聚焦指数函数单调性的应用

陆玉婷

摘 要： 单调性是函数的重要性质之一，而指数函数的单调性更是尤为重要.对于指数函数y=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时，它在实数集 R 上单调递增；当a∈（0，1）时，它在实数集 R 上单调递减.由此可见，指数函数的单调性并不复杂，但它的应用却不简单，它可以用来比较大小、求函数的定义域、求函数的最值或值域、求参数的值或范围、解方程或证明不等式，还可以解决综合性问题.

关键词： 指数函数；单调性；应用

学习函数的目的之一，就是利用函数的性质解决有关问题.在函数的众多性质中，单调性最引人注目.指数函数更是如此.我们知道，对于指数函数y=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时，它在 R 上是增函数；当0＜a＜1时，在 R 上是减函数，这就是指数函数的单调性.指数函数的单调性看似简单，它的应用却不简单，本文举例说明.

1 由单调性比较大小

对于某些底数相同的指数式比大小问题，可以构造指数函数，从指数函数的单调性入手.

例1     已知（x2+2x+3）a＞（x2+2x+3）b，试比较实数a与b的大小.

分析：    不等式两边的底数相同，要比较指数的大小，关键考察底数与1的大小关系.

解：    由于x2+2x+3=（x+1）2+2≥2＞1，所以函數f（t）=（x2+2x+3）t在 R 上是增函数，又因为（x2+2x+3）a＞（x2+2x+3）b， 所以a＞b.

点评：    本例是指数函数单调性的逆向应用.利用指数函数单调性比较两数的大小，前提条件必须是底数相同，且能与1比出大小，否则需分类讨论或引进第三个量进行比较.

2 由单调性求函数的定义域

对于某些与指数函数复合的函数，求它的定义域时，往往要转化为不等式，这时需用到指数函数的单调性.

例2     求函数y= 22x+2x-6 的定义域.

分析：    由于函数解析式中含有二次根号，所以被开方的部分必须大于或等于零.

解：    要使y= 22x+2x-6 有意义，只需22x+2x-6≥0，即（2x+3）（2x-2）≥0.

因为2x＞0，所以2x+3＞0，故只需2x-2≥0，即2x≥2.

由于函数y=2x在 R 上是增函数，故只需满足x≥1即可，故原函数定义域是［1，+∞）.

点评：    这种方法一般用于解决含有指数函数的式子定义域问题，体现了指数函数单调性的逆向应用.

3 由单调性求函数的最值或值域

对于一类与指数函数复合的函数（或称其为指数型函数）的值域或最值问题，往往可以将其分解成两个函数，其中一个为指数函数，而另一个为其它的初等函数.根据复合函数的性质，可以把另一个初等函数的值域看成指数函数的定义域，这样就很容易依据指数函数的单调性来求出原函数的最值或值域.

例3     （1） 函数y=  1 2  x2-6x+17的最大值是      ;

（2） 若函数f （x）＝  1 3  ax2-4x+3有最大值3，则a＝      .

分析：    （1） 这个函数由指数函数与二次函数复合而成，二次函数的值域就是指数函数的定义域；（2） 由复合函数的单调性得出h（x）＝ax2-4x+3应有最小值-1，再由二次函数的性质得出a的值.

解：    （1） 函数y=  1 2  x2-6x+17定义域为（-∞，+∞），令u=x2-6x+17，因为y=  1 2  u在 R 上单调递减，故欲求函数y=  1 2  x2-6x+17的最大值，只需求出u=x2-6x+17的最小值.又u=x2-6x+17=（x-2）2+8≥8，所以函数y=  1 2  x2-6x+17的最大值为  1 2  8= 1 256 ，故填答案： 1 256 .

（2） 令h（x）=ax2-4x+3，则 f（x）=  1 3  h（x）.因为f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值-1. 由此  a＞0，

12a-16 4a =-1，  解得a=1，故填答案：1.

点评：    这种方法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值（值域）问题，求解的关键是将其分解成两个函数：内函数与外函数.再考虑两个函数的单调性和外函数的值域，这里都要用到指数函数的单调性.

4 由单调性求参数的值或范围

对于含参数的指数型不等式恒成立或能成立问题，一般采用参变量分离法，转化为函数的最值问题，这里往往要用到指数函数的单调性.

例4     （1） 已知-2m+1≤  1 2  x+1在x∈（-∞，0］上恒成立，则实数m的最小值是      .

（2） 已知函数f（x）=2|x|，g（x）=m  1 4  x+2  1 2  x-1，若对于任意的x 1∈［-1，2］，总存在x 2∈［-1，2］，使得f（x 1）≥g（x 2）成立，则实数m的取值范围为      .

分析：    （1） 将不等式等价转化为-2m≤   1 2  x   min ，求出右端函数在（-∞，0］上的最小值即可；（2） 若对任意x 1∈［-1，2］，存在x 2∈［0，1］，使得f（x 1）≥g（x 2）成立，只需f（x）  min ≥g（x）  min ，分别利用单调性求出两个函数的最小值即得.

解：    （1） 因为-2m+1≤  1 2  x+1在x∈（-∞，0］上恒成立，即-2m≤   1 2  x   min ，

因为y=  1 2  x在x∈（-∞，0］上单调递减，所以y=  1 2  x≥1，即   1 2  x   min =1，

所以-2m≤1，即m≥- 1 2 ，所以实数m的最小值为- 1 2 ，故填答案：- 1 2 .

（2） 因为x∈［-1，2］，对于f（x）=2|x|，当x∈（-1，0）时，f（x）单调递减，当x∈（0，2）时，f（x）单调递增，故f（x）  min =f（0）=1，所以存在x∈［-1，2］，使得1≥g（x）成立.

令t=  1 2  x，∵x 2∈［-1，2］，∴t∈  1 4 ，2 ，則存在t∈  1 4 ，2 ，使得mt2+2t-1≤1成立，即m≤ 2-2t t2 成立，所以m≤  2-2t t2    max .又 2-2t t2 =2  1 t  2-2  1 t  ， 1 t ∈  1 2 ，4 ，所以  2-2t t2    max =2×42-2×4=24，所以m≤24.故填答案：m≤24.

点评：    由于这类问题归根到底是转化为与指数函数值域有关的问题，所以问题的解决通常离不开指数函数的单调性的应用.如本例中用到了指数函数y=  1 2  x的单调性.

5 由单调性解方程或证明不等式

函数的单调性既体现了函数值的大小关系，同时又体现了自变量与函数值之间的一一对应关系，因此它可以用来求解与指数式有关的方程和不等式.

例5     （1） 解方程：3x+4x=25；（2） 证明不等式： 32 023+42 023＜52 023.

分析：    （1） 考虑到函数f（x）=3x+4x的单调性，进而利用函数零点存在性定理；（2） 待证不等式中的三个幂的指数完全一致，可尝试将不等式两边同时除以52 023，并构造指数型函数，再利用该函数的单调性来证明.

解：    （1） 考虑到函数f（x）=3x+4x的单调性.因为y 1=3x与y 2=4x在实数集 R 上都单调递增，所以f（x）=3x+4x在实数集 R 上也单调递增.又f（2）=25，所以根据函数零点存在性定理知，方程3x+4x=25的根唯一，为x=2；

（2） 证明：因为52 023＞0，故原不等式等价于  3 5  2 023+  4 5  2 023＜1.

于是构造函数f（x）=  3 5  x+  4 5  x，因为指数函数y=  3 5  x和y=  4 5  x都在实数集 R 上单调递减，因此f（x）=  3 5  x+  4 5  x也在实数集 R 上单调递减.不难发现 f（2）=  3 5  2+  4 5  2=1，而2 023＞2，故f（2 023）＜f（2），即不等式  3 5  2 023+  4 5  2 023＜1成立.

点评：    本例中的方程和不等式问题都是指数型的，都无法用普通的方法来解决，这时就要想到构造相应的指数型函数，并利用它的单调性，这是解决这类“超越”方程或不等式的“突破口”.

6 由单调性求解其它综合问题

对于有些抽象函数问题，可以根据抽象函数的性质，构造一个指数函数，然后借助指数函数的性质来解决原问题，从而起到“围魏救赵”的作用.

例6     已知函数f（x）定义域内所有的x 1，x 2 （x 1≠x 2），都满足下列三个结论：

（1） f（x 1+x 2）=f（x 1）f（x 2）;（2）f（x 1）＞0;（3）f  x 1+x 2 2  ＞ f（x 1）+f（x 2） 2 ;

则不等式f（a2）＞f（-a+6）的解集为      .

分析：    根据三个结论构造指数函数，然后利用该指数函数的单调性解抽象函数不等式.

解：    因为函数f（x）=2x均满足题中的三个结论，不妨令f（x）=2x，因为该函数为增函数，故由f（a2）＞f（-a-6）得a2＞-a+6，即a2+a-6＞0，解得a＞2或a＜-3，所以不等式f（a2）＞f（-a+6）的解集为（-∞，-3）∪（2，+∞），故填答案：（-∞，-3）∪（2，+∞）.

点评：    对于与抽象函数问题有关的填空题，为了省去推理的麻烦，快速解决问题，往往可以根据题中提供的函数性质，找到一个对应函数，再利用这个函数的性质来解决相关问题.比如本例就是构造了一个简单的指数函数.一般来说，构造的函数越简单越好.

从以上几类问题的分析中不难发现，在数学解题中，与指数形式有关的不等式问题，通常是考查指数函数的单调性，因此破解这类问题的关键是构造恰当的指数函数，并利用它的单调性转化为不等式求解.