渗透模型思想 优化数学课堂

林功光

(福建省永泰县葛岭中学,福建 福州 350715)

模型思想是一种非常重要的数学思想.在初中数学课堂教学中,渗透模型思想不仅可以使抽象问题具体化、生动化,而且可培养学生的动手能力和数学思维能力.因此,教师要抓住初中阶段学生思维发展的关键时期,在课堂上渗透模型思想,在潜移默化中培养学生的数学思想.在数学教学中,尤其要重视挖掘数学教材中隐含的模型思想,并用模型思想解决数学问题,让学生真正感受到模型思想的应用价值.

1 初中数学渗透模型思想的原则

结合初中数学课堂教学实际,从学生基本学情来看,初中数学课堂教学中渗透模型思想应遵循以下原则.第一,数学化原则.模型思想的本质是将数学问题具体化为生活问题,并利用数学方法解决生活问题.因此,在数学课堂教学中渗透模型思想要明晰数学与生活的关系,引导学生运用数学思维分析、理解生活问题,从而为建模教学奠定基础.第二,注重过程原则.思想的渗透属于意识活动范畴,要注重思维体验,而非结果.因此,在数学教学中要让学生全程参与假设问题、搭建模型、求解模型、模型解释等活动,通过亲身实践改变学生思维认知,使其更加深入理解模型思想的本质.第三,长期性原则.思想的形成是一点一滴积累而来的,并非是一蹴而就.在数学教学中,教师要重视渗透模型思想,引导学生领悟模型思想,并形成长效机制.

2 渗透模型思想,优化数学课堂措施

2.1 创设情境,感知模型

数学知识的理论性、抽形象决定了数学课堂比较枯燥、单一,学生容易失去学习兴趣[1].感知模型是学生接触模型思想的第一步,若无法改变数学课堂的学习氛围,调动学生的主观能动性,势必会影响学生对数学建模的学习.因此,教师应积极创设生动有趣的教学情境,激发学生探索数学模型的兴趣.

例如,在“圆”第1课时的教学中,为了活跃课堂学习氛围,搭建生活问题与数学知识之间联系的纽带,教师可设计如下游戏情境:让学生站成一个圆形,并在中心放置布娃娃,然后邀请学生套圈,学生的学习兴趣就能很快被调动起来.游戏结束后,教师提出问题:这个游戏对所有同学是公平的吗?为什么?正处于思维活跃阶段的学生听到这个问题后,会自动将其与圆的数学知识联系在一起,初步形成用数学模型解决生活问题的意识.接下来,教师可以继续提问:你能用之前所学圆的知识及生活经验回答上述问题吗?进一步加深学生对圆的形成过程的理解,并引出有关圆的定义.通过上述案例可以发现,创设教学情境的主要目的是在活跃课堂学习氛围,刺激学生感官,使其主动探索问题,感知数学模型与实际问题之间的联系,初步形成模型认知[2].

2.2 知识授课,构建模型

在学生基本具备模型认知能力时,教师可继续强化模型思想,通过设计递进式的问题引导学生深入思考,采用小组合作、自主学习的方式促使学生参与到数学模型构建活动中,从而达到深化模型思想的目的.需要注意的是,在模型构建过程中,教师要给予学生足够的思考时间,使其能在意识活动范畴将抽象的模型思想转化具体的实践行为,并再次通过实践行为使模型思想根植于脑海中.在这一过程中,教师的主要作用是引导、启发学生深入思考.

2.2.1圆的集合定义

仍以上述圆的教学为例,在完成情境创设后,教师可设计以下问题串:

(1)你是如何画圆的?你能想到几种画圆的方法?向你的同伴展示画圆的过程.

(2)观察自己和同伴的画圆过程,说出如何画圆,如何用数学符号表示?

在学生展示画圆过程后,教师提问:如图1所示,用圆规画圆和用短线画圆有什么不同?这时学生就会用数学符号解释用圆规、短线画圆的意义.可能学生无法准确表达,所以教师可引导学生进行总结、概括:用圆规画圆的关键是确定一个定点,用短线画圆的关键是确定一个固定的距离.从画圆过程可以看出:①圆上各点到定点的距离等于定长;②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.因此,可得到圆的集合定义:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

图1 短线画圆与圆规画圆

2.2.2联系生活,构建模型

建立圆的定义后,教师可引导学生体验圆模型与生活实际问题之间的联系,从而促使学生形成更牢固的模型意识.问题1:回想我们玩的套圈游戏,每个同学到布娃娃的距离是不是一样?每个同学是不是可以看成圆上的点,每个同学到布娃娃的距离是不是代表圆上所有点到定点的距离.由此,你能总结出圆的集合定义吗?问题2:如果将圆形车轮设计为正方形车轮,会出现什么情况?在提出问题后,教师应给予学生一定的思考时间,并适当地引导学生探索圆的概念及要素,感受生活与数学的紧密联系.针对这两个问题,教师还可以充分利用多媒体,动画演示套圈游戏实物图及其对应的几何图形,并展示其动态变化过程,让学生充分感受生活问题到数学问题的转化过程.

2.2.3圆的有关定义

为了使学生理解圆的有关定义,教师可先出示图2,并提出问题:你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗?然后让学生以小组合作学习的方式进行讨论,并选派出一名代表结合图形进行交流.最后,教师引导学生归纳总结,得到弦、直径、弧、半圆的定义.

图2 圆示意图

2.2.4联系生活,构建模型

在完成教学内容后,教师可引导学生运用所学数学知识解决生活实际问题,并在解决问题过程构建数学模型.

问题1:为了证明圆有没有最长的弦,小明、小强进行了大量的测量,最后得到了“直径是圆中最长的弦”这一结论,你认为他们的结论对吗?你能用其它方法证明吗?

问题2:联想蒙古包、圆形蚊帐支撑、自行车车轮中的钢条等,这些实物用到了圆的相关知识了吗?能将其结构模型简化为圆形吗?

问题3:如图3所示的地形,在A地正北300米的B处有一变电设施,正西400米的C处有一幢民房,在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要,必须在A进行爆破.为了保证民房、变电设施、古建筑不会遭到破坏,问爆破半径应控制在什么范围?如果BC是一条马路,且路上有行人和车辆,为了避免爆破影响到人和车辆,则爆破半径应如何控制?

图3 地形图

上述问题既可以让学生认识到圆的相关知识在生活中有着重要的应用,也能渗透模型思想,加深学生对数学模型的认识[3].最重要的是能够改变圆的理论知识的抽象性,降低学生的学习难度.学生在探究问题1时,会自动画圆,并进行测量、分析、总结.在探究问题2时,则会将具体的实物转化为平面图形,并在思维层面建立两者之间的联系,然后运用所学知识解答问题.解决问题3时,学生会将生活问题转化为数学问题,并能够综合运用勾股定理、圆的相关知识、中线等数学知识解决问题.如图3,根据题意可确定爆破点位置为A.如果民房、变电设施、古建筑不会受到爆破影响,则要保证B,C,D三点在以点A为圆心、半径为r的圆的外部.即点A到三点的距离要大于半径r.这时生活问题就转化成了数学问题.根据勾股定理可得到AC2+BC2+=AC2,其中AC=400米,BC=300米,从而得到BC=500米.由根据中点知识,BD=250米.依据直角三角形斜边中线定理,可得到AD=250米.也就是说半径r要小于250米,才能保证B,C,D三点在以A为圆心、半径为r的圆的外部,即爆破半径控制在250米以内,才能保证爆破不会影响到民房、变电设施、古建筑.如果BC是一条马路,且路上有行人和车辆,保证爆破不会影响行人和车辆的最小距离应为点A到直线BC的距离.根据直角三角形高线的性质可计算得到其最小距离应为150米,即保证行人和车辆不受影响的最小爆破半径为150米.在整个问题解决的过程中,学生会反复进行生活实际问题与数学模型之间的转化、求解、解释,其模型思想也会不断加深,特别是其模型应用能力也会得到锻炼、提升,非常有利于学生对其它数学模型的学习和应用.

2.3 课堂小节,完善模型

在引导学生完成感知模型、构建模型、解决问题之后,教师应当对学生所学知识进行梳理、总结,并突出学生主体作用,使其自主完成模型结构体系的构建,形成模型思维体系.

首先,教师可引导学生共同参与知识回顾,促使学生进一步巩固所学知识,加深对数学模型的认识;其次,教师可让学生自主利用思维导图梳理知识,理清圆的集合定义、弦、弧、等圆、等弧之间的逻辑关系,使学生系统且有条理地掌握数学知识,并在这一过程中实现圆的理论知识与生活问题之间的相互转化,从而使学生真正理解圆的数学模型的应用意义;最后,在学生归纳完成后,教师进行点评,及时纠正学生的认识误区,确保学生能完全掌握所学知识.

2.4 作业设计,巩固模型

为了深化学生的模型思想,巩固学生模型认识及应用能力,教师应创新作业设计,注重实践性、探索性和层次性作业,并给予学生多元化的评价.例如,教师可设计如下作业:请同学们查找资料,搜集圆在生产生活中的应用.

总之,在初中数学课堂中渗透模型思想是落实新课程标准的有效措施.教师应在严格遵循模型思想渗透原则的基础上,持续优化课前、课中、课后教学,保证每个环节都能渗透数学模型,促使学生不断感知、体验、参与模型应用,最终形成模型思想.