高等数学中函数与方程思想应用的研究

马林界

【摘要】数学思想方法是高校各层次学生需要深入学习和重点理解的内容.其中，函数与方程思想由于其理论对象相对广泛，在高等数学的教学中始终占据着最重要的地位，研究它们对提高大学生的数学应用能力具有重大的意义.文章对函数与方程思想的基本内容进行了分析研究，对在高等数学函数与方程教学中存在的问题进行了阐述，并找出了相关的解决途径和方法.

【关键词】高等数学；函数与方程；思想应用

引 言

数学思想知识的系统学习是高等数学的主要难点.高等数学思想学习的关键，在于如何牢固、准确地把握数学的核心概念，并善于在此思想基础上构建数学方法的整体网络.教师把握整体数学思想方法论的发展，有助于每个学生正确恰当地把握系统学习方法的逻辑起点；合理把握整个数学思想的发展逻辑网络，有利于学生选择科学、恰当、有效的系统学习方法.只有构建数学思想网络，现代大学生才能真正形成正确、科学的现代数学观念和现代世界观.函数与方程思想是当前高等数学课程中一种重要的思想方法.本文主要讨论函数与方程的思想及其在解题中的应用.

一、函数与方程思想概述

函数的基本思想就是运用运动和变化的本质规律，分析实际问题和转化问题，研究抽象数学概念中事物的数量关系，强调函数概念的使用.建立一套抽象的理论概念构造函数，利用数学抽象的概念特征和函数关系来分析实际问题，转化或解释问题，可以使学生在课程学习领域中随时可能遇到的基本函数问题得到快速有效的解决，或利用函数本身的数学性质解决问题，如函数的单调性、奇偶性、周期性、最大最小值、图像及其变换等.

方程的基本思想是人们用来分析解决基本数学问题所用的数学变量之间的等价关系，通过建立数学方程来求解，或者用它来构造方程，通过数值计算来求解方程，或者用各种基本数学方程和数学的一般规律在变换过程中进一步分析、变换和求解上述数学问题，使上述问题逐步得到解决.方程教学主要是指导学生如何解决问题，教会学生掌握和运用方程思想处理复杂问题.

虽然说函数与方程是两个不同的概念，但实际上它们之间有着相当密切和复杂的关系.如果一个函数存在函数表达式，那么它的函数表达式实际上可以看作一个方程.在现代高等数学的教学中，涉及最多的就是微分方程，微分方程分为一阶齐次微分方程、非齐次微分方程、二阶线性方程、高阶方程等.对于一阶标准类型方程的求解，可分为四个类型：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、全微分方程.解一階标准类型的方程的关键是辨别方程的类型，掌握求解的步骤.对于一阶非标准类型的方程求解，有变量代换法、积分因子法等.在高等数学中，解微分方程的重点是掌握微分方程的通解与特解的概念，掌握相关的解题法则.

总之，函数思想与方程思想是学习高等数学所必需的基本思想.它们在内容上也是紧密联系的，都是将高等数学知识体系转化为实际能力水平的知识桥梁.它们几乎可以渗透学习高等数学思想的其他重要领域，其中在考试解题方面应用最为广泛.

二、高等数学中函数解题教学中存在的问题

（一）高等数学教师的专业能力不足

目前，随着我国高等数学功能化实践的深入，普通院校已经开设高等数学解题教学.然而，在重视高等数学理论教学的过程中，学校却忽视了对数学教师专业能力的提升.高校一直重视高等数学的基础教学，但往往忽视了数学教师综合教学能力不足的严重问题.高等数学是一门比较抽象、复杂的学科，涉及的知识和内容也比较广泛，要求数学教师具有相应水平的专业知识和专业技能.如果教师缺乏专业能力，那么将直接影响整个高等数学课程的教学质量.若学生已经对高等数学产生了严重的抵触心理，教师又因为自身能力的不足，不能完全回答学生提出的数学问题，那么会对学生学习高等数学产生负面影响.而且有些教师由于自身的能力不足，不具备较高的现代教学水平，因此在教学过程中，在认知方式、思维方式、评价方式等方面必然存在许多不合理之处.

（二）高等数学中函数解题教学的方式形式化

目前，在高等数学函数与方程的教学活动中，教师所采用的教学方法大多仍保持着传统的课堂灌输教学方式.在分析理解某些具体实例的活动中，教师的课堂主导地位被加重，学生的主体地位被忽视[1].即使学生能记住一些函数中的相关计算公式，但是并不能真正理解这些数学公式，也不能真正理解教师讲授的解题思路.同时，教师在函数与方程的教学活动中，对于如何解答函数与方程仍然是形式上的，讲课的过程也是枯燥、乏味、缺乏一定的逻辑思维的.让学生明确解题思路是解答函数习题的关键，然而，在目前的高等数学函数与方程的教学中，教师缺乏对图表、计算机等教学辅助工具的使用，大量的教学时间都放在了概念和理论知识的教学上，这些内容对学生的解题思维没有太大的帮助，而且，有的教师为了展示自己的高超能力，会选择一些难度很大的题目进行教学，这让更多的学生摸不着头脑，对于学习高等数学就更加厌烦了.在当前的社会环境下，教师对高等数学函数与方程的教学需要一定的针对性.此外，在高等数学函数与方程的解题教学过程中，大多数教师缺乏对现代化教学手段的有效利用，传递的函数思维方式过于僵化和形式化，过于枯燥，学生难以深入理解和掌握，往往不能充分激发学生的学习兴趣.

（三）学生对高等数学中函数的认知不足

一般情况下，大多数学生在选择自己喜欢的学科时，会下意识地回避高等数学学科，因为在大多数学生的主观意识中，高等数学其实是一门非常复杂、抽象的学科，需要具备良好的数学思维能力和逻辑能力才能学好[2].但如今，随着我国高等数学的日益普及，应用高等数学中或多或少地加入了各个学科的内容，这对于那些学生来说非常痛苦.甚至有些学生认为高等数学就是整天和一些数字、符号打交道，而且毕业后也不能真正把这些高等数学的知识运用到实际的工作环境中.所以，基于上述误解，学生会对高等数学本身存在一些错误的观念认知，最终可能会导致很多学生不愿意花更多的时间和精力去努力学习.同时，就很多学生的个人素质而言，他们的数学学习、理解和分析能力相对较差，自主学习能力并不是特别强，因此，对相关的高等数学课程会逐渐产生莫名其妙的学习恐惧.

三、在高等数学中应用函数与方程思想的途径

（一）提升高等数学教师的专业素质

对于现代高等数学中的函数和方程解题方法的教学，教师要想更好、更有效地提高自身的教学技能，就必须注重提高自身技能的相关专业素质，时刻树立正确、合理的教学目标，在函数和方程的教学活动中充分注意课程教学设计的逻辑严密性[3].在函数和方程解题的训练中，教师也要制订更详细、更科学的项目教学计划，针对类似问题制订和总结各种问题解决方案，从而有效、快速地提高自身的教学能力.同时，教师要对自身的教学专业能力进行定期的、系统的训练，因为函数和方程是学生理解相对困难的内容，而教师要想把自己的知识更完整、更系统地传授给学生，就需要更细致、更深入、更准确的理解、分析和判断.只有这样，才能真正提高学生的专业水平，才能更好地实现因材施教的专业教学.

（二）引入问题，数形结合

为了改变传统的知识灌输式的教学方法，教师应开辟一条基于知识引导和启发式教学的新途径，结合现代高等数学的特点，让学生学会如何观察和分析抽象的图形.比如，教师在设计函数极值的视频时，要给学生观看一个短视频，要求学生细致观察和分析图形，并对分析结果及时进行反思和总结，再给出一个函数曲线，让学生仔细观察图形，从每个角度进行分析[4].

教师需要引导学生学习如何观察、分析数学图形.当然，教师在教学中不能仅局限于课本的内容，还要让学生大胆发挥自己的想象力.接下来需要教师带领学生观察一些函数和方程的曲线图像，从曲线的折点、零点、曲线的单调性、增减性等角度去分析，通过观察，对这些数据进行详细的记录：①在x为多少时，曲线发生了转折？②曲线在何时达到最高峰，何时达到最低峰？③在峰值左右的邻域里，曲线是单调递增还是单调递减？④在函数导数为0的时候，左右邻域的单调性是否一致，是相反的单调性还是相同的单調性？以此来判断函数本身的单调性.教师可以引导学生把学习函数和方程曲线想象成一次爬山，单调增的时候就是往上爬，单调减的时候就是往下走，导数为0的时候就是爬了很久的山需要休息，找到一个驻地进行临时的休息，由此，导数为零的时候的点，就是“驻点”.借此，教师也就可以很好地引入驻点的概念.这样，通过这种引导、发现、总结知识的学习方法，学生就可以很好地学习函数与方程相关的知识，这种学习方法也就是“数形结合法”.

（三）归纳总结极值的知识点

教师在教学极值相关的知识时，可以采用微课视频教学的方式，让学生观看微课视频，找出解极值题的具体规律，并且将解题方法进行分类，用数学语言进行详细描述，引出极值的定义：若把一个函数的定义域按照某种规律进行划分（此处用驻点划分），若某点处的函数值是邻域里的最大值时，把此点称为一个极大值点，这点处的函数值称为极大值；反之，若某点处的函数值是邻域里的最小值时，把此点称为一个极小值点，这点处的函数值为极小值[5].极小值和极大值统称为极值.同时，学生根据函数的图像也可以观察出，一个函数可能存在很多个极大值和极小值，但是一个函数最多只存在一个最大值或者一个最小值，又或者只存在一个最大值和一个最小值.教师要引导学生注意，极大值（极小值）并不一定等于最大值（最小值），若函数在某一点处的导数为0，那么这个点就是函数的驻点.此外，教师还可以对极值的知识做进一步的归纳、分析和总结，给出获得极值的必要条件：如果某一函数在某一点上可导，并且在这个点上能够取得极值，那么这个点就是函数的驻点，不过这是一个必要条件.也就是说，函数在某一点能取得极值，那么这个点就一定是驻点，但是驻点也并不一定就是极值点，这一点也可以通过画图来论证.教师可引导学生根据这些定理总结出求解函数极值点的方法步骤：第一步：求出函数的一阶导数，然后求出函数的驻点和不可导点.第二步：通过使用函数驻点或不可导点将函数域划分为区间域；第三步：判断驻点对左右邻域内函数单调性的影响；第四步：求极值.

（四）将数学建模思想融于数学教学之中

目前，随着电子计算机产品的不断普及和应用，数学仿真建模能力在现代生产的实际活动中将变得越来越重要.因此，授课教师要充分认识到数学仿真建模课程知识的重要性，教授学生计算机建模学习的理论过程和数学建模的基本知识[6].为了使学生能够更好地思考和解决计算问题，综合分析实际问题，教师还必须充分提高每个学生对专业知识学习和研究的兴趣，更好地完成上述教学目标.

（五）完善课后辅导和答疑制度

一般情况下，教师要和学生讨论如何合理分配自己的课后时间，对学生进行课后辅导，有效地解决学生在课后学习过程中存在的问题.虽然学生的课后辅导时间、地点的安排不固定，但是教师要保证至少一周一次的课后解惑机会.老师在教完每一个章节的内容后，就可以对课程的知识点逐一进行分析、归类、总结，并拍照打印，然后分发到每一个学生的手中，让学生认真抄写、整理，使学生对本课程章节的知识要点产生一个相对系统、清晰、完整的认识.比如学生在学习完二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式时，对于其中很多重要的知识点和公式，学生可能刚学的时候就已经混淆了，老师最好可以给学生总结一下这些知识点，对于大多数学生来说，这是一场及时雨.

（六）构建分层教学体系

各个学校要根据当地实际发展情况，制订最科学可行的教学组织管理改革方案，注重因材施教，根据不同阶段学生的教育特点，采取灵活、适宜、独特的教学方法.教师可以挑选几个自愿参加本校研究生考试的同学组成网上辅导班，提高和巩固其已有的理论知识、经验和实践能力，为学生后续考研打下坚实的基础.教师也可以对有能力参加研究生考试的学生进行更深层次的教学，帮助他们获得更多的知识，对于能力有限的学生，争取让他们掌握最基础的高等数学函数和方程知识，便于他们顺利通过考试、完成学业.这种教学方式能够很好地满足学生的学习需求，让学生乐于去学习高等数学，并且不会产生太大的学习压力.

结束语

在高等数学教材学习方法中，函数公式的基本求解原理和方法、各种方程问题的分析以及利用这些函数建立相关知识的许多新概念和新方法等，都非常枯燥和深奥，学生很难对知识形成系统的理解并进行实践应用.因此，编者需要认真、系统地研究教材.正因为多元函数和微积分基本方程理论是贯串整个数学课程体系的基础单元，所以无论对于数学学科的学习，还是对于其他学科的学习，它都具有同等重要的地位.而且它们是学习其他后续数学课程的必备数学知识，如微分问题、积分问题、多元函数组中的应用问题等.所以，学好函数与方程思想，是学好高等数学课程的理论基础.

【参考文献】

[1]黄元元，杨德五.高等数学应用案例教学的设计与实践———以二阶常系数齐次线性微分方程为例[J].科教文汇（下旬刊），2020（12）：70-73.

[2]张艳辉.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计策略的探讨———以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例[J].科技风，2021（01）：40-41.

[3]申盼盼.高等数学微课教学设计研究———以“复合函数的求导法则”为例[J].数学学习与研究，2020（28）：6-7.

[4]李倩.《高等数学》教学中案例教学的应用探讨———以微元法建立微分方程为例[J].教育现代化，2020，7（40）：148-151.

[5]武跃祥，苗卉.基于现代教育新理念的地方财经院校《高等数学》混合式教学方法探析———以“函数的微分及其应用”为例[J].科技视界，2020（03）：32-33.

[6]潘璐璐，徐根玖，台炳龙，张莹.理工类课程实践课程思政的逻辑及方法———以高等数学函数曲线的凹凸性为例[J].高等数学研究，2020，23（01）：22-25+50.