优化教学设计,落实“少教多学”——以基本不等式为例

江苏省扬州中学 (225009) 王 晨

江苏省扬州市教育科学研究院 (225007) 戚有建

一、问题提出

著名教育家陶行知先生曾说过:“所谓教师之主导作用,重在善于启迪,使学生自奋其力,自致其知,非谓教师滔滔讲说,学生默默聆听.”其中深意就是“少教多学”的教学理念.“少教”即启发性地教、针对性地教、创造性地教和发展性地教;“多学”指学生在教师地引导下走向深度学习、积极学习、独立学习.因此教师要对教学课程有科学的设计,对教学进程有巧妙的干预和调适,才能达到少教多学的目的.本文以基本不等式第一课时为例,从“精教—少教—不教”三个阶段逐层推进,展示基本不等式课堂教学中的“少教多学”.

二、教学案例

教材分析:本节课选自苏教版(2019版)必修一第三章第二节,主要内容是基本不等式的证明与应用.此前学生已学过不等式的六个基本性质,对比较法、分析法、综合法会简单的应用.

教学目标

(1)了解基本不等式包含的物理、代数、几何知识及生活背景,掌握基本不等式的证明方法,学会运用基本不等式解决一些函数的最值问题.

(2)培养学生数形结合、转化与化归的数学思想,体会换元代换的数学方法,发展学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

教学过程

1．情境引入

问1:看完这段材料你有什么想法?

追问2:下面你想研究什么呢?

设计意图：通过生活情境的引入,增加学生的探究兴趣.对情境中方案的“不合理”,学生能自主发现并用已有的物理知识解决,极大地满足他们学习的成就感,同时也找出了本节课的研究对象,发展了学生数学建模的核心素养.

2．课内探究

2．1猜想

问2:从特殊值入手得到的结论不严谨,你能不能严格地证明该猜想?

2．2证明

巡视学生的答案,选择几个投影.

生1:用比较法证明,但要注意前提是a,b>0,和不等式取等的充要条件.

生2:用的是分析法,执果索因,探究每一步所需的充分条件,直至得到一个显然成立的式子,注意书写格式.而将分析法过程倒着书写即为综合法.

生3:选择先平方两数,消除根号,再用前三种方法证明,称为平方法.

设计意图：从特殊值入手得到猜想,此时学生会有不严谨的困惑,萌发出想要证明的想法.接着投影学生证明不等式的方法,既检验学生对前一节不等式内容的掌握情况,又让学生感受到知识的应用性.

生:结构简洁,主要是和与积的关系,且只包含基本运算.

问3:你有什么发现?

生:根据半弦不大于半径可以得到CD≤OD,也可以证明不等式成立.所以这个不等式还蕴含丰富的物理、代数、几何知识.

问4:不等式中的a,b可以代入数字,能代入代数式吗?对代数式有何要求?

生:可以,但要满足大于等于0.

师:通过对a,b的代换,可以得到无数个不等式,但它们的根基均为这个不等式,所以我们给它一个名称,叫做基本不等式.

设计意图：这里对不等式的赏析,引导学生从多个角度去理解不等式,让学生在感受到这个简单的不等式蕴含着丰富的知识背景的同时,还培养了其数形结合的数学思想.另外,该不等式还可以衍生出许多不等式,因此学生对于它的名称“基本不等式”会有更深层次的感悟.

2．3 应用

问5:你能不能举出用代数式代换a,b的例子呢?

生:根据a,b大于等于0,用a2替换a,b2替换b,代入基本不等式,得到一个新的不等式.这里要注意a,b的范围已经变为R.

问6:你能将这个函数进行变式吗?

问7:问题出在哪?

生2:需改变x的范围,可以为x∈(-2,+∞),但改法不唯一.

问8:刚刚我们主要运用基本不等式来解决这些函数的最值,使用过程中需要注意的条件是什么?

生:首先代数式为正,其次乘积为定值,最后取等号时x的值要有解.

师:总结的非常到位!事实上乘积为定值,我们可以得到和的最小值,如果和为定值,则乘积有最大值.用基本不等式求函数最值需要满足的条件可以概括为“一正二定三相等”.

设计意图：通过教师简单地引导,让学生不由自主地去思考,去改编题目,充分彰显学生的主体地位,达到“少教多学”的目的.经过不断出现矛盾和解决矛盾的探究过程,学生的函数代换思想,逻辑推理、数学运算等核心素养,在无形中得到了发展.

3．课堂小结

对不等式的赏析,不仅发现了基本不等式的几何意义,还感受到它广泛的应用性,即通过对a,b的代换总结出用基本不等式求函数最值需满足的条件:一正、二定、三相等.

4．课后思考

基本不等式能否推广到n(n≥3,n∈N*)个非负数的情形?

三、教学反思

1．基本不等式的发现

2．基本不等式的赏析

“少教多学”的课堂应当以学生为本,这就要求教师运用简洁的语言启发学生探索出知识间的紧密联系.比如学生容易发现不等式的结构特点,教师由此引出算术平均数与几何平均数的概念,学生稍加思索便能得到不等式的几何意义,感受到不等式中物理、代数、几何知识的联系.再将关注点指向代数式a,b,带领学生得出a,b范围可包含等于零,进而判断出a,b可用无数代数式替换,深刻理解“基本”的含义.整个过程中,学生会充分感受到公式之简洁,数学之优美.

3．基本不等式的应用

传统课堂总是习惯于在知识点讲解完后,直接抛出例题.这样很容易忽略学生思维发展的连贯性,不利于思维能力的培养.此处笔者选择承上启下,将重点放在研究a,b的代换.先由学生举例用a,b的绝对值或平方形式替换,教师举例用互为倒数的分式替换,帮助学生打开思路,再进一步用变量x替换,引出求函数最值问题.接着让学生去改编题目并自行解决,完全将课堂归还给学生,达到教师不教,学生爱学的层次.学生也在探索未知的领域中,体会到学习的迷茫与困惑,体会到解决问题带来的数学之趣.