在“教—学—评”一致性中落实合情推理——以“因数和倍数”单元教学为例

甘肃庆阳市镇原县新城镇中心小学 （744518） 杨秀琴

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）新增了“为什么教”“教什么”和“教到什么程度”，同时提出了“教—学—评”一致性。“因数和倍数”单元是人教版教材五年级下册第二单元的教学内容，本单元的主要内容包括“因数和倍数”“2、5和3的倍数的特征”“奇数和偶数”“质数和合数”“分解质因数”“公因数和最大公因数”“公倍数和最小公倍数”等，为学生学习“分数的基本性质”“约分和通分”“分数四则运算”等内容做好准备。教师在实际教学活动中，如何基于学生的学情，设计合理的学习路径，发展学生的合情推理能力？笔者从“教—学—评”一致性的角度对“因数和倍数”单元整体教学活动进行了思考。

一、确定素养导向的教学目标

1.单元教学内容概述

人教版教材五年级下册第二单元“因数和倍数”单元的主要教学目标有五点。（1）理解因数和倍数的概念，能够说明哪些数是哪些数的因数，哪些数是哪些数的倍数。（2）在独立探究中习得2、5和3的倍数的特征，让学生能准确判断2、5和3的倍数，发展学生的数感。（3）认识质数和合数，能从1 到100 的自然数中找出质数和合数，并能熟练判断哪些数是20 以内的质数，哪些数是20 以内的合数。（4）了解相关概念之间的联系和区别，在概念的建立和运用过程中逐步培养数学抽象能力和推理能力。（5）认识奇偶数，能够准确判断奇偶数，通过探索奇偶数相加的结果是奇数还是偶数，丰富解决问题的策略。

苏教版教材五年级下册第三单元“因数与倍数”单元的主要教学目标有四点。（1）体验探究除0外的自然数的特征，理解除数和倍数的含义；能求出100 以内自然数的所有因数，以及能在1 到100的自然数中找出10 以内某个数的所有倍数；知道2、5 和3 的倍数的性质，能判断某个数是否是2、5和3 的倍数；了解奇偶数、质数和合数的意义，会分解质因数。（2）通过操作、交流、探索等活动，认识公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数；能找出100 以内任意两个数的最大公因数和10 以内任意两个数的最小公倍数。（3）在探索和发现数学知识的过程中获得经验，培养观察、比较、分析和推理的能力，体验一些简单的数学思想方法，进一步加深对数学的理解。（4）在数学学习的过程中，培养积极与他人合作、交流的意识，体验学习数学的乐趣，增强学习数学的自信心。

两个版本的教材都提到了“因数和倍数的含义”“2、5和3的倍数的特征”“质数和合数”“奇数和偶数”等内容。人教版教材把分解质因数作为补充知识，安排在“你知道吗？”；把“公因数和最大公因数”“公倍数和最小公倍数”安排在第四单元“分数的意义和性质”中，让学生学过后能马上应用到约分和通分中，有利于整除知识的教学。

由此可知，“因数和倍数”单元的教学内容主要有两个方面。（1）认识因数和倍数的含义，知道2、5和3 的倍数的特征。（2）理解奇偶数、质数和合数的含义，会分解质因数。因此，可将“公因数和最大公因数”“公倍数和最小公倍数”等内容移到第四单元“分数的意义和性质”中教学。

2.确定单元核心目标

“因数与倍数”单元通过倍数的知识引出2 的倍数的特征、5 的倍数的特征、3 的倍数的特征，通过2 的倍数的特征引出奇数和偶数；通过因数的知识引出质数和合数，以及分解质因数。学生在学习本单元时反复经历观察、比较和归纳等活动，得出因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数的概念，以及2、5和3的倍数的特征。

基于以上分析，确定本单元的核心目标：（1）建构倍数的概念，认识奇数和偶数。（2）建构因数的概念，认识质数和合数。

3.单元核心目标具体化

（1）建构倍数的概念

对于任意整数a，b，都存在整数n，r（其中r＜b），使a=nb+r，当r=0时，我们就说a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍数，b是a的因数。因此，整除、倍数和因数是同一数学事实的不同表示。对学生而言，“谁能被谁整除”和“谁能整除谁”陌生又拗口，因此说成“谁是谁的倍数”和“谁是谁的因数”更符合学情。苏教版教材虽然没有给出倍数和因数的定义，但是通过乘法算式帮助学生认识倍数和因数。

在学生认识倍数的过程中，教师要设计丰富的活动帮助学生在观察、比较和归纳中建立倍数的概念。学生认识倍数后，就能借助倍数的知识继续探究“求一个数的倍数”“2、5 和3 的倍数的特征”“奇数和偶数”等。

（2）建构因数的概念

因数和倍数是一组具有相互依存关系的概念。在学生认识因数的过程中，教师要让学生在观察和比较中总结出乘数是积的因数，除数和商是被除数的因数，从而建构因数的概念。学生认识因数后，就能借助因数的知识继续探究“求一个数的因数”“认识质数和合数”“分解质因数”等。

二、确定学习起点

为了了解学生的学习起点，笔者对本校五年级280名学生进行了前测。

1.倍数的概念理解情况

根据倍数的概念前测及评价框架（见表1），笔者发现62.9%的学生处于水平0，他们认为“倍数就是一组数里最大的数”“倍数就是几倍”“倍数就是乘法中的积”“倍数就是除法中的被除数”。25%的学生处于水平1，他们能结合乘法或除法算式说明倍数的概念，如根据算式2×6=12 知道“12 是2 的倍数，12 是6 的倍数”。12.1%的学生处于水平2，他们能结合乘法或除法算式说明倍数的概念，如根据算式2×6=12 知道12 是2 和6 的倍数，2 和6 是12 的因数。没有学生达到水平3和水平4。

表1 倍数的概念表现性评价框架

2.因数的概念理解情况

根据因数的概念前测及评价框架（见表2），笔者发现78.9%的学生处于水平0，他们认为因数就是“谁是谁的几倍”，或是认为小数中也有因数。18.9%的学生处于水平1，他们能结合乘法或除法算式说明因数的概念，如根据算式2×6=12 知道2是12 的因数，6 是12 的因数。2.2%的学生处于水平2，他们能结合乘法或除法算式说明倍数的概念，如根据算式2×6=12 知道12 是2 和6 的倍数，2和6是12的因数。没有学生达到水平3。

表2 因数的概念表现性评价框架

通过前测，笔者发现学生对倍数的概念了解更多，这可能是由于学生在三年级时学习了“倍的认识”；学生对因数了解较少，较多的学生不能用画图或举例子的方法说明因数的概念。因此，教师在教学中要让学生在观察和比较中纠正对“倍数和因数”的错误认知，建立正确的概念认知。

三、分析学习路径

在研究教材和学情的基础上，笔者微调并优化了原来的单元教学路径。

首先，调整教学顺序。苏教版教材中“因数和倍数”一课，第一层次是让学生在乘法算式中整体感知因数和倍数的意义及其相互关系，第二层次是探究求一个数的因数的方法，第三层次是探究求一个数的倍数的方法。由于学生倍数知识的基础好于因数知识的，因此保持第一层次不变，将第二层次调整为探究求一个数的倍数的方法，第三层次调整为探究求一个数的因数的方法。

其次，整合相关教学内容，使其更有衔接性。比如“因数和倍数”一课，除了教学认识因数和倍数、求一个数的倍数的方法、求一个数的因数的方法，还可以让学生在掌握求一个数的倍数的方法后写出2 和5 的倍数的特征；教学“2 和5 的倍数的特征”后增加“探究活动：两数之和的奇偶性”一课，让学生在猜想和验证中探究两数之和的奇偶性，渗透解决问题的策略，发展学生的推理能力。

最后，调整“公因数和最大公因数”“公倍数和最小公倍数”等教学内容，并把约分和通分整合在一起。为了让学生在学习概念后马上有机会运用概念解决问题，将“公因数和最大公因数”“公倍数和最小公倍数”等内容移动到“分数的意义和性质”单元中，让学生运用公因数、公倍数等知识进行约分和通分，促进学生理解和记忆。

四、单元整体教学思考及核心课时任务设计

综上，“因数和倍数”单元的教学内容重组如下：认识倍数和因数—探究2 和5 的倍数的特征—探究两数之和的奇偶性—探究3 的倍数的特征—认识质数和合数—分解质因数。这样的教学编排不仅减少了同一单元中概念过多、抽象程度过高的现象，还让学生在初步感知、深刻理解和巩固运用中建立数学概念。每节课的学习目标和学习任务见表3。

表3 优化后的“因数和倍数“单元教学

综上所述，不同版本的数学教材为教师提供了多种教学思路，教师要在《课程标准》的引领下，根据学生学情重新调整教学内容，设计人人可参与的大任务，让学生在探究活动中不仅学习知识和发展合情推理能力，还要以“教—学—评”一致性促进数学课堂和教学内容的改革；让学生在学会合作、学会交流和学会包容中感受数学学科内在的精神价值，落实《课程标准》中立德树人的根本任务。