SSA不全等三角形的性质探究

黄会

摘 要： 众所周知，满足 ASA 、 AAS 、 SAS 、 SSS 的两个三角形都是全等的，这些全等三角形的性质相当完善，但两个三角形满足 AAA 或 SSA 却不一定是全等的，那这样的两个三角形又有什么样的性质呢？满足 AAA 的两个三角形是相似的，这样的两个三角形的性质也是完备的.那么满足 SSA 的不全等的两个三角形又有怎样特殊的性质呢？文章从高线、角、边、外接圆半径四个角度探究其性质.

关键词：  SSA ；不全等；性质；三角形

1 问题的提出

两个三角形全等有很多种判定方法，但 SSA 作为边角组合中不能判定两个三角形全等的特殊存在.那么是不是所有满足 SSA 的两个三角形都不全等？已有相关研究如周玲［1］、曹松峰［2］、陈月红［3］等人对此进行了探索，答案均是否定的.

由判定倒推性质，全等三角形的性质目前较为完备，但满足 SSA 的不全等的两个三角形又有怎样特殊的性质呢？这个问题目前鲜有人涉猎.而回应该问题则从不全等的视角进一步丰富了 SSA 的性质.这也是研究的缘起.

2 性质探究及应用

2.1 性质探究

本文将从高线、角、边、外接圆半径四个角度探究满足 SSA 但不全等的两个三角形之间的性质.

性质1：  满足 SSA 但不全等的两个三角形不相等的第三边上的高相等，相等边上的高之比等于不相等的边之比.

已知：如图1，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′，AD，BE，CF为△ABC的高，A′D′，B′E′，C′f ′为△A′B′C′的高.

求证：AD=A′D′，BE∶B′E′=CF∶C′F′=BC∶B′C′.

证明：易证△ABD≌△A′B′D′（ AAS ），则AD=A′D′.

∵S △ABC= 1 2 BC·AD，S △A′B′C′= 1 2 B′C′·A′D′，

∴S △ABC∶S △A′B′C′=BC∶B′C′.

∵S △ABC= 1 2 AC·BE，S △A′B′C′= 1 2 A′C′·B′E′，

又∵AC=A′C′，∴BE∶B′E′=BC∶B′C′.同理可得，CF∶C′F′=BC∶B′C′.

性质2：  满足 SSA 但不全等的两个三角形等角的相等邻边所对的角互补.

已知：如图2，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′.

求证：∠C+∠C′=180 ° .

证明：平移△A′B′C′，使AB与A′B′、∠B与∠B′重合.

易知B（B′）、C、C′三点共线.

∵AC=A′C′，即AC=AC′，∴∠1=∠C.

又∵∠1+∠2=180 ° ，∴∠C+∠2=180 ° ，即∠C+∠A′C′B′=180 ° .

性质3：  满足 SSA 但不全等的两个三角形不相等的第三边的乘积等于较大等边与较小等边的平方差.

已知：如图3，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′.

求证：BC·B′C′=AB2-AC2.

（不妨设BC＞B′C′，AB＞AC.）

证法一

证明：分别过点A，A′作AD⊥BC交BC于D，作A′D′⊥B′C′交B′C′于D′.

由性質1知AD=A′D′. 易证 Rt △ACD≌ Rt △A′C′D′（ HL ） ，则CD=C′D′.

在 Rt △ABD中，BD2+AD2=AB2；①

在 Rt △ACD中，CD2+AD2=AC2；②

①-②得，（BD+CD）（BD-CD）=AB2-AC2.

又∵BC=BD+CD，B′C′=B′D′-C′D′=BD-CD，

∴BC·B′C′=AB2-AC2.

证法二

证明：平移△A′B′C′，使AB与A′B′、∠B与∠B′重合，如图4.

易知B（B′），C，C′三点共线.

以A为圆心，AC为半径画圆，交射线BA于E，F两点，连接AC′，FC.

∵四边形EC′CF为圆A的内接四边形，∴∠1+∠FCC′=180 ° .

又∵∠1+∠2=180 ° ，∴∠2=∠FCC′.

又∵∠B′=∠B，∴△B′EC′∽△BCF.

∴ B′E BC = B′C′ BF ，即BC·B′C′=B′E·BF.

又∵B′E=AB-AE=AB-AC，BF=AB+AF=AB+AC，

∴BC·B′C′=（AB+AC）（AB-AC）=AB2-AC2.

性质4：  满足 SSA 但不全等的两个三角形外接圆半径相同.

已知：如图5，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′，r，r′分别为△ABC和△A′B′C′的外接圆半径.

求证：r=r′.

证明：作圆O直径AD，连接CD.则∠B=∠D.

∵AD为圆O直径，∴∠ACD=90 ° .

∵ sin  D= AC AD ，∴AD= AC  sin  D = AC  sin  B . ∴r= AD 2 = AC 2 sin  B .同理，r′= A′C′ 2 sin  B′ .

∵AC=A′C′，∠B=∠B′，∴r=r′.

事实上，一个三角形一角及其对边确定，这个三角形的外接圆半径是确定的［4］.

3 性质应用

例   已知：如图6，AC平分∠BAD，BC=CD，AC，BD相交于点E.

求证：BE·DE=AE·CE.

证明：∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.

∵∠1=∠2，BC=CD，AC=AC，

∴∠ABC+∠ADC=180 ° .（ SSA 不全等的三角形性质2）

易得A，B，C，D四点共圆. ∴∠1=∠3.

又∵∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE. ∴ BE CE = AE DE ，即BE·DE=AE·CE.

本题证明中的四点共圆亦可证明 SSA 不全等的两个三角形的外接圆半径相等，即 SSA 不全等三角形的性质4.

4 研究结论

通过以上探究，本文得到满足 SSA 但不全等的两个三角形有以下四条性质：不相等的第三边上的高相等，相等边上的高之比等于不相等的边之比；等角的相等邻边所对的角互补；不相等的第三边的乘积等于较大等边与较小等边的平方差；外接圆半径相等.详见表1.

总体来看，本文探究了满足 SSA 但不全等的两个三角形的性质，在理论上丰富了 SSA 的知识体系，在实践教学中有助于更好地理解 SSA ，利用本文所获得的结论亦可快速解答相关题目.

参考文献：

［1］ 周玲.增加一节“SSA”探究课又何妨？［J］.中学数学教学参考，2016，643（17）：69 70.

［2］ 曹松峰. SSA与三角形全等的判定［J］.中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2019，1165（9）：8 9.

［3］ 陈月红.“SSA”全等条件的深度探究［J］.理科考试研究，2016，520（16）：16 17.

［4］ 常学源.探求三角形的外接圆半径［J］.中学生数理化（学研版），2015，105（6）：14.