初中数学应用题解答中数学建模的应用

卢建顺

(福建省龙岩市永定区龙潭中学,福建 龙岩 364120)

应用题是利用语言或文字叙述有关事实,反映某种数学关系,如位置关系、数量关系等,并求解未知数量的一类题目,每道应用题中都包含有已知条件与所求问题.数学建模则是先结合实际问题构建数学模型,再对数学模型展开求解,最后根据结果解决实际问题.在初中数学应用题解题教学中,教师需重点培养学生的建模思维,利用数学模型把复杂问题简单化,把抽象问题具体化,使学生能够准确理解题意,理清题目中已知条件与所求量之间的逻辑关系,为解决问题创造条件.

1 建立方程模型解答数学应用题

方程是初中数学教学的重要内容.因为实际生活中不少问题都能够通过方程应用题的形式展现出来,故方程模型也是初中数学应用题解题教学中最为常用的一种数学模型.构建方程模型时,教师需重点培养学生寻找题目中已知量与未知量之间等量关系的能力,尤其是面对污损文字、图表、图案、情景对话等方式展现题目内容的新型应用题,教师需指导学生认真观察、识别、筛选与比较,顺利建立相应的方程模型,找到最佳解题方案[1].

例1 在某次实战演习中,一名坦克兵往远处1 700米的目标瞄准开炮,7秒后听到炮弹击中目标的声音,另外有一名记者距离这名坦克兵1 000米,距离目标2 020米,他听到开炮声响后5秒,又听到炮弹击中目标的声音,那么炮弹与声音的速度分别是多少?

分析这道应用题中存在两个等量关系,第一个是炮弹发出后至击中目标所用的时间与击中目标后声音传回坦克兵处的时间之和是7秒.第二个比较隐蔽,关键在于对“记者听到开炮声5秒后炮弹击中目标的声音”这句话的理解,前半句是记者听到开炮声后5秒,即为炮声传出1 000米的所用时间和5秒之和,后半句是“记者听到炮弹击中目标的声音”,包括炮弹飞行1 700米的时间与击中目标响声后传出2 020米的时间之和,这两段时间相同,由此建立方程组模型.

由此可知炮弹与声音的速度分别是850米/秒与340米/秒.

2 建立统计模型解答数学应用题

统计模型是以概率论为基础,采用数学统计方法构建的一种模型.部分过程无法通过理论分析的方法导出相应的模型,但是可以利用数学试验的方式测定数据,经过数理统计法求得各种变量之间的关系就称之为统计模型.在初中数学应用题解题训练中,当题目中出现的数据较多,内容比较复杂时,可以构建统计模型,对数据展开收集、整理与分析,帮助学生简化解题思路,找到正确的解题方向,有效提高学生解答应用题的准确度[2].

例2 已知有一个正方体小木块,现在要往小木快的六个面上分别刻上1,2,3,4,5,6个数字,且1和6,2和5,3和4需分别刻在对面,那么一共有多少种不同的刻法?

解析本题中出现的数据较多,且关系复杂,学生可利用建立统计模型的方式进行解题,只需考虑数字1,2,3可能刻的位置即可,剩余4,5,6三个数字的位置就能够随之确定,其中1可以选择这个小方块6个面中的任意一个面,共有6种刻法,6的位置也确定;2可以刻在剩余4个面中的任意一个面,共有4种刻法,5的位置同样得到确定;3只能刻在剩余2个面中进行选择,共有2种刻法,4的位置也得到确定.结上所述,所有不同的刻法一共有6×4×2=48(种).

3 建立不等式模型解数学应用题

不等式模型是一类比较特殊的数学模型.构建其他数学模型时,学生需要找到题目中的等量关系,而不等式模型则需要找到不等关系,能够起到意想不到的效果.针对初中数学应用题解题训练来说,当建立不等式模型时,教师需要指导学生合理设未知数,根据已知或隐含的不等关系,列出含有未知数的不等式或不等式组,然后解不等式或不等式组,最后验证解的合理性,从而让学生准确、快速地解答应用题[3].

例3 某家公司经营甲、乙两种商品,其中甲种商品的进价是12万元,售价是14.5万元,乙种商品的进价是8万元,售价是10万元,且甲、乙两种商品的进价与售价均保持不变,现在计划一共购进甲、乙两种商品20件,总价控制在190万元至200万元之间.

(1)一共有多少种进货方案?

(2)该公司使用哪种进货方案可获得最大利润?并求出最大利润.

分析通过阅读题目内容,学生发现有对进货总价范围的控制,明显涉及到不等关系,故可以通过建立不等式模型进行解题,学生只要准确找出题目中的不等关系即可轻松求解.

解(1)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(20-x)件.根据题意,得190≤12x+8(20-x)≤200,解得7.5≤x≤10.考虑到实际情况,x只能取正整数,即甲商品是8,9,10件,所以一共有三种进货方案,对应的乙商品分别是12,11,10件.

(2)甲、乙两种商品各购进10件或获得最大利润,最大利润为10(14.5-12)+10(10-2)=25+20=45(万元).

4 建立几何模型解答数学应用题

在初中数学应用题解题教学中,除了以上几种代数方面的数学模型,还可以构建几何方面的数学模型,主要用来解决一些特殊的应用题.此类应用题中文字叙述繁琐,字母符号较多,概念也不少,难度相当较大.建立几何模型,通过直观的图像把题目中的复杂关系清晰地呈现出来,有助于应用题的顺利解答.对此,初中数学教师可指引学生认真分析题意,将实际问题抽象转化成几何图形,通过建立几何模型的方式解答应用题[4].

分析本题是一道有关位置与方向类的试题,涉及到三角形与圆的相关知识,较为复杂,教师可以指导学生根据题意建立几何模型,画出如图1所示的几何图形,通过观察发现,A市会受到本次沙尘暴的影响,影响时间是沙尘暴从C移动到D处所用的时间,利用勾股定理和垂径定理即可求解.

图1 位置与方向示意图

5 建立一次函数模型解答应用题

函数是学生进入初中阶段以后接触与系统学习的数学知识,同其他内容相比,函数知识难度较大,其中一次函数作为最简单的函数,与实际生活联系的较为密切,不少数学应用题中蕴涵一次函数关系,学生需建立一次函数模型进行解答.在初中数学应用题解题训练中,教师应引导学生观察题目中的数据,使其根据已知数据构建具体的一次函数模型,促使学生应用模型解答应用题[5].

例5 张华同学参加100米短跑训练,2022年1至4月的训练成绩如下表所示,体育老师称他为百米短跑天才,请你预测张华同学5年(60个月)后100米的短跑成绩是( )(温馨提示:当前世界100米短跑记录是9.58s)

表1 短跑训练成绩表

A.14.8 s B.3.8 s

C.3 s D.预测结果不可靠

分析通过观察表中数据可以发现,每训练一个月,张华的100米短跑成绩提升0.2s,设他的成绩是ys,时间是x月,y与x之间是一次函数关系,可设为y=kx+b,然后代入相关数据求出一次函数关系,当x=60时即可求得60个月后的成绩.

解设张华同学的100米短跑成绩是y,月份是x,根据题意可得y=kx+b,代入前两个月的数据分别得到15.6=k+b,15.4=2k+b,联立方程组,解之得k=-0.2,b=15.8,即为y=-0.2x+15.8.当x=60时,y=-0.2×60+15.8=-12+15.8=3.8,因为当前世界100米短跑记录是9.58s,显然这一结果并不符合实际意义,故正确答案是选项D.

综上所述,在初中数学应用题教学实践中,教师应谨慎对待这种以文字描述为主的特殊试题,要求学生认真阅读题目内容、仔细审题,并以此为前提,理清题干中的数量关系,根据题意建立方程、统计、不等式、几何、一次函数、二次函数、三角函数等数学模型,使其找到更为简便的应用题解题方法与技巧,促使学生切实感受到数学建模的实用性与价值,从而提高学生的数学核心素养.