一道三角函数与导数结合的试题解法初探

许顺龙

(福建省漳州市台商投资区角美中学,福建 漳州 363107)

1 试题分析

本题是一道导数与三角函数、指数函数结合的综合性问题,第(1)问是利用导数方法证明不等式恒成立,考查在三角函数背景下运用导数判断函数的单调性、求函数的最值、零点存在定理等知识;第(2)问是以三角函数和指数函数交汇作为研究的主体,打破了常规,考虑直接用数形结合方法很难解答出来,进而尝试求导,由于求导会出现含三角函数的表达式,使用常规方法处理后续问题变得困难.本题主要考查学生对函数的隐零点的掌握以及根据切线放缩、端点效应等方式来解决问题的能力;对学生的抽象概括、推理论证、运算求解等核心素养能力要求较高;考查函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等数学思想;体现综合性、应用性与创新性.

2 试题解析

所以f′(x)>0,此时f(x)单调递增.

又由(1)知,对于唯一零点x0[2],g′(x0)=0,且当x00,g(x)单调递增,当0

孟导听说这些值钱，心情好了不少。老贾则在一旁补充说新疆红钱之所以叫红钱，是因为铸钱的材料是新疆自产的红铜。如果红钱背书满文，则价值一般不低。除此之外，‘乾隆通宝’也有背书汉文的，因为数量相对较少，所以价格也会相对高些。

即f′(x0)≤2.

(ⅱ)当x>0时,

解法3 (1)同解法1、或解法2.

(ⅱ)当x>0时,

令f1(x)=ex-x-1,则f1′(x)=ex-1.

当x<0时,f1′(x)<0,f1(x)单调递减;

所以f1(x)≥f1(0)=0.

故ex≥x+1.

解法4 (1)同解法1、或解法2.

3 教学思考

3.1 导数与三角函数结合试题的解题策略

近几年的高考数学试题与质检考试题中,导数与三角函数相结合的试题逐渐成为趋势,由于三角函数的特殊性质(周期性、有界性、放缩法等),解题时不宜盲目求导,而是采取构造函数、分类讨论等方法,最终找出解题有用的特征,再联系三角恒等变换,并结合其他基本初等函数的性质分析讨论,这对培养学生的数学综合能力起到不可估量的作用[4].

3.2 新高考背景下的课堂教学思考

通过这样的好题,我们可以看出新高考对于学生的考查不仅仅局限于知识与技能,而是全面考查学生的数学核心素养和关键能力.试卷题目类型灵活,导数融入三角函数,拓展了高考命题的范围.这就需要教师突破各种局限,大胆迎接各种挑战,突破传统的导数题的框架,勇于创新,教会学生以“不变的”知识与技能去应对“万变的”数学试题,培养学生未来发展所必备的数学核心素养,适应国家新高考选拔新型人才的要求.