高中数学函数问题中有效回避分类讨论的若干策略

林俊杰

摘  要：分类讨论是常见且重要的一种解题策略，它较好地体现了对“能力”的考查，备受命题者的关注，但分类讨论需做到不重不漏，这就对思维的严谨性提出了较高的要求，学生常常会因为考虑不全面而导致解题失误。从优化解题过程、提高解题效率的角度来思考，有些问题可简化或避免分类讨论。文章结合例题，探析在高中数学函数问题中避免分类讨论的若干策略。

关键词：高中数学；分类讨论；函数问题

分类讨论是高中数学中必须掌握的数学思想之一，掌握分类讨论的思想方法有利于培养学生全面严谨的数学思维能力，并能够有逻辑地分析、解决问题。然而，这种数学思想方法对学生来说，难度非常大，掌握情况并不理想。具体表现在：没有分类讨论的意识，不知道分类讨论的标准及讨论的内容。大多数分类讨论的问题都与参数有关，其实质是“化整为零，各个击破”，而事实上，并非所有含参数的问题都一定要分类讨论，如果能够优化解题思路，选择更好的解题策略，消除引起讨论的因素，就能够有效避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的，摆脱大量而烦琐的讨论，减少出错机会。下面结合具体实例谈谈有效避免分类讨论的几个策略。

一、挖掘隐含条件有效避免讨论

有些数学题目中会有一些隐含条件，如果稍加留意，充分挖掘，就能避免复杂的分类讨论，从而简化解答过程。

有些问题直接分类求解，费时费力，如果能充分挖掘条件中的隐含信息，从特殊入手，压缩参数范围，往往能减少分类讨论，甚至回避分类讨论。本题原来应从n≤1，m<1

二、进行等价转化有效避免讨论

在解答有些问题时，有时可以将题目中的条件进行合理变形或等价转化，结合一定的运算技巧就可避免分类讨论。

例2 设函数f（x）=lgx，若0f（b），求ab的取值范围。

对一些含绝对值号的问题，要常常利用公式、性质进行合理计算，将其等价转化为不需要分类讨论的问题加以解决。本题先通过观察题意得出函数的值域，再借用等价转化及不等式的性质脱去绝对值号，避免了分类讨论，最后运用对数的运算公式，把复杂的分类计算简化成对数值中真数的取值范围求解，过程简洁明了，计算亦化繁为简。

三、利用函数性质有效避免讨论

函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解决含参数的函数问题时，若能够适当加以运用，则能有效避免分类讨论。

例3 设定义在R上的偶函数f（x）在区间［0，+∞）上单调递减，若f（1-t）

对抽象函数问题，常见的解题是类比所熟知的函数，根据所熟知函数的函数性质（代数性质或几何性质）寻找解题思路，简化运算过程。本题通过运用偶函数的性质，直接将自变量1-t和t的范围对应到题目条件中的区间［0，+∞）内，避免了将自变量进行分类讨论，再由题设中已知区间的单调性直接比较大小，大大简化了解题的过程。

四、消除参数隐患有效避免讨论

在含参数的问题中，参数往往是引起分类讨论的根源，但若能通过某些手段，消除参数，则能有效避免分类讨论。

例4 已知a>0，a≠1，求关于x的不等式loga（1-x）>loga（1+x）的解集。

在有些含参数的代数式的大小比较中，其结果往往与参数无关，因此用适当的方法消去参数是避免对参数讨论的最佳思路。本题直接解决时要从底数a的范围和脱去绝对值两方面进行较烦琐的分类讨论，可若依据对数运算的换底公式，通过作商比较即可将作为参数的底数a消去，这就避免了对a是否大于1的分类讨论，且将两边的绝对值均看作整体去作平方，又避开了脱去绝对值号时的讨论，大幅提高了解题效率，使解答过程简便顺畅，提高解题的正确率。

五、巧用数形结合有效避免讨论

利用数形结合直观形象的特点，适当构造函数，画出相关图形，改变观察和思考问题的角度，能够使问题由抽象变得直观。

例5 当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

此题若只看解析式，由于参数a在对数函数的底数部分，大部分人都会想要将a进行分类讨论求解，但不等号左边是一个二次函数，而在自变量区间内再讨论两个函数值域的范围就过于烦琐。若设f1（x）=（x-1）2，f2（x）=logax，先画出f1（x）的图象，要使当x∈（1，2）时，不等式（x-1）21。在同一直角坐标系中画出f1（x）和f2（x）的大致图象，如图1所示可知，要使条件成立，只需f1（2）≤f2（2），即（2-1）2≤loga2，loga2≥1，所以1

图象是函数的另一种表示形式，涉及函数、不等式和方程等问题时，如果能构造出函數图象，利用几何图形的直观性探究出数形关系，往往能开拓新的解题思路。本题结合图象可以一目了然地了解两个函数值的分布和大小情况，巧妙地将数量关系与空间图形结合起来，由图象直接得到a的大致范围，避免了分类讨论，也能通过图象直接找到符合条件的函数值范围，便于由图列出不等式。正确作出图象，抓住图象的主要特征是减少分类的突破口，借此可避免陷入烦琐的讨论或复杂运算，大幅提高了解题效率。

六、利用正难则反的原则有效避免讨论

当给出的问题从正面直接解决比较复杂，所讨论的方面比较多时，就可以考虑从它的反面，即对立面进行考虑，最后再取其补集。

例6 给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集为；命题乙：函数f（x）=（2a2-a）x为增函数。若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围。

命题甲为真时：Δ=（a-1）2-4a2<0?a>或a<-1；命题乙为真时：2a2-a>1?a>1或a<-。本题若从正面角度求解，需分三种情况讨论：甲真乙假、乙真甲假、甲乙都真，则需要将每种情况的解集分别求出，再取并集；但是如果从它的反面角度考虑，则只需要求解一種情况，就是甲乙都假即可。甲为假命题时a的解集为

有些问题涉及“至少”“不能”等，若从正面求解则需要复杂的分类讨论，此时可从问题的反面入手，往往情形较少，甚至其反面可能只有一种情形而不需要分类。本题若从正面分类情况较多，而其反面却只有一种情况，故可以调整思考角度用补集法从反面入手，去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，再结合集合的性质A∪CUA=U得到正确答案，这样可以避免讨论，将题目化难为易，化繁为简，开拓解题思路。

对一个具体问题，是否需要讨论，如何避免分类讨论，没有固定的解题模式，应具体问题具体分析，要根据题目所给的条件及要求去确定。通过对问题的分析，打开等价转化的通道，让参数与主元分离，让问题的形式改变，并且尽量揭示问题的本质与内涵，联想有关公式与结论，结合定义、性质和直观图形，这样才能创造性地解决问题。求简，是数学解题的最高境界，而避免分类讨论，是对解题者综合能力的挑战，只有接受挑战，勇于创新，学生才能获得更好的发展。

参考文献：

［1］关峰. 见招拆招，避免分类讨论［J］. 理科考试研究，2018，25（17）：21-22.

［2］张魁. 例谈回避分类讨论的六大策略［J］. 数学教学通讯，2020（12）：85-86.

［3］胡艺. 化繁为简 辨证高效——谈数学解题过程中简化和避免分类讨论的方法［J］. 中学教研（数学），2018（04）：32-35.

［4］毛妨妨. 解题中回避分类讨论的若干方法［J］. 高中数学教与学，2015（21）：12-13.

（责任编辑：淳  洁）