复变函数与积分变换教学的优化设计——以卷积为例

舒维星, 陈钦俊

(湖南大学 物理与微电子科学学院,湖南 长沙 410082)

0 引言

复变函数与积分变换是理工科专业的数学基础课,在众多科学技术领域有着重要应用。例如,在信息技术中集成电路是重要的硬件,对应的电子电路、信号处理等就要用到复变函数与积分变换中的数学知识,如傅里叶变换、卷积等。因此,对当今信息时代的理工科专业学生而言,学好复变函数与积分变换课程至关重要。但是,复变函数与积分变换是学生们公认较难学习的课程[1],主要原因是课程概念抽象、内容枯燥,学习难度大;教材理论性强,重视数学证明,忽略了具体专业问题的应用,造成学生不了解应用场景,进而学习兴趣不高。

目前,全国高校在复变函数与积分变换课程的教学改革方面进行了许多探索,主要体现在利用计算和绘图软件,将学习内容可视化、动态化,促进学生对知识的理解,取得了良好的教学效果[2-3]。同时,教师们意识到,要进一步提高教学质量,还需要理论联系实际,把知识应用于具体专业问题[4]。但是,受限于教师的数学背景,联系各理工专业的应用仍然很少[5-6]。

随着信息技术的飞速发展,信息化与教育的融合不断深入,教育信息化形成了不可阻挡的历史潮流[7-8]。一方面,信息化社会要求教师掌握信息化教学手段,组织教学资源,制作适合信息时代传播的教学内容[9];另一方面,飞速发展的信息时代对学生的素质提出了更高要求[10]。人工智能将淘汰程式性岗位,未来社会更需要的是创造性人才。因此,教学中不能再侧重于基础性知识的传授,因为这些通过网络搜索即可得到,而应该着重培养创新思维和能力。

近年来我们利用信息化优化复变函数与积分变换课程教学,用信息化手段化解教学难点,教学内容紧密联系现代信息科技应用,让学生掌握信息化工具,探索现代科技前沿问题,培养创新能力。本文以其中典型的内容——卷积为例,介绍教学过程的具体优化设计。

1 复变函数与积分变换课程开展信息化的总体思路

复变函数与积分变换的内容包括复变函数的概念和性质,解析函数及其级数表示,复变函数的积分,留数及其应用,共形映射,傅里叶变换、拉普拉斯变换。教学目标是学生能掌握基本的数学知识和必要的数学工具,解决实际工程问题,培养物理思维、数学建模能力和创新能力。学生普遍反映本课程非常难学,例如虚数很难有实际对应,很难想象;解题方法,由于课时所限,不能展开讲述来龙去脉,有点“不讲道理”。为此,我们深度融入信息化,破解教学难点,优化教学效果。

1)教学设计原则:以激发学生兴趣为第一原则。每章每个知识点,都坚持理论联系实际,信息化为专业学习服务,将抽象枯燥的理论变得形象、生动、有趣、易学。

2)信息化目标:用信息化方法优化教学,引导学生不仅学懂抽象的数学知识,还能联系生活社会,文理融会贯通;会运用信息化工具,成为具有信息化素养的创新人才。

3)信息化设计:用信息化手段把专业知识形象化,破解教学重点难点;以课程背后的自然规律为桥梁,把专业知识应用到自然生活、历史社会和科技前沿,进行思想品德、创新意识教育;掌握信息化工具,培养创新能力,最终达到立德树人的目的。

2 信息化优化卷积教学的课程设计

下面以卷积为例,介绍信息化优化教学设计,破解教学难点,引导学生运用信息化工具探究抽象复杂的知识。

2.1 基本概念

图1 一个计算函数f(t)和h(t)卷积的例子Fig.1 An example of calculating the convolution of functions f(t) and h(t)

2.2 形象化理解

做验证如图2。把f(t)分解为5个离散时间段,每个时间段产生一个h,再把所有的h累加起来,得到的结果非常近似图1的f×h结果。这就证实了上述关于卷积意义的理解。

图2 近似计算以理解卷积Fig.2 Approximate calculation to understand convolution

引导学生用软件探究得到推论:作用越累积,总效果越大。如图3(a),图3(b),函数f(t)近似为(a)2和(b)5个离散单元信号,每个产生一个h(t),再把所有的h(t)叠加,得到卷积的近似结果,(a)的累积结果远小于(b)中结果。说明两效果相隔时间太长,没有达到累积,总效果不佳。或者说,三天打鱼两天晒网,不能成事。如图3(c)和图3(d),函数f(t)近似为10个离散单元信号,但是h(t)持续时间(c)是4,(d)是10,结果(d)累积的结果远大于(c)。说明了效果数不变,但每个效果持续时间变长,总效果将达到更高的幅度。这就是量变引起质变的道理。

图3 卷积的意义Fig.3 The meaning of convolution

2.3 自然与社会实例

引导学生讨论,举出自然、社会中的例子,包括古诗、谚语、成语、歌曲。例如:① 自然生活中存在多种卷积现象:正面效果有趁热打铁,熟能生巧,良性循环;负面效果有积劳成疾,屋漏偏遭连夜雨,恶性循环。常识是烧开水要一鼓作气,断断续续是烧不开的。② 科技应用:核爆炸的链式反应。③ 社会历史:王朝末年政治军事、经济社会各方面问题交织,导致国家急速衰亡。④ 经济金融:复利,高利贷。由此引导学生得到启示:① 形成正面效果累积:持之以恒,步步为营;② 避免反面效果累积:防微杜渐,不要三天打鱼两天晒网。

2.4 科技前沿应用

卷积可以推广到空间二维,成像过程就是二维空间卷积。所以,卷积不仅仅是一个数学计算公式,而是体现了真实的物理作用过程。同时,还可以通过卷积反过来识别物体,知道f和卷积f∘h,就能解出h,这就是探测的原理。例如:①目标识别。这是人脸或指纹识别、车牌识别、自动驾驶、雷达探测等应用的共同原理。②地质勘探。如探测矿床和地雷等。③衍射与成像。可以计算光经圆孔和方孔的衍射图案。选取相关领域的最新科技前沿论文,指导学生运用信息化工具重现结果,并在此基础上创新,例如计算超表面产生的矢量光场[11]。

3 实践成效

经过几年的探索,笔者将专业知识与信息化深度融合,不但教师教学水平不断提升,而且激发了学生学习兴趣,学习效果显著提高。笔者参加湖南省高校信息化教学比赛获得了一等奖;近3届学生中有3人利用卷积知识发表了3篇SCI论文,3人组利用傅里叶变换知识参加全国大学生物理实验竞赛获得了一等奖。这些实践培养了创新能力,起到了立德树人的作用。而且,学生评价满意度逐年提高,大多反映课程不难、很有用,获得感明显增强。

笔者体会主要有以下3点。

1) 教师信息化能力要强。要熟练掌握信息化工具,才能善于创作内容,组织素材,从容化解教学难点。

2) 采取灵活多样的信息化手段和内容,如制作动画,借用影视片段、新闻图片等,素材内容紧扣信息科技。

3) 信息化的目的是让学生学以致用,让学生掌握知识,运用信息化工具,培养创新能力。

4 结语

本文提出利用信息化优化复变函数与积分变换的教学,并以卷积为例介绍了典型的教学过程设计。多年实践证实了信息化有效培养了学生的创新能力。信息化发展日新月异[12-13],我们将与时俱进,把信息化与教育深度融合,优化教育教学,培养创新人才。