性质巧综合，函数妙应用

■武春苗

函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性是函数的四大基本性质。函数性质的应用问题,在历年的高考中都占有非常重要的地位。函数性质之间关系密切,涉及两个及两个以上函数性质之间的综合应用问题,其难度大,解题技巧性强,且具有一定的抽象性,因此应引起同学们的高度重视。

一、函数的单调性与奇偶性的综合

函数的单调性与奇偶性的应用问题,要注意函数单调性和奇偶性的定义,以及奇偶函数的图像的对称性。

二、函数的奇偶性与周期性的综合

例2 已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈[1,3]时,f(x)=kx+m,若f(0)-f(3)=-1,则f(2023)=( )。

A.-1 B.1

C.-2 D.0

函数的周期性与奇偶性的应用问题,可利用函数的奇偶性与周期性,将所求函数值的自变量转化到已知函数的定义域内进行分析与处理。

三、函数的奇偶性与对称性的综合

例3 (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则( )。

A.f(x)的图像关于直线x=1对称

B.f(x)的图像关于点(1,0)对称

C.f(x)的图像关于直线x=2对称

D.f(x)的图像关于点(2,0)对称

由函数f(x+2)为奇函数,可知函数f(x)的图像关于点(2,0)对称,B错误、D 正确。由函数f(2x+1)为偶函数,可得f(-2x+1)=f(2x+1),令2x=t,则f(-t+1)=f(t+1),所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称,A 正确,C错误。应选AD。

函数的奇偶性与对称性的应用问题,可结合奇偶性的定义,构建相应的函数关系式求解。这里的对称性包括点的对称和直线的对称。

四、函数的周期性与对称性的综合

例4 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x都有f(x+4)=-f(x)+2,若函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1 对称,且f(5)=2,则f(2023)=____。

对任意实数x都有f(x+4)=-f(x)+2,则f(x)=-f(x+4)+2。所以f(x)=-f(x+4)+2=-[-f(x+8)+2]+2=f(x+8),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数。

因为函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,所以函数y=f(x)的图像关于y轴对称,所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。

因为f(5)=2,所以f(2023)=f(253×8-1)=f(-1)=f(1)=-f(5)+2=-2+2=0。

函数的周期性与对称性的应用问题,要注意对称性与周期性之间的关系与转化,要注意函数图像的周期是两条相邻对称轴(或相邻对称中心)之间距离的2 倍,是对称中心与相邻对称轴之间距离的4倍。

五、函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合

例5 (多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R 恒有f(x+1)=f(x-1)成立,已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则( )。

A.2是函数f(x)的一个周期

B.函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,3)上单调递增

C.函数f(x)的最大值是2,最小值是1

D.函数f(x)的图像关于直线x=1 对称

在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则f(t+2)=f(t),所以2是函数f(x)的一个周期,A 正确。当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x单调递增,根据函数的奇偶性知f(x)在[-1,0]上单调递减,结合函数的周期性知,函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,3)上单调递增,B正确。结合选项B可知,函数f(x)在区间[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,最小值f(x)min=f(0)=f(2)=0,且函数f(x)是周期为2 的周期函数,C 错误。由函数f(x)为偶函数,可得f(-x)=f(x),由函数f(x)的周期T=2,可得f(x)=f(x+2),所以f(-x)=f(x+2),即函数f(x)的图像关于直线x=1 对称,D 正确。应选ABD。

函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性的综合应用问题,是高考的常考点,解题时,要借助函数的奇偶性、对称性和周期性,并结合已知条件来确定函数在相关区间上的单调性,即实现不同区间的转化,再利用函数的单调性及其相关性质进行求解。