初中数学解题教学中“圆”的解题解析

左朋法

【摘要】初中生学习数学知识的过程，实际上是运用数学理论解决数学问题的过程.解决问题的技巧是学习阶段最常用和最实用的要素.目前，初中常见的解题技巧还存在一些问题，还需要广大教学参与者的不断研究和提高，最终才能实现解题技巧的系统化，使其成为数学教学中的一门特殊知识.本文通过例题讲解的方式阐述初中数学教学中“圆”的有关性质的问题、圆的作用的问题、点与圆的位置关系、有关圆内弦的问题，通过详细的解题过程、解题点评来让学生加深对本节内容的学习和领悟.

【关键词】初中数学；圆；解题技巧

1 以圆的基本定理解题

数学是基础教育中一门非常重要的学科，其教学效果受到各方的高度重视.在这种趋势下，教师应该改进自己的教学方法，改变现有的教学模式，创新教学理念，优化课堂教学氛围，从而为学生提供更好的教学效果，提高学习效率.与圆有关的问题属于数学知识体系中比较重要的一部分，因此教师在教学中应该更加注重圆知识点与性质的教学和解决，通过讲授，学生可以更好地掌握所学的知识，使他们能够灵活地学习各种数学基础知识和相关定理.

顶点在圆上，且两条边与圆相交的角称为圆周角，顶点在圆心，且两条边与圆相交的角称为圆心角.圆周角定理具体是指同弧所对圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半，且同弧或等弧所对圆周角度数相同.如果我们从圆形角度和中心角度进行思考，可以很容易地找到解决方案，并缩短学习时间.

例1 已知在圆O中，C、D是线段AB与圆O相交的点，且BD=AC，试说明OB=OA是否成立？

解析 教师需要指导学生对题干的信息进行分析，使得学生能够充分发散思维，从而实现解题的目的.在解答过程中，教师可以指导学生进行作图从而使得学生能够直观地进行解题.该题需要过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可以得到DE=CE，且BD=AC，因此，可以明确BE=AE.进一步明确OE为AB的中垂线.这时，教师就可以指导学生根据中垂径定理明确OB=OA.也就是说，这一例题中需要明确的知识内容为中垂线上的任意一点，到线段两端点的距离相等.

例2 如图2所示，两个圆心为O的同心圆，其中大圆的弦AB与小圆相交于两点C、D，求证AC=BD.

解析 过O作OE⊥AB，AB被OE平分，CD也被OE平分，因此，DE=CE、BE=AE.又因为BE－DE=BD、AE－CE=AC，所以BE－DE=AE－CE，即BD=AC.

有些学生的基础知识掌握得不够好，盲目追求解决问题的技巧，可想而知，这对他的帮助不大.很多学生没有掌握很好的数学解题技巧，导致在解答数学问题时往往会产生不同程度的错误，在没有掌握解决问题的技巧的情况下解决数学问题，不仅解题速度慢，解题效率不高，而且很可能出现计算错误.许多问题的解决方法不止一种，但如果学生没有丰富的解决问题的经验，不能走捷径解决问题，这将浪费解决问题的时间，降低解决问题的效率，只有经过大量练习，才能吸收解决问题的丰富经验，掌握更多解决问题的技能.

2 以圆周角解题

初中数学题有很多不同种类，但它们都有其本质规律.掌握这些规律和知识点，可以帮助我们快速解决问题.因此，学生需要在思维上足够灵活，并根据规律适应所有变化，这样我们才能找到问题的解决方案.大多数九年级的学生在中考压力，总是过于注重结果而忽视过程，不断地做各种练习，只看重分数，没有达到目标绝不会放弃，这种做题方式让他们很累，也没有太大的效果，所以他们需要学习过程总结.

例3 如图3，在圆O上分别有点A、B、C，已知∠AOB=72°，那么∠ACB等于（）.

（A）36°（B）18°（C）54°（D）28°

解析 如图3所示，根据圆周角定理可得，当∠AOB=72°时，∠ACB=36°，因此，这道填空题的答案为A.

例5 如图4所示，AB为圆O的直径，且AC=AB，∠ABE=45°，AC与圆O相交于E点，BC与圆O相交于D点.求∠EBC的度数，并求证CD=BD.

解析 连接AD，因为∠AEB=90°，∠ABE=45°，所以∠BAE=45°.因为AC=AB，所以∠ACB=∠ABC.又因为∠ADB=90°，AC=AB，根据等腰三角形三线合一的定义可以知道CD=BD，∠CAD=∠BAD=22.5°，所以∠CAD=∠EBC=22.5°.

例4 如图5所示，圆O以AB为直径，且圆O与三角形ABC的边AC、BC分别相交于点D、E，连接ED，假设EC=ED，AB=AC，AB=4，BC=2√?3，求CD的长.

解析 连接BD，因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BD.设CD=a，由于AB=AC=4，则AD=4－a，因此，可以将问题等价转化为直角三角形的求解问题，比如，在Rt△CBD中，BD2=BC2－CD2=（2√?3）2－a2，所以（2√?3）2－a2=4²－（4－a）²，计算可得a=3/2，即CD=3/2.

3 结语

初中数学涉及许多知识点和试题类型.如果学生想在短时间内取得好的学习成绩，他们需要掌握解决问题的技巧和方法.一般来说，初中数学的解题思路和方法是对基本概念有透彻的理解，对数学符号、公式和相关定理有深刻的把握，多角度的思考和理解，灵活运用解题技巧以及发散思维.同时，在解决问题的过程中，还需要注重提高他们运用解题技巧的能力，善于总结解决问题的技巧，大大提高他们的学习和应用能力.

参考文献：

［1］玉兰.初中数学中关于“圆”的解题策略探索[J].数学之友，2022，36（14）：3.

［2］林宇杰.中考数学与“圆”相关问题的解题思路探究[J].名師在线（中英文），2022（27）：3.