前，分类讨论思想在初中数学教学中得到广泛应用，对于公式、定理、概念、运算等抽象的知识点都能起到良好的教学指导作用.下面，笔者结合具体的教学案例，对分类讨论思想在初中数学学习中的应用谈一谈自己的思考和实践.

1 分类讨论思想的应用意义

1.1 提高问题分析能力

并非所有的问题都有唯一的答案.如果学生无法意识到这个关键点，说明初中生未能从小学阶段的学习观念中脱离出来，数学思想存在薄弱点，在思考和研究的过程中很容易出现遗漏答案的情况.教师可以应用分类讨论思想，弥补学生在问题思考方面的短板.比如，针对某些结果不唯一的数学问题，让学生学会根据不同的情况、不同的标准，逐一讨论.之后，将所有讨论结果归纳汇总，将问题的答案逐步完善.由此，就能逐步养成良好的分类思考习惯，让学生的数学思维变得更为严谨，避免他们出现思维定式的问题.

1.2 优化探究学习方式

传统的数学学习方式通常以套用模板、反复刷题的方式为主，教师会采用“满堂灌”的方式，将知识点直接填充给学生.在这种情况下，很容易僵化学生的数学思维，导致学生的探究学习效率低下.教师应该优化教学方式，让学生尝试运用分类讨论思想，对不同的知识类别进行举例.这样既可以锻炼学生的合作探究能力，也能提高学生的思维水平，帮助学生更好地认清数学学科的本质.

1.3 灵活运用基础知识

运用数学基础知识解决问题是数学学习根本目标，但很多问题往往答案不唯一，需要进行不同的假设后才能分别得出答案，而一旦问题需要从多角度进行分析思考，学生的答题就会陷入僵局.通过运用分类讨论思想，可以帮助学生灵活应用所学的基础知识，将重要的公式、概念、定理融會贯通^[1].比如，数学问题的某个已知量中包含字母，学生在解答这类习题时，应有意识地根据字母的取值范围进行分类讨论，求解出不同的题目结果.这样可以确保解题方向的正确性，从而让学生更好地迁移运用基础知识.

2 分类讨论思想在初中数学教学中的有效应用策略

2.1 创设熟悉情境，培养分类意识

分类讨论需要兼顾很多问题细节，许多初中生由于不熟悉分类讨论的思考方式，当求解出一个答案之后，就会习惯性地终止思考，忽略了有多个答案存在的情况.新课标鼓励教师运用情境教学的方式，引发学生的参与积极性，从而让学生逐渐熟悉分类讨论的学习方式，培养出良好的分类意识.

首先，教师可以在教学中融合生活元素，让情境更富有真实感.

例如 教师在教学苏科版初中数学八下有关“直方图”的课程时，可以通过电子白板创设以下生活情境：某初中学校为了举办广播体操比赛，需要选拔一些身高相仿的学生加入方队.同时，屏幕上会展示一张身高调查表.教师根据调查表提出问题：“如何针对表中的数据，合理进行分类？”该情境问题具有一定的开放性，学生可以大胆发表自己的观点.比如，有的学生认为应当绘制频数分布表，有的学生认为应当先取平均数，有的学生认为应当标注好组数、组距.根据学生的看法，教师可以让意见相同的学生相互合作，尝试结合调查表绘制直方图，并根据不同的取值范围，得出最为合理的身高选取范围.

其次，教师可以通过新旧结合的方式，构建教学情境.所谓新旧结合，是以旧知识为基础，引发学生的深度联想，与新知识相互关联在一起.

例如 教师在讲解有关一元二次方程根判别式的知识点时，可以结合以前所学的知识点，导入以下问题情境：关于一元二次方程，我们曾经学习过各种解析的方法，大家是否能通过分类的方式，将这些方法逐一列举出来.学生通过回忆，可以总结出直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法四种解题方法.此时，教师可以列举四道方程例题，鼓励学生求解出结果，并趁热打铁，进一步提出分类讨论问题：认真观察以上方程的根，分析这些根的情况是否存在差异性.学生通过讨论判定，可以发现这些根的情况并不相同.有的存在两个实数根，且二者相等；有的同样存在两个实数根，但二者不等；还有的不存在实数根.根据学生的讨论结果，教师可以展示一些经典例题，让学生思考以上总结的三种情况需要什么条件才能出现.由此，学生在反复分类讨论的过程中，就能从中得到良好的学习启发，认识到根的判别式在解题中有什么样的应用意义，逐渐体会分类讨论思想的严谨性^[2].

2.2 依托分类思想，厘清数学概念

概念的掌握是学习数学的前提和基础，其中涉及公式、定理、法则等类型丰富、内容抽象的知识要点.一般情况下，概念的表达是严谨的，甚至每一个字都有着很重要的意义.在进行概念教学的时候，教师要渗透分类讨论的思想，帮助学生深刻掌握概念的内涵，充分夯实学生的数学基础^[3].

针对某些容易混淆的数学概念，由于它们的相似性相对较高，教师就可以利用分类讨论思想，厘清概念，让学生能够深刻记忆.

例如 对于“绝对值和相反数”的概念，学生很容易弄混.教师可以利用生活场景，选择三个位于一条直线的三个地方A，B，C，其中AB=BC，B为中点.教师可以将三个点放在同一条数轴之中，B刚好与原点重合.此时，教师提出思考问题：A点和C点与原点有什么关系？学生经过观察后，可以得出“两个点距离原点均相等”这个结论.在数轴上，教师可以用正负数标记这两个点的数值.并继续提出问题：如果消除掉这两个数的正负号，二者之间的关系是什么？当学生回答相等这个答案之后，教师就能顺利导出相反数这个数学概念.在此基础上，教师可以继续布置分类讨论学习任务：A点与C点到原点的距离与什么因素有关？与什么因素无关？借助生活经验，学生会意识到，距离是一种长度，应当以正数表示，而绝对值必定是正数.数轴上的数字需要考虑数字所处的位置，与正负性密切相关，需要用正负数加以表示，明显不适用于现实中的距离问题.由此，学生在分类讨论的过程中，就能明确两种数学概念的不同之处.

2.3 布置分类任务，探究几何问题

几何问题是数学学科的学习难点，这类问题同样能应用分类讨论思想加以解析.一般来讲，学生需要从图形位置、图形形状两方面入手，讨论对应的图形问题.对此，教师可以结合分类讨论理念，让学生深入理解几何图形有哪些性质特点，找出解决几何问题的有效方法^[4].

例如 教学“直线与圆位置关系”时，教师可以组织富有趣味性的小实验，让学生使用圆规在草纸上绘制一个圆.随后将直尺放置在圆上，尝试上下移动.并提出实验问题，如果将直尺视为直线，你认为这条直线通过移动，能与圆出现几种位置关系？学生们通过实验操作，不难发现相交、相切、相离三种情况.之后，教师可以通过多媒体播放日出的动画，将太阳视为圆，将地平线视为直线.并引出思考问题：如视频所示，日出的过程可以直观反映出相交、相切、相离三种直线与圆的位置关系，圆和直线在这三种关系中分别有几个公共点？学生既可以主动上台操作多媒体设备，在大屏幕上标记出三种位置情况下公共点的数量，也可以在台下自主探究，通过实验和猜想得出结论.在此基础上，教师可以继续布置分类探究任务，在相交、相切、相离三种情况下，分别判定圆的半径跟圆心到直线的距离的长短关系.借助分类讨论学习任务，可以从不同的角度梳理几何图形位置关系的知识要点.这样既可以提高学生的几何课程学习效率，也能在潜移默化中渗透数形结合思想，培养学生良好的几何直观核心素养.

2.4 注重解题训练，实施分类实践

除了基础教学，分类讨论思想也是解析数学题的重要武器.在新课改的背景下，初中阶段的数学题目多以实践应用为主，题干信息相对比较复杂.学生在读题过程中，经常会遗漏掉重要的条件，或因为对数学概念掌握得不够扎实，导致学生的解题结果存在偏差.因此，教师应当从日常的解题训练入手，将分类讨论思想融入其中，充分强化学生的實践解题能力.

例1 假如等腰三角形中有一个角为50°，试问该等腰三角形的顶角为多少度？

解析 许多学生在面对这类题目时，很容易出现思维定势，将题目中给出的角默认为底角，再经过相应的计算，求出顶角为80°.但题目中并未明确说明这个角不可以为顶角.因此，根据分类讨论思想，应当得出50°和80°两个答案.

例2 有一个等腰三角形，它的其中两条边长分别为3cm和6cm，试问周长为多少？

解析 有些学生因为例1的前车之鉴，会下意识地使用分类讨论思想，将3cm和6cm分别视为等腰三角形的腰长，进而得出12cm和15cm两个答案.这属于对分类讨论思想的误用，因为分类讨论既要有分类的过程，也要论证每一种情况是否合理.在本题中，若腰长为3cm，则两腰的长度和为6cm，正好与底边6cm相等.根据三角形的基本定义“任意两边的长度和必定大于第三边的长度”，说明这种情况不合理，应当排除.因此，本题只有15cm一个答案.

例3 解方程|x－1|=2.

解析 根据以往的学习经历，当题目中涉及绝对值时，学生应当产生警惕意识.在题目中，绝对值为2的数字有2个.因此，教师应对x－1=2或x－1=－2展开分类讨论，分别求出3和-1两个正确答案.

例4 尝试比较1+a与1－a的大小.

解析 在实际做题中，针对比较大小类的问题，采用作差法的方式最为合适.通过列式1+a－1－a，经化简可得2a.此时，需要从2a=0，2a<0三方面进行分类讨论.由此可见，当a>0时，1+a>1－a；当a=0时，1+a=1－a；当a<0时，1+a<1－a.

综上所述，教师通过各种类型的习题演练，可以帮助学生迅速熟悉分类讨论思想的实践应用，强化学生的解析思路，从而掌握良好的解题技巧.运用分类讨论思想，既能提高学生做题的准确性，又能培养他们严谨的数学思维，更有利于学生数学核心素养的发展^[5].

3 结语

在初中数学教学中合理运用分类讨论思想，不仅能让学生掌握高效的解题技巧，也能帮助学生将数学基础知识融会贯通.教师应当从情境、概念、几何、解题等方面入手，深化分类讨论思想的实践应用，让学生在探究过程中充分掌握数学学科的知识要点，将复杂的问题有效简化，全面发挥分类讨论思想的实践作用，从而帮助学生在数学学习中构建严谨的思维方式.

参考文献：

[1]王珍.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J].中学数学，2023（12）：73-74.

[2]徐水花.初中数学分类讨论思想运用原则与学习策略[J].现代中学生（初中版），2023（06）：11-12.

[3]柳广社.分类讨论思想在初中数学解题中的应用探索[J].数学学习与研究，2023（06）：65-67.

[4]黄道全，龚敬明.例谈分类讨论思想在中考综合试题中的运用[J].数理化学习（初中版），2023（01）：17-20.

[5]单侠飞.分类讨论法在初中数学解题中的有效应用[J].数学之友，2022，36（23）：81-83.