数学文化现状及其与数学应用意识的相关性

赵艳会

(河南财政金融学院 统计与数学学院,河南 郑州 450046)

0 引言

中小学数学课程标准实施以来,教育部颁布了6本数学课程标准,数学文化和数学应用意识未在任何一本中缺席,体现了数学课程标准研制组的态度。李大潜说:“数学不仅是一种精确的语言和工具、一门博大精深并应用广泛的科学,而且更是一种先进的文化。”[1]这些亦应成为大学数学教育需要延续的使命,本文从高等数学教材中例题的视角,探讨包含数学文化类题目的容量、内容分布、知识领域分布和文化类别分布,数学文化与数学应用意识间的相关性。

1 研究设计

1.1 数据来源

吴赣昌主编的《概率论与数理统计》(第5版)。该教材适用于经济管理类专业学生,有较强代表性且更偏向于应用。

研究的具体对象是该教材中所有明确标注序号的例题(除去选学内容中的例题),散落在文中未标注序号的小例题不计入,总例题数量是146道题目。

1.2 研究内容

1.2.1 数学文化例题数量分布

首先需要厘清数学文化的内涵,各个版本的数学课程标准中并没有数学文化的明确定义,学者们对数学文化的定义不尽相同,下面给出数学文化的定义。

对数学文化的定义,张维忠将其看作是“数学史、数学美、数学和生活的交叉、数学和各种文化的关系以及这些因素交互作用所形成的庞大体系”[2];赵东霞、汪晓勤认为数学文化是“数学的历史、数学的思想、数学的精神、数学与人类其他知识领域之间的关联”[3];在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中有明确的说明,“数学文化指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动 ”[4]。最后的陈述是一个较为全面的语言形式,我们就选取这个说明作为对数学文化的定义,按照这个内涵进行是否数学文化例题的判定。

1.2.2 数学文化例题所属数学分支领域分布

研究的对象本身是数学的一个分支——概率论与数理统计,所有研究的内容都属于概率论与数理统计,故而此处将研究对象细分为:代数与分析、几何与解析、排列与组合3个领域的内容,研究对象对应于一个或几个数学分支领域,如表1所示。

表1 数学分支领域划分Tab.1 Division of mathematical branches

如下例题1～3有明确的数学领域归类。

本题是利用集合和集合运算表示事件以及事件之间的关系,归类于代数与分析领域。

例2(几何与解析领域) 甲乙两人约定中午12:30在某地会面。设甲到达的时间在12:15到12:45之间,是均匀分布的;乙独立地到达,且到达时间在12:00到13:00之间,是均匀分布的。试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率[5]43。

本题需要通过几何图形利用解析几何的知识,归类于几何与解析领域。

例3(排列与组合领域)袋中有5个球,其中3个红球,2个白球。现从袋中不放回地连取两个,已知第一次取到红球,求第二次取到白球的概率[5]20。

本题需要通过组合数的计算,用古典概型解决,将其归类于排列与组合领域。

1.2.3 数学文化类别分布

在2.2.1节中利用《全日制义务教育数学课程标准(2022年版)》和一些学者的理论界定数学文化的涵义。下面借鉴汪晓勤的研究进行数学文化的分类,汪晓勤依据国外学者总结的数学史的教育价值,以及《普通高中数学课程标准(2017年版)》中要求的“数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”,将数学文化内涵划分为知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化5个类别[6],结合《概率论与数理统计》内容的特点,对例题应用特点的内涵具体化,形成如下数学文化类别的框架,具体见表2。实际上也不能将这些类别完全割裂开来,会有交叉重合的现象,在这里选择主要因素进行唯一归类。

表2 数学文化类别框架Tab.2 Mathematical culture category framework

根据数学文化分类框架,以下例题4～8可对应于各自的类别。

例4(知识源流) 某公司生产一种产品300件,根据历史生产记录知废品率为0.01,问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少[5]43?

这实际上是二项分布的问题,但是计算复杂,而泊松定理的条件意味着当n很大时,pn必定很小,因此,泊松定理表明,当n很大,p接近0或1时,可以有近似公式

实际计算中,当n≥100,np≤10时近似效果就很好。这需要了解二项分布和泊松分布的渊源关系。在每次试验中出现概率很小的稀有事件,如彩票中奖、地震、火山爆发等。根据泊松定理可知,n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。此种情况下,将计算难度复杂的二项分布转化为易于查表计算的泊松分布。

例5(学科联系) 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位:t),它服从区间[2000,4000]上的均匀分布。每销售出1 t该种商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出去,则每吨商品需贮存费1万元,问该商品应出口多少吨,才能使国家的平均收益最大[5]96。

这是利用概率密度计算随机变量函数的数学期望的题目,用来解决经济活动中的问题,属于学科联系的类别。

例6(社会角色) 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如果到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)[5]97。

本题将所求事件拆分成若干随机变量之和的形式,再利用数学期望的性质解决问题,属于解决社会生活问题,归类于社会角色。

例7(审美娱乐) 17世纪末,法国的De Meré爵士与人打赌,在“一颗骰子连续抛掷4次,出现一次6点”的情况下他赢了钱,可是在“两颗骰子连续抛掷24次,至少出现一次双6点”的情况下他却输了钱,这是为什么呢[5]28?

这是下赌注问题,利用概率的计算,用数量来说明两种情况概率的大小解释下赌注问题,归属于审美娱乐领域。

例8(多元文化)圆周率派π=3.141 592 6……是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后7位。这个纪录保持了1 000多年。此后,不断有人把它算得更加精确。1873年,英国学者沈克士公布了一个π的数值,该数值在小数点后共有707位之多。但几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑,他统计了π的608位小数,得到了如表3中的结果。你能说出他产生怀疑的理由吗[5]7?

表3 数字出现次数Tab.3 Number of occurrences of figures

本题需要根据无限不循环小数的特点,借助数字分布的概率特征解答。题目中从圆周率的发展历史展开,涉及我国数学家和国外学者的贡献,属于多元文化的类别。

1.2.4 数学应用意识例题分布

在这里首先要厘清数学应用意识的内涵,各个版本的数学课程标准中没有数学应用意识的明确定义,学者们对数学应用意识的定义也是不尽相同的。

数学应用意识的界定,对比6个版本的义务教育数学课程标准中数学应用意识的介绍,在最新的《全日制义务教育数学课程标准(2022年版)》中的表述是“应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律,解决现实世界中的问题。能够感悟现实生活中蕴含着大量的与数量和图形有关的问题,可以用数学的方法予以解决;初步了解数学作为一种通用的科学语言在其他学科中的应用,通过跨学科主题学习建立不同学科之间的联系。应用意识有助于用学过的知识和方法解决简单的实际问题,养成理论联系实际的习惯,发展实践能力”[7]10。结合意识层面,我们可将数学应用意识定义为:数学应用意识是主体通过掌握的习得的数学知识和技能,以数学的视角自主地观察、感知、分析事物和现象,再借以数学的专业特点,如数学语言、推理、知识和思想方法等,翻译描述、理解和解决所面对问题的一种倾向性心理活动。它是精神层面的一种意念方向,建构于数学的特点和应用价值的理解认识之上。对于出现的每一个现实问题,一旦能够数学化,便会产生用数学知识和方法解决问题的想法,进而尝试解决问题[8]。 我们将依据这个内涵对所有例题是否包含数学应用意识的成分进行界定。

2 研究结论

2.1 数学文化例题数量

该教材例题总数146道,其中有80道例题属于数学文化类别,占比54.79%(图1),很好地体现了融入数学文化意识培养的理念,涵盖的文化类别、数学分支领域也很全面。

图1 数学文化例题分布Fig.1 Mathematical culture distribution

2.2 数学文化例题知识领域分布

在整个例题中代数与分析领域有65道题、几何与解析领域有1道题、排列与组合领域有19道题,如图2所示。可以看出代数与解析领域是最多的81.25%,这也与代数与解析的内容广泛有关,几何与解析相对占比较小1.25%,排列组合其实在很多题目中都需要用到,所以占比也较高23.75%。

图2 数学文化例题知识领域分布Fig.2 Knowledge domain distribution of mathematical culture examples

2.3 数学文化类别分布

按照数学文化类别框架划分的知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化5个类别中,学科联系47道占比58.75%最大,说明跨学科的应用是主要的方面;社会角色居于第二位,占比27.50%;知识源流和多元文化最少,占比均为1.25%(图3)。

图3 数学文化例题类别Fig.3 Types of mathematical culture example

2.4 数学应用意识题目分布

通过上述对数学应用意识的界定,对于整本教材内容中的80道数学文化例题来说,在数学文化类别的5个分类中,“学科联系”类目中的例题是跨学科的应用,自然也是属于应用题目的范畴;“社会角色”类目例题是在社会生活中应用的体现;“审美娱乐”类目例题应用范围限制在数学美的应用、数学思维创造的愉悦以及娱乐消费等;“知识源流”类目例题关注的是牵涉数学知识的发展脉络的文化类型,本研究对象中的例4是借助于应用类型背景实现的;“多元文化”类目例题占比低,可能不牵涉实际的应用, 如例5就不属于数学应用。在全部的146道例题中属于应用的有79道例题,与数学文化无关的例题66道中没有数学应用的例题。98.75%的数学应用例题都是含有数学文化因素的例题,从统计的结果看,数学文化比数学应用意识的例题更广一些(图4)。

图4 数学应用意识例题分布Fig.4 Distribution of examples of mathematics applied consciousness

3 启示与建议

从以上分析可以看出,《概率论与数理统计》中的数学文化例题所占的比重较高,一方面与数学文化涵盖的范围广有关;另一方面跟数学应用意识的增强有关。当然,是不是跟数学课程标准要求增强数学文化的培养有关,需要进一步研究。从数据中可以看出,需要加强几何与解析领域的知识容量,增加到合适的比例;知识源流和多元文化类别也需要加强,否则数学文化之路根基不牢。

总之,基础教育数学课程的改革走在了高等数学改革的前列,数学文化和数学应用意识的培养,不能只是基础教育的任务,也是高等数学需要的任务。从数学文化与数学应用意识的关系来说,数学文化的例题绝大多数都属于数学应用意识相关的题目,另外,我们选择的研究对象只是例题,而教材中例题之外还有很多数学文化的素材。上述研究,仅从一个方面验证了两者的关系,而数学文化包含了数学应用意识,是一个更加宏观的概念,还需要进一步研究。