活用情境,巧设问题,生成发展*

董文峰 任宏章

⦿南京师范大学苏州实验学校

对于数学概念的教学,一般更多关注的是怎样“习得”概念,课堂偏重于教师的教的设计和学生对数学概念的表述和理解.

笔者感觉数学概念教学多关注学生怎样“研得”概念.从学生学习的角度出发进行课堂问题设计,通过课堂对话开展学习,课堂聚焦学生的数学思维能力的培养,课堂重心落在在怎样“研得”概念上,落在数学概念的模型建构上,落在数学研究对象本质特征的感悟和发现上,自然生成数学概念,学生的数学核心素养在数学概念的“研得”过程中得到提升.

下面笔者以苏科版初中数学九年级下册第六章“6.1二次函数”为例,阐述“研得”二次函数概念的过程.

1 学习目标的素养定位

生成性教学观点认为:学生的已有经验和现有水平是有效建构生成性教学的基础和起点,只有以学生的基础为生成点,才是有效进行生成性教学.教师通过与学生的平等对话,促使学生的知识理解和掌握水平在课堂上充分地展现出来,这样在课堂教学中,教师就可以较好地照顾到每个学生的发展,对预设的教学目标进行或升或降的调整和改变,以适合当前学生发展水平的需要[1].学习过程以生成性教学理论为指导,希望通过创设问题情境,设计串联问题驱动,实行课堂灵动对话,促进数学知识、数学方法和数学思想的自然生成,实现学生抽象建模和逻辑推理等数学素养的提升.

鉴于此,确定学习目标如下:

(1)以旧引新,依据课本图片素材,预设生成变量关系,形成对二次函数变量关系的初步理解;

(2)建立模型,激活原有认知经验,通过类比发现二次函数关系式的本质特征,概括、抽象二次函数的概念;

(3)巩固理解,利用概念解决问题,会确定二次函数自变量的取值范围,形成运用二次函数概念解决问题的能力;

(4)总结建构,巩固研究函数对象关系的基本方法,提高研究数学概念的思维能力,发展数学直观、数学抽象等素养.

学习重点:从实际情境中抽象出二次函数模型,通过观察、比较、概括,抽象生成二次函数概念.

2 学习过程的环节设计与教学分析

我们知道,课堂学习的沟通不仅包含信息发出的表达与信息接收的倾听,还包括信息接收者对信息发出的反馈,师生高阶的思维对话是思想的碰撞、共建,是思维互动与智慧共生.

2.1 创设问题情境,感悟变量关系

教者呈现出两幅图片,如图1、图2所示.

图1

图2

图1是初中七年级上册第一章第一节“生活与数学”中的图片,图2是八年级上册第六章第一节“函数”中的图片.

图1中,长方形篱笆问题涉及到哪些量?针对图1,同学们想提出什么问题?

图2中,水滴激起的波纹不断向外扩展的过程中涉及到哪些变量?针对图2,同学们想提出什么问题?

教学分析：此设计基于情境,从学生的生活现实出发,着眼于学生的最近发展区,采用已经学习过的教材上的两幅图片,一下子调动了学生的学习兴趣,让学生充分感悟数学与现实世界之间的联系.再通过设问,激发学生想要探求实际问题的欲望,引发学生的深层思考.学生主动发现了数学问题中的基本要素,进而提出要研究的问题,为深入研究数学问题中基本要素之间的关系做了良好铺垫.在问题的探讨过程中学生有了系统思维的意识,进行了多元对象之间关系的梳理.

2.2 依据变量关系,建立函数模型

针对图1、图2,教者接着提出如下问题:

问题1苏科版七年级上册第7页“试一试”第3题——学校打算用16 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔.怎样围可使小兔的活动范围较大?

若16 m长的篱笆围成的长方形生物园长为xm、宽为ym,则x,y有何关系?

若围成的长方形生物园面积为16 m2,其长为xm、宽为ym,则x,y有何关系?

若16 m长的篱笆围成的长方形生物园长为xm、面积为Sm2,则x,S有何关系?

问题2如图2,若水滴激起的波纹不断向外扩展的圆面积为S、圆周长为C、圆的半径为r,则S,C,r之间有何关系?

问题3如图3,一面长与宽之比为2∶1的矩形镜子,四周镶有边框.已知镜面的价格是120元/m2,边框的价格是30元/m,加工费为45元.设镜面宽为xm,求总费用y(单位:元).

图3

教学分析：教者设计的问题1与问题2,巧妙运用课本情境,通过追问,自然得到了变量间的不同关系,生成学生熟悉的一次函数、反比例函数模型,还有即将研究的新的函数模型(二次函数).这些变量关系放一起,通过比较,在原有学习经验的驱使下,学生很容易就会产生疑问“S=πr2”“S=8x-x2”是什么函数?此时继续抛出问题3,问题3的设计对变量间的关系提出了更高的要求,也为后面新函数的一般形式“y=ax2+bx+c(a≠0)”的出现作了铺垫,弥补了前面没能呈现出的含有a,b,c的函数模型.

2.3 类比发现特征,抽象生成概念

师:观察“S=8x-x2,S=πr2,y=240x2+180x+45”,这些函数有哪些共同特征?

生1:自变量的最高次数都是二次.

生2:等式两边的式子都是整式.

师:如果让你给这些函数取个名字,会怎么取?

生3:二次函数.

师:那什么是二次函数?你能给它下个定义吗?

学生有些犹豫,教者等待30 s学生依然没有反应.于是教者让学生回顾一次函数的定义.

师:一次函数是怎么定义的?

生4:函数y=kx+b叫做一次函数.

师:k和b有要求吗?

生4:k和b为常数,且k≠0.

师:你能完整叙述一次函数的定义吗?

生5:形如y=kx+b,其中k和b为常数,且k≠0的函数叫做一次函数.

师:什么是二次函数?能下定义了吗?

生6:形如y=ax2+bx+c的函数称为二次函数.

生7:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数称为二次函数.

生8补充道:其中,x是自变量,y是x的函数.

师:式子S=8x-x2,S=πr2好像不是这个形式?

生9:是这个形式,只不过前一个式子的常数项是0,后一个式子的一次项系数和常数项都是0.

师:太棒了!为你点赞.像一次函数一样,我们把函数式y=ax2+bx+c中的a,b,c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项.

师:a能不能等于0?

生10:a不能等于0,如果a等于0,ax2项就不存在了,它就不是二次函数了.

师:太棒了!你的认识真到位,b,c有要求吗?

生11:b,c可以等于0,没有限制条件.上面两个式子就是例证.

师:请分别说出函数式S=8x-x2,S=πr2,y=240x2+180x+45中的二次项系数、一次项系数和常数项.

…………

教学分析：苏科版初中数学教材中的情境问题只有二次函数模型,教者挖掘课本素材,通过变量关系的感悟增加了一次函数、反比例函数模型,当学生提到一次函数这个名词时,教者很敏锐地抓住契机,得出二次函数名称,并引导学生从呈现的关系式中抽象二次函数的特征.

课堂在师生的对话中推进,二次函数的特征、内涵和关键点都由学生通过观察、比较、发现得出.特别是当学生不能归纳二次函数概念时,教师不是急切地表达,而是耐心地等待,通过类比一次函数的概念,让学生去细细地品位.学生思考后大胆发表自己的见解,概念在学生互相修正中完善,最终形成完整的二次函数概念的表述.

2.4 变式拓展问题,活用概念解题

教者在概念形成后设计了三个问题,巩固对二次函数概念的理解和运用.

问题4下列函数中,y是x的二次函数的是哪些?说明理由.

(2)y=(x-3)2-x2;

(3)y=ax2+bx+c.

教学分析：问题4针对二次函数的概念进行巩固,其中包含了常见的典型错误类型.第(1)个表达式从形式上看存在二次,实际为负二次,所含式子是分式.第(2)个表达式直接判断时很容易认为是二次函数,但化简来看二次项可以相减,最后结果只存在一次项和常数项,是一次函数.教者的提醒促进了学生深入思考,函数的判断不能只看表象,要通过简化看实质.第(3)个表达式教者引导学生观察二次项系数没有限制条件,不能作出判断,学生的补充使判断思路更加清晰.这样的三个表达式加深了学生对二次函数概念的理解,提高了学生的辨证思维能力.

问题5已知函数y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

在学生提议之下进行分类,如下:

(1)已知一次函数y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

(2)已知反比例函数y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

(3)已知二次函数y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

生12:对于问题(3),根据题意得|m|-1=2,则m=±3.

生13:m≠-3,二次项的系数不能为0.

教学分析：问题5中只给出了一个关键词“函数”,在教师的意料之中,学生蒙了一下后,发现题目是开放的,需要分类讨论.学生提出了函数分别为一次函数、反比例函数和二次函数三种情况.当生12求出问题(3)中m的值时,生13马上指出“m≠-3,二次项的系数不能为0”,说明学生对二次函数概念的理解已经很深刻了.

问题6如图4,用16 m长的篱笆围成一边靠墙(墙长6 m)的长方形生物园饲养小兔,设垂直于墙的一边长为x(单位:m),生物园的面积为y(单位:m2),求y与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围.

图4

教学分析：通过追问,引导学生对问题进行深入分析,不断激发学生思考,得出函数关系式,进而归纳出自变量的取值范围.自变量的取值除了使函数式有意义,还必须使实际问题有意义.学生对相关问题的认识有了进一步的理解,也为后期研究二次函数应用问题做了铺垫.

2.5 整体总结建构,生成认知体系

问题7(1)本节课是怎样引入二次函数概念的?

(2)二次函数的本质特征是什么?什么是二次函数?

(3)本节课研究了二次函数概念在哪些方面的应用?

(4)通过本节课的学习,你还有哪些疑问?

师生对话后,最后学生提出:通过本节课的学习,我们还想知道二次函数的图象是怎样的,有什么性质,还有哪些运用.

教学分析：课堂小结教者没有采取直白告知的方式,而是设计了四个问题,让学生回顾、梳理、表述,教者适时追问,学生自主总结,自然形成二次函数概念的认知体系、研究方法.通过第(4)个问题的回答,甚至形成整个二次函数章节学习的体系框架.

3 教学反思

课堂从学生已有的知识和学习经验开始,在知识、方法和思想不断生成的过程中推进学生核心素养的形成、课堂学习的深度开展和灵性智慧的提升,课堂学习取得了良好的教学效果[2].

3.1 基于情境,系统思考,提出问题

本节课以学生已有的学习经验为基础,深入挖掘已经学过的图片问题中数学元素之间的关系,把新知识的学习建立在旧知识基础之上,没有就题论题,而是突破教材情境问题中只有二次函数模型的情况,更广泛考虑了周长一定长与宽的关系、面积一定长与宽的关系等内容.通过教师引导,学生在真实的情境中系统思考,发现关系和提出问题,生成除即将研究的二次函数表达式外,还有一次函数表达式、反比例函数表达式,多元数学元素之间的关系更符合问题的实际,更符合学生认知的实际.

3.2 问题导向,类比研究,揭示本质

课堂学习是以教师创造性地设计,学生创造性地学,最终获得充分发展,而不是以记忆与理解来作为教学效果的最终特征[3].本节课通过“情境+问题串”的方式组织学习活动,充分挖掘教材素材,七个问题串联,逐步揭示二次函数概念及组成要素之间的关系,通过类比一次函数发现二次函数的特征——两个变量、自变量最高次数为二次、二次项系数不为0、整式形式,进一步通过类比抽象概括出二次函数的概念.

概念的运用环节设置了三个问题,第一层次是判断,第二层次是确定字母系数的值,第三层次是关系式的建立和自变量取值范围的确定,这样的变式处理从不同角度由浅入深加强学生对二次函数概念本质特征的理解.

3.3 灵动对话,整体建构,生成发展

在课堂学习过程中,教师给予学生足够的思考空间,激发兴趣,开拓思维,从而促进学生的深度学习.对于二次函数的概念,课堂中没有匆忙“给出”,而是引导学生观察、比较,激活学生原有的认知经验.对于二次函数的概念,一个学生的表达不完善,被接着的学生补充,教师的等待和追问推动了概念的表达,概念在不断生成的过程中完美呈现,从而促进学生对二次函数概念的深刻思考和再认识,推动学生抽象概括、推理能力等数学素养的形成.这一学习过程也充分体现了研究数学概念的一般思考方法.

课堂最后的小结阶段,设计了四个小问题引导学生回顾本节课的学习内容,通过学生的交流对话、自主总结,整体建构形成认知体系.问题7(4)引导学生大胆预测即将学习的内容,学生的展望准确、到位,学生的学习能力在这样的学习过程中得到培养.这样体现生成发展教学意义的课堂小结,使学生带着问题进课堂,满怀解决问题后的喜悦走出课堂,抑或带着新的疑问进行课后的深入研究[4].

本节课的学习过程中,学生“研得”了函数的概念,更重要的是进一步巩固了研究函数的基本方法,即从生活情境中建立函数模型,发现新函数模型,思考新函数模型的特征,抽象新函数概念,利用新函数概念解决问题.发展了数学模型意识和数学抽象能力.