立足探究教学，渗透核心素养

徐秋华

摘要：根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》可知，数学核心素养的落地离不开教学实践.数学核心素养是一种综合性的能力和知识结构，涉及的知识面很广.九尺高台起于垒土，学生数学素养的提升来自日积月累的沉淀.高中数学课堂应以学生自主探究为主线，渗透数学核心素养.

关键词：双曲线;核心素养;探究教学

蔡金法等［1］在《做探究型教师》一书的绪论中明确提出：教师作为研究者，首先要思考的根本问题是“我们究竟要培养什么样的人”.在传统课堂教学中，教师“满堂灌”现象极为普遍，多数学生缺乏独立思考、自我探究以及勇于创新的能力.在数学教学中，开启探究式课堂，培养学生思维的独立性、深刻性与灵活性是新一代课堂的教学目标［2］.

探究型课堂的设计理念是以问题链为驱动力，重视知识的建构过程.课堂采用教师讲授与学生探究相结合的教学方式，让学生经历质疑、探究、释疑的学习过程；体验数学活动中的发现与创造，经历从感性到理性的认知过程.正所谓“生”动的课堂才会更生动.下面以笔者执教的公开课“双曲线及其标准方程”（人教A版选择性必修第一册）为例，谈一下自己的做法和几点不成熟的想法，以就正于方家.

1 创设情境，实验感知，获得概念

情境一：播放七彩灯光下的广州电视塔、工作中的冷却塔、艾洛依休斯教堂等动态图片.引导学生欣赏图片的同时，提出问题：这些建筑中蕴藏着什么几何图形？

学生：双曲线.

数学源于生活，用于生活.让学生直观感受数学美，激发学习兴趣.

情境二：（课前折纸小实验）按要求折叠纸张，在纸上先确定两个定点F1，F2，以F1为圆心，小于F1F2的长为半径作一个圆，在圆上任取一点P1，通过折叠，使P1与F2重合，并画出折痕l1（如图1），然后作出半径F1P1所在直线并沿着该直线折叠，该折痕与l1相交于点M1；随后依次确定点M2，M3，M4，……，由此发现折痕与l1的交点逐步形成了两条对称的曲线（如图2）.

通过小组探究、讨论，类比椭圆的定义，得出双曲线的概念：把平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（非零常数小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（动画演示曲线形成过程.）

设计意图：通过两种不同的方式引入课题.首先从生活情境引入，美丽的建筑让学生感知数学美；其次从数学问题引入，通过折纸活动，确定双曲线的具体形态及其基本构成条件.折纸使课堂气氛变得活跃，激发了学生探究新知的积极性.

2 深度探究，体验概念生成过程，培养抽象概括能力

师：下面我们对双曲线的定义进行辨析.

追问1：类比椭圆，双曲线的定义中有哪些关键词？

生：关键词有“绝对值”“非零”“小于|F1F2|”.

师：很好！

追问2：如果分别去掉或改变这几个关键词，曲线会发生怎样的变化？

情形一：如果去掉“绝对值”，曲线会发生怎样的变化？

师生共同研究，根据刚才的动画演示发现，如果去掉“绝对值”，轨迹应该是双曲线的一支.那么，到底是哪一支呢？

学生归纳并展示所得结论：如果|MF1|-|MF2|是一个负常数，那么点M的轨迹是双曲线的左支；如果|MF1|-|MF2|是一个正常数，那么点M的轨迹是双曲线的右支.

情形二：如果将“小于”改为“等于”呢？

生：若点M在直线F1F2的外侧，则点M，F1构成三角形.根据三角形的性质，两边之差小于第三边，即||MF1|-|MF2||

師：非常好！分析问题要从多角度入手，才能看透本质.

情形三：如果将“小于”改为“大于”呢？

生：（激烈讨论，班级气氛活跃）若点M在直线F1F2的外侧，则点M，F1与F2构成三角形，根据三角形的性质，两边之差小于第三边，即||MF1|-|MF2||<|F1F2|，不成立；若点M在线段F1F2的延长线或反向延长线上，则||MF1|-|MF2||=|F1F2|，也不成立；若点M在线段F1F2上，||MF1|-|MF2||不是定值，不成立.所以轨迹不存在. （全班鼓掌）

师：很棒的总结.请同学们继续思考.

情形四：如果去掉“非零”两个字，那么曲线会发生怎样的变化呢？

生：当|MF1|-|MF2|=0时，根据中垂线的性质可知，中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，此时轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

师：通过对上述四种情形的深入探究，我们对双曲线的定义进行了辨析，可知双曲线定义中那些关键词的重要性，大家一定要细细体会.

设计意图：通过小组探究学习，深挖双曲线概念形成的基本构成条件，有助于培养学生的数学抽象与数学建模素养，细致严密的分析过程有助于提升学生逻辑推理素养.

3 类比探究，构建数学模型，培养逻辑推理及数学运算能力

师：能否对照椭圆标准方程的推导步骤及方法，推导双曲线的标准方程？

生：我们可以按照建立平面直角坐标系—设出各点的坐标—列出方程式—化简等式这四个步骤展开.

师：如何建立恰当的平面直角坐标系呢？（学生借助学习椭圆的经验展开讨论.）

类比椭圆，以直线F1F2为x轴，以F1F2的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系.（如图3）

师：如何写出曲线上满足条件的点M的集合？

师：要将双曲线的定义代数化，不妨设这个常数为2a，利用定义，曲线上的点M满足的集合为{M|||MF1|-|MF2||=2a，0<2a<|F1F2|}，那么集合中的等式如何用坐标来表示呢？

生：类比椭圆，可以设点M（x，y），双曲线焦点为F1（-c，0），F2（c，0）.由||MF1|-|MF2||=2a，得（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=±2a.这个方程比较复杂，可以类比椭圆标准方程的化简过程.第一步，将一个根号移到等式的右边，再两边平方，得

（（x+c）2+y2）2=（±2a+（x-c）2+y2）2.

师：很好，处理问题自信又果断！两边平方是处理根号问题的常用办法.解决这类问题不能有畏难心理，需要胆大心细.下面请同学们在本子上写出自己的化简过程.（教师巡视并适当点拨.）

生：第二步，将两边的式子展开化简，等号右边保留含根号的项，其余移项至等号左边，整理得到cx-a2=±a（x-c）2+y2；第三步，两边继续平方，彻底消掉根号.下面的化简有一个关键步骤，可以类比椭圆，根据变量x2，y2，整理可得方程（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

师：思路清晰，运算准确，此处应该有掌声.大家发现这个式子是没有办法继续化简的，类比椭圆标准方程的推导，如何化简使得方程更加美观？

生：双曲线定义中，2c>2a，令c2-a2=b2，代入化简，得x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

师：所以曲线上的动点M的坐标（x，y）是满足这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点到点F1，F2距离的差的绝对值等于2a，也就是说，这个以方程的解为坐标的点是双曲线上的点.我们称x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）为双曲线的标准方程.如果双曲线的焦点在y轴上，它的标准方程是什么？（如图4）

生：参考焦点在y轴上的椭圆标准方程，发现x与y的位置进行了互换，所以焦点在y轴上的的双曲线标准方程是y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）.

设计意图：学生通过类比椭圆标准方程的推导，克服运算过程中的畏难心理，探究并完成了双曲线标准方程的推导，达成了知识的迁移，通过运算的相似性，化被动为主动，提高对复杂数据处理的能力，提升运算素养.

4 知识应用，尝试构建数学模型，培养创新能力

例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1（-10，0），F2（10，0），双曲线上一点P与F1，F2两点的距离之差的绝对值等于16，求双曲线的标准方程.

生：找出双曲线标准方程中的三个基本量，即2c=20，2a=16，计算出b=6，代入相应方程即可.（教师详细板书.）

例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

生：先判断轨迹的形状.由A，B两地听到爆炸声的时间差及声速，得出A，B两地与爆炸点的距离差是定值.所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上，且爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点在靠近B处的双曲线的一支上.（教师详细板书.）

設计意图：例题来自教材，具有鲜明的基础性、典型性和导向性，深入探究课本中的题目，在夯实基础的同时，充分挖掘题目所蕴含的数学思想与方法，提升数学抽象思维，渗透数学建模能力，从而培养学生的创新能力.

反思探索是教学的生命线.本堂课通过设计折纸游戏环节，引入探究性问题，明确探究教学的任务要求.围绕“双曲线轨迹的发现—双曲线定义的深度剖析—双曲线标准方程的建立—实际数学问题的应用”展开，通过具体的折纸实验，直观感知双曲线的轨迹；通过对问题的分析，抽象出双曲线的定义，体现具体到抽象的数学思想.在整个教学中，笔者设计的问题链一步步地引导学生展开对双曲线定义和方程的探究，在此过程中，笔者不做过多干预，只适时点拨，铺设探究通道，引导学生朝着正确的方向思考.学生对新知的认识是一次从“惑”到“识”、从“无”到“有”的自然生长过程 ［3］.

“教是为了不教”.教学中要从大处着眼，小处着手，充分发挥学生的课堂主体地位，让学生经历探究过程，从而深化数学思想，积累基本方法和基本经验.在课堂教学中，教师要不断强化探究意识，让学生能够在潜移默化中建立数学眼光与抽象认知，提高数学素养.

参考文献：

［1］蔡金法，聂必凯，许世红.做探究型教师［M］.北京：北京师范大学出版社，2015：3.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］罗建宇.整体观视角下高中数学教学的建构与思考——兼谈“双曲线的标准方程”的教学 ［J］.数学通报，2022（10）：20-24.