教学要引导学生灵活运用“旧知”理解新知

吴 晶

⦿江苏省海安市海陵中学

1 从“同底数幂的乘法(第1课时)”听课说起

笔者最近参加了学校组织的听“新教师”(工作三年以内)随堂课活动,其中有两位新教师执教了“同底数幂的乘法(第1课时)”,关于两个同底数幂相乘(am·an)的教学都体现了“完整”的流程,这里的“完整”是指经历了“特例引路”“回到乘方定义进行证明”“归纳法则”“性质运用”的过程．在练习环节,两位教师可能觉得教材上的习题不够全面、难度不大,都增加了三个同底数幂相乘的情形．比如,计算am·an·ap.学生解决这道题也很轻松,直接给出am+n+p的结果．第一位教师追问过学生理由,学生复述“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”之后,教师表示了肯定．第二位教师则要求学生进行“过程展开”的证明,于是学生“回到乘方定义进行了证明”,教师给予表扬．

听课随感:由于教材上只对两个同底数幂相乘(am·an)的运算性质进行了归纳和证明,但没有推广到三个同底数幂相乘(am·an·ap)的情形.在具体运用时,如果学生直接使用“同底数幕相乘,底数不变,指数相加”进行计算,教师也没有引导学生进一步辨明其中的细微差别,则并不是很恰当的教学处理.第二位教师引导学生“回到乘方定义进行证明”就比较严谨,但是还不够简明,如果能引导学生运用“两个同底数幂相乘的运算性质”来解释“三个同底数幂相乘”的运算,就更有“数学味”了．具体解释是am·an·ap=am+n·ap=am+n+p,这个运算解释就是善于运用本课所学,善于化归转化．这里教学细节的处理[1]往往是教师基本功的体现,不可小视．以下笔者就围绕相关话题结合案例进一步笔谈自己的看法,与各位同仁交流．

2 借助“新学内容”理解“新知”的教学案例

案例1有理数乘方运算

案例2完全平方公式

运用整式乘法法则证明完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2后,可用类似的方法再证明(a-b)2=a2-2ab+b2．当然,也可直接由(a+b)2=a2+2ab+b2来证明,如(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2,即(a-b)2=a2-2ab+b2．这个思路是视-b为一个整体,将两个公式“合二为一”,也是一种“多题归一”的思想．因此,后续计算(a+b+c)2时,也能将其变形,转化为[(a+b)+c]2,再运用完全平方公式展开进行计算．特别地,将来高中阶段学习“二项式定理”时,运用“杨辉三角”展开形如(a-2b)5的式子时,就需要将其变形,转化为[a+(-2b)]5进行计算．

案例3二次根式的乘除

案例4三角形全等的判定

学习了证明三角形全等的“边角边”这一基本事实后,可以借助它来证明“边边边”这一基本事实．如图1,△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′．求证:△ABC≌△A′B′C′．

图1

思路分析：如图2,将△ABC与△A′B′C′拼在一起,使BC与B′C′重合,点A,A′位于BC的两侧,连接AA′．由AB=A′B′,可得∠1=∠2(这一步运用的是“等边对等角”).同理可得∠3=∠4,从而有∠BAC=∠B′A′C′.再运用“SAS”就可证明△ABC与△A′B′C′全等．

图2

3 重视引导学生感受新旧知识之间的逻辑联系

3.1 用旧知引出新知是开课情境的首选方式

众所周知,数学是一门逻辑连贯、前后一致的学科．虽然新知识、新概念层出不穷,但都是在已有知识、概念的基础上不断生长、扩展而来．从数的发展史来看,小学阶段从自然数到分数,初中阶段引入负数后数系扩充到有理数,出现无理数之后数系再次扩充到实数,都没有推翻此前数系的运算法则与运算通性,而是在将前面数系中的运算性质统统纳入新的数系之中,成为其中的一部分．因此,教师在开展教学前,要充分思考本课时教学内容的生长点在哪儿,然后精心选取旧知作为开课情境,这样既符合学生的最近发展区,也能让学生感受到“旧知引出新知”的教学一致性．当然,有些“数学分支”的起始课(如函数单元起始课),不容易找到前续旧知的生长点,那就要充分挖掘教材中选取的生活情境的价值,尽量尊重教材上的数学情境,做好选编或加工转化,不宜盲目离开教材另选情境,以“用教材教”为借口的“离开教材搞教学”的情形不值得提倡．

3.2 探究新知阶段要重视从已有旧知出发

当新学数学对象的定义或相关概念已得出,接下来就是研究这个数学对象的性质或判定．具体探究时,也要引导学生从已有旧知出发．案例1中,为了探究有理数乘方的运算法则,让学生回到有理数的乘法运算去分析乘方运算结果的规律,特别是乘方运算结果(幂)的符号规律,即需要关注到底数的正负、指数的奇偶性．再比如,研究等腰三角形的性质或判定时,学生要回顾全等三角形的相关知识来解决．又如,研究平行四边形的性质时,需要综合平行线的判定与性质、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等旧知识．在教学进程中,学生如果探究新知出现困难、思维受阻,教师需要进行必要的点拨或启发.这时不要急着“就题论题”,可以先组织或引导学生回顾某个数学旧知或基本图形中蕴含的重要性质,然后再启发学生“结合刚刚复习的一些旧知,现在大家解题有没有进展呢?”多进行这样“元认识”式的启发与点拨,不但能促进学生自主获得探究进展,而且示范和传递了如何回到旧知探究新知解决问题的思路或方法．

3.3 新知运用阶段需要灵活运用新旧知识

新知运用阶段主要是训练本课所学的新知识,但是有些习题常常具有一定的综合性,解题时需要灵活运用新旧知识．比如,学习圆的垂径定理之后的例习题及练习题,可能就会用上垂径定理和勾股定理;又如学习二次函数的图象和性质之后,有些习题可能会适当综合应用一次函数的图象和性质．事实上,进行必要的新、旧知识的综合,也是发展学生思维灵活性[2]的需要．值得注意的是,新、旧知识是辩证的,有时在同一节课中,某个新学知识可以成为后学新知的旧知识,上文给出的案例2～4都说明了这一点．从这个角度来看目前教材上的有些编排,教师可以进行更多的“学材再建构”的专业处理,比如上文“案例4”提到的三角形全等“边角边”的证明;又如平行线分线段成比例(教材上给出的是“基本事实”,只是画图验证了其正确性,但并不安排学生证明)的证明,可以先证明平行线等分线段的结论(作为“引理”),然后再借助“引理”去证明平行线分线段成比例的基本事实．