转化与化归思想在初中数学中的应用

谭莉

摘  要：数学思想是指在现实生活中对各类数学理论形成的本质认知，体现了数学学科中的总结性、广泛性和奠基性的特点。教师研究数学学科的思想和方法，有助于提高课堂教学的效率、发展和改善学生的认知结构。数学的思想和方法，包括转化与化归、数形结合、分类与讨论、函数与方程。数学问题的研究与求解过程，是一种从未知到已知的变化过程，即通过联想和类比分析数学问题，选择合适的方式进行演化，最终确定比较合理、容易的解决方法。教师将转化与化归思想应用到初中数学的教学活动中，有利于学生掌握数学知识以及解题技巧。

关键词：转化与化归；初中数学；学习能力

转化与化归思想在初中数学课堂教学中的应用，能够使学生掌握有效解决数学问题的技巧和方法，促进学生对数学问题的探索实践，显著提高学生的综合学习能力。

在改革数学教学模式的过程中，教师可以从转化与化归思想在数学教学中的应用，探索教学改革的创新措施，使学生能够掌握数学学习的技巧和方法，并主動探索和实践课程知识。

一、转化与化归思想概述

转化与化归思想是一种基本的数学思想，在解决、研究数学问题时，这种思想使用了相对科学、规范化的手段和方法来解决数学问题。数学问题的解决是从困难到简单的过程，简单而言，转化与化归思想是把忽视的问题转化为熟悉的问题，简化复杂的数学知识，将多维问题转化为一维、二维问题。收敛思维涉及目标、方法和对象，学生通过了解这三个领域，能够更好地用简化的方法解决复杂的数学问题。

初中数学包括许多数学思想，如正统思想等。如果中学数学能够在学校教育中灵活运用上述思想，学生就可以更好地理解相关的数学知识，学习能力也将越来越好。中学数学的大部分知识点都是抽象的，学生在学习和理解上会经常遇到困难，教师在学习上应用转化与化归思想，能够使抽象的知识点更易于理解。初中生会经常遇到几何、公式问题，如果学生能够在数学学习过程中应用转化与化归思想，能够更好地理解和解决相关数学问题。

二、研究转化与化归思想教学的必要性

在初中数学的教科书中，包含了大量转化与化归思想的内容。学生在掌握有理数的基础上，可以用加法、减法、除法、乘法，以及二元一次方程的代入法来求出加、减、乘、除的结果；也可以运用加减法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。学生在证明平行四边形的对角、对边相等时，可以连接对角线，将平行四边形转化为两个全等的三角形，从而得到平行四边形的对角、对边相等的结论；利用相似比和直角三角形函数的简单应用，来求解直角三角形，在适当的条件下，也可以将非直角三角形转化成直角三角形。

转化与化归思想在中学数学中随处可见，因此教师在教学的过程中，应进行更高层次的理解，甚至要结合数学知识结构的横向和纵向联系，有意识地将转化与化归思想渗透到数学的教学中，并在教学过程中对这种思想进行编辑和改造。转化是一种将困难问题转变为可以解决、具有更明确客观特征问题的方法。“数”与“形”的结合是几何与代数的相互变换，但有些问题在变换后无法立即解决，因此需要重新变换。化归的概念也可以用于简化计算，一般而言，中学数学课中常用化归的思想来解决代数问题，用转化的思想来证明几何问题。

三、初中数学中应用转化与化归思想存在的问题

（一）知识衔接困难

转化与化归思想是一种不断变化的思维方式，它将陌生、难解的题目转化为熟悉、有规律和浅显的题目，方便学生在学习过程中解决未知的问题。形成这种思想不仅需要学生有系统的知识结构和框架，还需要学生掌握新旧知识间的联系，以获得相关的信息并及时解决新的问题。如果学生掌握的知识不够系统，转化和化归的过程就会受阻，无法把掌握的知识精确地联系在一起，找不到解题的突破口。

（二）应用意识较弱

转化与化归思想的主要目的是通过分析、观察、类比和联想等，将未知问题转化为已知的知识领域，并最终解决问题。但在现实中，大部分学生往往无法解决数学问题，很难将问题转化为他们熟悉、已经掌握的数学知识和方法。一些学生应用数学公式、理论等来解决问题，而不分析与问题有关的已知和未知条件之间的关系，或者缺乏知识转换的意识。这严重限制了学生解决问题的有效性和正确性。

四、转化与化归思想在初中数学中的应用策略

在对初中数学教学活动进行创新设计的过程中，教师应有意识地探索转化与化归思想的多元化应用，启发学生对数学知识的多维度思考和探究，从而进一步提高学生学习和掌握数学知识的能力。

（一）培养学生的知识整合

在实践中，教师可以集中精力增强学生的意识，帮助学生发展创造性的思想，从而将教学材料、主题和归属感充分地结合起来。前文从多重方程转化为一元方程的内容就充分反映了转化与化归的思想。在教学过程中，教师不能简单地通过让学生熟悉解决这些问题的方法、概念和知识，来传达问题的解决方案，而是必须在实践中注重学生归属感的形成，促使学生将归属感转化为思想，包括方程式的表现形式和各种图形的变换等。在解释这些要点时，教师应引导学生有意识地运用自己的想法解决问题，并循序渐进地加以阐释，这不仅向学生传授了数学知识，还进一步拓展了他们的数学思维，培养了学生的数学核心素养。

在实践中，教师不仅要使学生注重对某一知识点的理解和利用，还要让学生注重整合不同的知识点，不断积累知识，从而为学生的数学学习奠定良好的基础。此外，教师需要引导学生比较新旧知识，从而形成完整的数学知识体系，便于学生数学思想的产生，进一步增强学生对数学知识的应用。

（二）通过经典例题渗透转化和化归思想

转化和化归，可以通过变革性的思想解决一些无法解决的问题，教师需要充分引导学生体会转化和化归思想应用在数学解题过程中的优势。

例如，在“函数与图像”的教学中，教师引导学生对交点的作用进行深入的探究。其中一个问题是“当直线y=x+b与直线y=2x+4的交点在第二象限时，则b的取值范围是什么？”。当学生第一次遇到这个问题时，他们会感到困惑：如何保证两条直线的交点在第二象限？根据第二象限坐标的特点，学生能够推断出其交点坐标就是这两个方程组成的方程组的解，也就是这个问题的最终结果。这时一切问题都迎刃而解，学生会产生顿悟的学习体验。

（三）转化与化归思想在代数中的应用

通过转化与化归思想可以帮助学生理解和解决各种代数问题，并培养他们的代数思维能力。通过转化与化归思想，学生可以将一个复杂的方程转化为等价但更简单的形式，从而更容易求解。例如，对于二次方程ax2+bx+c=0，我们可以运用转化与化归思想，通过配方法将其转化为一个完全平方的差，或者利用因式分解将该方程转化为两个一次方程的乘积，进而得到方程的解。

转化与化归思想还可以在多项式运算中帮助学生将多项式进行合并、分解和分配，从而简化计算过程。例如，要计算多项式的和或差时，可以将各项按照相同的指数进行合并，化简后再进行运算；而在乘法和除法中，可以利用转化与化归思想将多项式进行分解或合并，从而简化计算。

在函数图像的绘制和分析中，转化与化归思想可以帮助学生将函数转化为特定形式，进而更好地理解函数性质和特点。例如，在绘制一次函数的图像时，可以运用转化思想，通过平移和缩放将其转化为y=kx的标准形式，从而判断出斜率和截距的关系。

在解决不等式的问题时，转化与化归思想可以帮助学生改变不等式的形式，使学生更便于求解。例如，对于复杂的分式不等式，可以通过转化与化归思想将其转化为乘积形式或平方形式，从而简化不等式的求解过程。

（四）转化与化归思想在统计推断中的应用

在统计学中，转化与化归思想可以在统计推断中起到关键的作用。一种常见的应用就是通过将问题转化为对样本均值的推断来简化总体均值的估计过程。假设有一个总体，并希望对该总体的均值进行推断。传统的方法要求获得整个总体的数据，然后计算总体均值。然而在实际情况下，很难获取到总体的数据。因此，可以通过抽取样本来代表总体的特征。

转化与化归思想能够将复杂的问题转化为对样本均值的推断。具体而言，从总体中随机抽取一个样本，并计算该样本的平均值。然后，依据中心极限定理，可以认为样本均值的分布接近正态分布。基于样本均值的正态分布性质，可以通过置信区间或假设检验方法对总体均值进行推断。通过转化与化归思想，将复杂的问题转化为对样本均值的推断，简化了推断过程。这样，只需关注样本数据而不必考虑整个总体的特征。同时，样本均值的推断方法已经得到广泛研究和应用，具有可靠的统计性质和方法。

（五）强化教学设计，开展转化与化归主题教学

在中学数学教学中，教师必须不断加强教学设计，创新教学方法，积极转变教学观念。教师在设计教学和研究教材时，必须注意教材中包含的思维方法；要注意合作探究或训练方式的改变，将新旧数学知识建立联系，使学生具有逆向思维。在数学课上创新的教学模式，可以让学生理解和感受到数学思维的有效性，因此教师可以有意识地为学生创造出独立发展和学习的空间，展示数学问题的相似之处，引导学生得出结论，最终产生相应的模型，来反映学生思维的转变。

例如。教师可以借助多媒体设备，让学生观察与预测“余角与补角”中角的个数及其相互关系，以加深学生对“余角”与“补角”的认识，增强学生独立学习与思考的能力。

五、初中数学转化与化归思想培养的原则

转化与化归是重要的数学思想，不是简单的数学公式或具体的数学问题，而是知识体系的一部分，贯穿了学生的整个学习过程。因此，为了培养学生的转化与化归思想，教师在教学时，应遵循以下原则：

（一）直观性原则

直观性原则就是在数学教学的过程中，教师指导学生直接感知学习对象，并帮助学生在各种数学理论知识和实际的事物之间建立联系。学生在解决具体的数学问题时，要形成自身的思维能力，能够将抽象的数学问题转化为可理解和可视化的问题。代数问题是抽象的，但如果学生能够把他们转换成直接可见的图象，则会很方便地解决该问题。

（二）将隐性化为显性

转化与化归的应用，需要学生掌握相关的数学知识点，但在课堂上，学生并没有明确表示要通过转化与化归来解决他们存在的数学问题。因此教师应在具体的教材中，坚持数学问题中普遍存在的“隐性化为显性”原则，将思维转化为现实。

转化与化归思想在初中数学教学中的应用，能够从不同的角度优化课堂教学体系，促使学生对数学知识进行深度的探索和实践，从而提高学生的学习效率和综合学习能力。基于此，在改革数学教学的过程中，教师应该组织学生系统地学习转化与化归思想的应用，总结应用转化与化归思想解决数学问题的规律，便于学生遇到类似的数学问题时，能够快速地解决；从多个角度训练学生，夯实学生的数学基础，开阔学生的视野，促使学生将转化与化归思想应用到更加广泛的实际生活中。教师通过转化与化归思想的应用，提高了教学的质量和效率，促进了学生的全面发展。

参考文献：

［1］何淼，孟兆艳. “转化与化归思想”在初中数学的应用［J］. 考试周刊，2010（15）：70-71.

［2］何朝均. 例谈数学思想方法在初中数学教学中的应用［J］. 文理导航（上旬），2010（05）：35.

［3］沈娇娇. 数形結合思想在初中数学教学中的渗透［J］. 安徽教育科研，2022（27）：61-62+71.

［4］魏玉平. 试析化归思想在初中数学教学中的有效应用［J］. 数学学习与研究，2022（27）：50-52.

［5］陈同玲. 数学思想方法在初中数学教学中的融合渗透［J］. 中学课程辅导，2022（27）：117-119.

［6］王颖颖. 类比思想在初中数学教学中的渗透策略研究［J］. 数学学习与研究，2022（26）：122-124.

［7］刘荣霞. 小学数学教学中化归思想的妙用［J］. 理科爱好者，2023（02）：182-184.

［8］蒋伟. 浅谈数学思想方法在教学中的渗透——以“两角和与差的余弦公式”为例［J］. 高中数学教与学，2023（08）：36-37.

［9］裴伟. 新高考下化归思想在高中数学解题中的应用［J］. 数理天地（高中版），2023（05）：41-43.

［10］ 周前猛. 巧用数学思想，求解角度问题［J］. 初中生世界，2023（09）：46-47.

（责任编辑：淳  洁）