数学建模核心素养的体现和作用

杨俊越

摘要：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。

关键词：数学建模 数学模型 建模意义 建模过程

一、数学建模介绍

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、 用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。[1]

二、数学建模核心素养的水平划分

（一）水平一

了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。对于学过的数学模型，能够举例说明建模的意义，体会其蕴含的数学思想；感悟数学表达对数学建模的重要性。在交流的过程中，能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题。

（二）水平二

能够在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用。能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题；理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题。能够在关联的情境中，经历數学建模的过程，理解数学建模的意义；能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果。在交流的过程中，能够用模型的思想说明问题。

（三）水平三

能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题。能够运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地建立数学模型，解决问题。能够理解数学建模的意义和作用；能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果。在交流的过程中，能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象。

三、常见数学模型

通过大量的实际问题，建立一些基本数学模型，包括线性模型、二次曲线模型、指数函数模型、三角函数模型、参变数模型。在教学中，要重视这些模型的背景、形成过程、应用范围，提升数学建模、数学抽象、 数学运算和直观想象素养，提升实践能力和创新能力。

（一）线性模型

1.结合实际问题，了解一维线性模型，理解一次函数与均匀变化的关系，并能发现生活中均匀变化的实际问题。

2.结合实际问题，了解二维线性模型，探索平面上一些图形的变化，并能理解一维线性模型与二维线性模型的异同。

3.结合实际问题，了解三维线性模型，如经济学上的投入产出模型。

（二）二次曲线模型

借助实例（如光学模型、自由落体、边际效应），了解二次曲线模型的含义和特征，体会二次曲线模型的实际意义。

（三）指数函数模型

借助有关增长率的实际问题（如种群增长、放射物衰减），理解指数函数模型，感受增长率是常数的事物的单调变化。

（四）三角函数模型

借助具体实例，理解一类波动问题（如光波、声波、电磁波）等周期现象可以用三角函数刻画。

（五）参变数模型

借助具体实例，理解平面上的参变数模型，如弹道模型。 借助具体实例，理解空间上的参变数模型，如螺旋曲线。借助一些用参变数方程描述的物理问题与几何问题，理解参变数的意义，掌握参变数变化的范围。

另外，通过具体实例，还建立一些基于数学表达的经济模型和社会模型，包括存款贷款模型、投入产出模型、经济增长模型、凯恩斯模型、生产函数模型、等级评价模型、人口增长模型、信度评价模型等。在教学活动中，要让学生知道这些模型形成的背景、数学表达的道理、模型参数的意义、模型适用的范围，提升数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养；知道其中的有些模型 （以及模型的衍生）获得诺贝尔经济学奖的理由，理解数学的应用，提高学习数学的兴趣，提升实践能力和创新能力。内容包括：经济数学模型、社会数学模型。

（六）经济数学模型

1.存款贷款模型（指数函数模型）

通过对存款等实际问题的分析，抽象出复利模型；通过对住房贷款等实际问题的分析，抽象出等额本金付款模型。了解这些模型各自的特点，能用这样的模型解决简单的实际问题。

2.投入产出模型（线性方程组模型）

了解投入产出模型的背景和意义，理解模型是如何通过线性方程组中的系数和解约束自变量、从而实现组合生产的计划。能用投入产出模型分析并解决简单的实际问题。

3.经济增长模型（线性回归模型）

利用我国改革开放以后经济发展数据，通过时间与 GDP（或者人均GDP）之间的关系建立线性回归模型（或者分段的线性回归模型），估计其中的参数，理解参数的意义。能用同样的方法分析简单的经济现象。

4.凯恩斯模型（经济理论模型）

了解如何通过收入、消费和投资之间的关系建立数学模型，体会模型中系数的乘数效应，体会扩大消费与经济发展、增加国民收入之间的关系，能用模型解释简单的经济现象。

5.生产函数模型（对数线性模型）

了解生产理论中柯布道格拉斯（Cobb Douglas）生产函数，知道如何用数学语言表达生产与劳动投入、资本投入之间的关系，知道如何把这样的表达转化为对数线性模型、如何对其中的参数进行估计，能解决简单的实际问题。

（七）社会数学模型

1.等级评价模型（平均数模型）

结合具体实例（如产品质量评价、热点问题筛选、跳水等技能性或全能等综合性体育运动评分），了解加权平均、调和平均、稳健平均等评价模型的特点及适用范围，能用这样的模型解决简单实际问题。

2.人口增長模型（指数函数模型）

结合实例（如我国人口增长数据），了解为什么可以用指数增长模型刻画人口变化的规律，知道模型中参数的意义，知道如何用模型拟合实际数据，并能判断拟合的有效性。

3.信度评价模型（Logistic回归模型）

对于银行贷款用户、信用卡用户等涉及信度的问题，知道用Logistic回归模型进行信度评级的道理，知道构造两级（好、差）或者三级（好、中、差）进行评价的方法，并会简单应用。

四、建模意义

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。

我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只研究数学，而不关心数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等的过程。

五、建模过程

（一）模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。

（二）模型假设

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

（三）模型建立

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。

（四）模型求解

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。

（五）模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。

（六）模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

数学模型所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来。因此，数学模型法的操作方式偏向于定量形式。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）.北京：人民教育出版社，2020.