一道解三角形质检试题的探究*

福建教育学院数学研修部 (350025)福建教育学院数学教育研究所 (350025) 蔡海涛

一、试题呈现

本题以三角形问题为载体,主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查数学运算、逻辑推理等核心素养,体现基础性和综合性．

本题属解答题中的中档题,但学生答题情况不理想,大部分学生“卡壳”在第(2)问,主要原因是无法合理分析多个三角形中边角关系,或是想快速答题而导致“欲速而不达”.

二、解法探究

先求解第(1)问.

评注：利用BC=CD,在等腰△BCD中,作BD边上高,从而在Rt△ACM中求得AC的长.一般地,在解三角形的求边问题中,若能把要求的边归结在一个直角三角形中求解,会使得运算简化.

评注：分析图形,在△BCA中求AC的长.由于△BCA中已知AB及BC的长,故只需求cosB即可,进而在△BCD中求得cosB的值,问题得解.

评注：在△ACD中求AC的长.由于△ACD中已知AD及DC的长,故只需求cos∠ADC即可,进而在△BCD中求得cos∠BDC的值,又cos∠ADC=-cos∠BDC,问题得解.本法与解法2类似,解题思路是寻找欲求的边所在的已有三角形,分析已知的边角条件,进而利用正、余弦定理求解,这是解三角形问题求边(角)问题的常用方法.

下面分析第(2)问.

评注：根据∠BAC=2∠BCD,故对这两个角所在两个三角形△BCD及△ACD进行研究,得到a,b间的关系,结合中线长的性质,求得AC的长.

评注：根据∠BAC=2∠BCD,构造∠BAC的半角∠E,利用三角形相似得a,b间的关系,结合中线长的性质,求得AC的长.利用几何关系,运用平面几何知识达到简化运算的目的.

由以上解答不难看出,本题解题的切入点较多,很好地考查了解三角形的有关知识及思想方法,是一道质量较高的试题,教师可从不同角度剖析引导学生思考,掌握解三角形的基本方法;另一方面,解较为复杂的三角形问题,其解决问题的数学本质还是不变的,即在三角形中,利用正余弦定理寻找三角形基本元素(边、角)的关系,或是结合图形特征,力求简化运算.

三、链接高考

(2021年新高考Ⅰ卷19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC．(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC．