以形解数，以数促形

张庆

【摘要】数与形是数学研究的最基本对象.使学生明确数与形之间的关联，灵活应用以形解数、以数促形的方法解决数学难题，对于培养高中生的解题能力有着积极意义.文章阐述了数形结合思想的含义与应用意义，同时结合具体教学案例，从以形解数、以数促形、数形结合三个层面提出数形结合思想在高中数学解题中的应用策略，希望为提升高中数学解题教学质量提供参考.

【关键词】数形结合；高中数学；解题；应用策略

高中数学解题教学不仅要为学生传授针对性的解题理论与解题方法，还要注意适时渗透数学思想，同时发展学生的解题能力与解题思维.数形结合思想是一种有机结合抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系的数学思想，将其应用到高中数学解题教学当中，有利于提高学生的解题质量.教师只有认识到数形结合思想的积极教学作用，并将其合理应用于解数的问题、形的问题及综合问题的教学当中，才能从根本上提高学生的灵活解题能力.

一、数形结合思想概述

（一）含义

数形结合思想的本质是应用“形”将“数”直观地表达出来，应用“数”将“形”准确地描述出来的一种思想方法，主张研究数学问题时将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，综合看待数学问题.

（二）应用意义

将数形结合思想用于高中数学解题教学当中，可以弥补常规解题教学内容的不足，使学生学会从数、形两个角度综合看待数学问题，从而提高学生的问题分析、解答、总结能力.数形结合思想的应用意义具体表现在以下几方面：

第一，有利于消除学生的负面解题情绪.高中数学题目具有复杂、抽象的特征.教师应用数形结合思想，从以形助数、以数解形的角度带领学生探究数学问题，有利于学生快速明确数形关系，确定解题的切入点，在降低解题难度的同时提高学生的解题效率，为学生树立数学解题学习的信心.

第二，有利于发展学生灵活的解题思维.思维是思想、意识的集中体现，培养学生的解题思维，有利于学生解决形式不同、内容不同的数学问题.教师应用数形结合思想展开解题教学，有助于学生打破常规解题思维的禁锢，从新颖的角度思考数学问题，从而提升学生的数学思维水平，提高其解题效率.

第三，有利于培养学生良好的解题习惯.习惯对学生的影响是巨大的.在高中数学解题教学中，通过为学生讲解以形解数、以数促形、数形结合等解决问题的思路、方法、步骤，可以使学生逐渐形成确切的解题思维体系，使其能够自觉地在遇到问题时灵活应用数学思想探究数学问题，从而达到快速、高效解决数学问题的目的.久而久之，学生就能养成良好的解题习惯，能够更加得心应手地解决不同类型的数学难题.

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用策略

（一）以形解数，降低难度，提高解题效率

1.以形解数巧解集合问题，培养解题兴趣

高中数学解题教学的特征之一在于题目信息复杂.学生若欠缺良好的解题内驱力，则很容易在读题、解题时出现放弃的负面想法，导致解题教学无法顺利进行下去.在进行集合问题的解题教学时，教师可以巧妙地运用数形结合思想引领学生解决这类问题，通过将复杂的集合语言转化成简单、直观、易懂的文氏图、数轴等图形，激发学生的解题学习兴趣，使其主动参与集合问题的解题学习活动.

以“交集、并集”一课的解题教学为例，有问题如下：设集合A={x|-5≤x<1}，B={x|x≤2}，则A∪B等于（ ）.

A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x≤2}

C.{x|x<1} D.{x|x≤2}

这一问题的题目、选项都以数学语言呈现，并未给出过多解释.许多学生在初次接触这类题目时，容易为复杂的题目信息所影响，产生畏难的解题情绪.对此，教师可以将以形解数的思想方法传授给学生，帮助学生将复杂代数问题转化为直观的、可视化的图形问题：“对于求并集的数学问题，我们可以运用画数轴的方式解决.将集合A，B在数轴上表示出来，观察两个图形可以发现，集合A被包含在集合B中，两个集合的并集自然是x≤2.如此，即可得到原题答案.”

通过巧妙应用数轴图绘制集合的示意图降低集合问题的难度，从而消除学生的负面解题情绪，使其主动投入解决集合问题的过程当中，提高其解题效率.

2.以形解数巧解函数问题，简化解题步骤

函数问题在高中数学解题教学中占据较大比重.由于函数问题具有较强的抽象性，部分学生在解读题目、分析题目时出现了思路混乱的问题，导致解题步骤复杂，不能很快求解出問题答案.教师可以将数形结合思想运用到函数问题的解题教学当中，利用形象、直观的图像解释函数问题，以此降低函数问题的难度，使学生在观察图像、分析图像的过程中确定解决函数问题的解题方法.

将以数解形的思想方法用于高中数学函数解题教学当中，可以简化学生的函数解题思路，使其通过绘制草图、分析草图、代入数据快速完成问题探究，从而提高学生的解题效率.

（二）以数促形，强化逻辑，提高解题质量

1.以数促形解决解析几何问题，引发逻辑思考

解析几何是高中数学教学的重点与难点之一.要使学生具备解决解析几何问题的关键能力，教师需要在常规解题教学的基础上融入数形结合思想，使学生形成以数解形的解题意识，进一步促进其逻辑思考.对此，教师可以为学生呈现解析几何的典型例题，先让学生尝试独立解题，后为学生演绎以数促形解决难题的过程，使其在学习的过程中进行逻辑思考，逐渐形成以数促形解决问题的能力.

在面对抽象的解析几何问题时，教师可以让学生运用以数解形的思想方法列方程组、消元、计算，使学生在练习的过程中逐渐形成逻辑思考、逻辑分析的数学解题能力，提高其解题质量.

2.以數促形解决立体几何问题，提高辨析能力

立体几何问题看似是“形”的问题，但其问题本质与“数”的知识、方法有着紧密的关联.教师将数形结合思想用于立体几何问题的解题教学当中，可以为学生提供新的解题学习思路，使其拥有更多的解题选择.如此，学生能够在解题学习中自觉辨析代数方法、几何方法解决立体几何问题的优缺点，从而选择更适合自己的解题方法，提升自身解题学习质量.

以“空间向量与立体几何”一章的解题教学为例，有典型问题如下：如图1，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1，求四面体ABCD的体积.

为了使学生形成运用最优解法解决立体几何问题的解题能力，教师可以为学生分别讲解用几何法、代数法解题的思路，通过呈现两种解题方法，为学生提供更多解题选择，使其按照自己的解题爱好选择合适的解题方法，彻底掌握解决立体几何难题的方法，提高其对几何问题的解答能力.

（三）数形结合，灵活切入活跃解题思维

1.数形结合解决三角函数问题，激活解题思维

三角函数是研究三角形与圆等几何形状性质，研究周期性现象的基础数学工具.高中阶段的三角函数问题具有一定的难度，学生的解题思维若过于僵化，则很容易在解题时陷入误区，无法正确解决问题.对此，教师可将数形结合思想渗透进三角函数问题的解题教学当中，通过提问引导、组织探究等方式使学生打破僵化的解题思维，从而提高其灵活解题的数学能力.

三角函数的问题形式多样，难度较高.教师将数形结合思想运用到解题教学当中，并提出有关引导性问题，引导学生思考、探究，使其在解题的过程中逐渐形成综合分析的解题思维，为提高学生的三角函数解题能力奠定基础.

2.数形结合解决不等式问题，拓宽思维视野

培养高中生举一反三的解题思维是非常重要的.在进行不等式问题的解题教学时，教师可以将数形结合思想融入教学当中，为学生呈现同一问题的不同解答方法，充分扩宽学生的解题思维视野.借助数形结合思想落实一题多解教学，之后组织学生回顾不同解法的解题思路、解题步骤，使学生在想、用、反思的过程中掌握用数形结合思想妙解不等式问题的方式方法，从而提升学生的解题水平.

代数法并不是解决不等式问题的唯一方法.进行不等式问题解题教学时，教师可以将数形结合思想合理渗透进解题课程当中，通过为其说明、演绎使学生掌握不同解决不等式问题的方法，从而拓宽学生的数学解题思维.

结束语

“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”只有让学生形成从数、形两个方面看待问题的解题思维习惯，才能够进一步提高学生灵活思考、灵活解题的能力，提升其解题效率与解题质量.实际教学中，教师应明确当下高中数学解题教学的主要目标，并结合解题教学的具体需求合理地将数形结合思想融入不同类型题目的解题教学当中，以此开阔学生的解题视野，提升学生的解题水平.

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