例谈“阿氏圆”在求解三角形最值问题中的妙用

杨金鹏

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，即平面内到两个定点的距离之比为一个不等于1的正数的点的轨迹是圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.

其具体定义如下：如图1所示，已知A，B是平面内的两个定点，若平面内的点P满足PAPB=k（k>0，k≠1），则点P的轨迹是圆.若在线段AB及其延长线上分别上取点E，F，且使得AEEB=FAFB=k，则点P的轨迹就是以EF为直径的圆，该圆就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

在解三角形问题中，若出现类似于线段比值的条件时，便可考虑构造阿氏圆来解决问题，从而达到事半功倍的效果.下面就通过几个例题来探究如何构造阿氏圆来求解三角形中的最值问题.

解析：如图2，由角平分线性质可知ABAC=BDDC=2，延長BC至E，使得EBEC=2，则由阿氏圆定义可知，顶点A的轨迹是以DE为直径的圆（不含D，E两点）.所以，当AO⊥BC时，ΔABC的面积达到最大.由于DE=8，此时高AO=4，所以（SΔABC）max=12×6×4=12，故选C.

例2 已知边长为2的等边ΔABC，D是平面ABC内一点，且满足DB：DC=2：1，则ΔABD面积的最大值是（ ）.

解析：以BC的中点O为原点，建立如图3所示的直

角坐标系，则A（0，3），B（－1，0），C（1，0），设D（x，y），因为DB：DC=2：1，所以x+12+y2=4x－12+4y2，得x－532+y2=169，所以点D的轨迹为以（53，0）为圆心，以43为半径的圆，当点D距离直线AB距离最大时，△ABD面积最大，已知直线AB的方程为3x－y+3=0，AB=2，点D距离直线AB的最大距离为d+r=533+32+43=433+43，所以△ABD面积的最大值为S△ABD=12×2×433+43=433+43.故选C.

例3 以BC为底边的等腰ΔABC中，腰AC边上的中线长为9，当△ABC面积取最大时，腰AB长为（ ）.

解析：如图4，取AC中点D，则ABAD=2，在线段BD及其延长线上分别上取点E，F，且使得BEED=FBFD=2，由阿氏圆定义可知，顶点A的轨迹是以EF为直径的圆（不含E，F两点），所以当AO⊥BO时，△ABC面积最大，由条件可求得AO=6，BO=12，所以AB=62+122=65，故选C.

解析：如图5，在线段BC及其延长线上分别上取点E，F，且使得BEEC=FBFC=2，由阿氏圆定义可知，顶点A的轨迹是以EF为直径的圆（不含E，F两点），要使得BC最小，则要使得高最大，由图可知，当AO⊥BO时，高最大.设BC=x，求得AO=23x，则SΔABC=12×x×23x=1，解得x=3，即BCmin=3，故选C.

例5 在△ABC中，AB=2，D，M分别是边AB，AC的中点，CD与BM交于点G，若GC=3GB，则△ABC面积的最大值为（ ）.

圆定义可知，点G的轨迹是以EF为直径的圆（不含E，F两点），所以，当GO⊥BO时，ΔGBD的面积最大，此时GO=23，所以（SΔGBD）max=12×1×23=3.又由相似性可知SΔABC=6SΔGBD，于是（SΔABC）max=6（SΔGBD）max=63，故选C.

参考文献

［1］李玲玲.见圆方知缘如此—阿氏圆的来龙去脉［J］.中学数学杂志，2021（04）：46-50.

［2］魏东升.巧用阿氏圆妙解一类题［J］.数理化解题研究，2021（34）：15-16.

［3］施德仪，关于“阿氏圆”模型的探究与思考［J］.数学教学通讯，2020（8），83-85.