燃数学思想之火,升核心素养之华——以函数与导数模块解题教学为例

福建省福清第三中学 (350315) 何 灯

2023年度高考蓝皮书《中国高考报告(2023)》指出:未来高考命题将以“三线(核心价值金线、能力素养银线、情境载体串联线)”为框架,命题呈现出“无价值,不入题;无思维,不命题;无情境,不成题”的典型特征.由此观之,新高考命题将会更加关注对学生数学思维、学科素养的考查.

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂[1].数学核心素养是我们教育教学的终极培养目标[2].所以,面对“三新”背景下的高考,我们应转变自身的教学理念和教学方式,在传授学生课本知识,习得解题方法的同时,更应该关注他们数学思维的培养、学科思想的浸润、核心素养的发展,只有这样,才能最大限度的发挥课堂教学的实效,才能实现数学思维从学生的脑海中自然的流淌出来,才能从容应对未来高考的新挑战.

本文以函数与导数模块的若干典型试题为例,阐述在解题教学过程中,教师若能将数学知识与方法和数学思想有机地结合在一起,引领学生站在数学思想的高度去分析和解决问题,就可以在深化学生对数学思想领悟的同时,优化解题过程,降低解题难度,实现学生核心素养的提升[3].

1、立意函数与方程思想发展数学核心素养

函数与方程思想包括函数思想与方程思想.函数思想主要是通过函数相关知识来求解问题,方程思想是把问题的数量关系转化为方程或方程组进行求解.函数与方程思想应用于高中数学解题时,应该关注到函数与方程之间可以实现互相转化,从而在问题获解的同时培养学生综合性的问题分析和问题解决能力,实现数学思维能力的发展和数学素养的提升.

例1 (2021年八省联考第8题)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则( ).

A．c

C．a

分析：本题涉及到三个方程的根的大小比较,直接求解显然无法奏效,故需要引导学生将题设条件进行适当的转化,以寻求解题的突破口.在教学过程中,笔者设置了如下三个问题,让学生经历函数与方程相互转化的过程.

问题1 题设条件能否做适当的变形?

问题2 变形后的条件具有什么特征?这些特征给你怎样的启示?[4]

问题3 你能根据这种启示,将问题进行简洁求解吗?

图1

2、立意数形结合思想发展数学核心素养

“数”与“形”及它们的联系与转化是数学研究永恒的主题.通过“以数助形,以形辅数”有利于分析题中数量之间的关系,强化学生对数学问题的感知,把握数学问题的本质,在优化解题过程的同时,提升学生的分析问题和解决问题的能力,发展数学核心素养.

例2 (2022年新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

分析：对于问题(1),立意于数形结合思想,可以猜测出a的取值为1.当然,具体的解题过程还需要进行分类讨论求解f(x)与g(x)的最小值,建立方程来完成.对于问题(2),笔者引导学生画出两个函数的图象,观察两个图象之间的关联.

由于a=1,得函数f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx,借助导数研究两个函数的单调性,可画出二者的图象(由(1)可得两个函数的最小值均为1),如图2.

图2

笔者设置如下问题引发学生进行形与数转化的思考.

问题观察两个函数图象,形的特征是什么?你能否得到相关的数的特征?

形的特征1：函数f(x)=ex-x在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)单调递增;函数g(x)=x-lnx在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)单调递增;f(0)=g(1)=1.

数的特征1：对于函数f(x),当x>0时,函数值从最小值1逐渐增大到+∞;对于函数g(x),当0

形的特征2：当b=f(x0)=g(x0)时,直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有三个不同的交点.

数的特征2：只需证明当f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)时,有x1+x2=2x0即可.

由f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)得ex1-x1=ex0-x0=x0-lnx0=x2-lnx2.由ex0-x0=x0-lnx0得ex0+lnx0=2x0;由ex1-x1=x0-lnx0得ex1-ln(ex1)=x0-lnx0,即g(ex1)=g(x0),关注到ex1,x0∈(0,1),则x0=ex1,或x1=lnx0;由ex0-x0=x2-lnx2得ex0-ln(ex0)=x2-lnx2,即g(ex0)=g(x2),关注到ex0,x2∈(1,+∞),则x2=ex0.结合上述,有x1+x2=lnx0+ex0=2x0,得证x1,x0,x2三者成等差数列.

评析：在问题(2)的解题教学活动中,学生经历了“利用导数研究函数f(x)与g(x)的形态变化与运动规律,利用图形描述、分析直线y=b与两条曲线共有三个不同的交点这一数学问题,建立形与数的联系,探索出只需研究f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)时,x1+x2=2x0这一解决问题的思路”,进而能够“从数学的视角发现问题、提出问题:如何利用所得结果验证x1+x2=2x0成立”,“收集数据得到ex0+lnx0=2x0、g(ex1)=g(x0)、g(ex0)=g(x2),整理数据得到x1=lnx0、x2=ex0,提取信息得到x1+x2=lnx0+ex0=2x0”的整个过程,将直观想象、数据分析等核心素养得到了较好的培养和发展.

3、立意化归与转化思想发展数学核心素养

化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想[5].该思想体现了数学知识万变不离其宗的特性,让数学问题回归本质,提升学生问题解决能力的同时,发展学生的数学核心素养.

例3 (2020年新高考山东卷第21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

分析：对于问题(2),因参数居于两个位置,利用分离参数法无法奏效,利用直接求导法无法求出极值点,从而无法实现对f(x)单调性的讨论.问题(2)比较流行的解法是同构法和必要性探路法,但同构法要求技巧比较高,笔者在教学过程中主要引导学生利用必要性探路法来求解.

在教学过程中,笔者立意于化归与转化思想,设计如下三个问题,引导学生对整个求解过程进行探究,实现问题由生入熟、由繁至简的转化.

问题1 本题中,取什么值代入表达式进行探路较为简洁?(将参数a的研究范围从(-∞,+∞)转化为[1,+∞))

探究结果1:根据f(x)=aex-1-lnx+lna的表达式的结构特征(指数对数并存),故考虑令x=1代入其中.由f(x)≥1得a+lna≥1,由于g(a)=a+lna关于a单调递增,且g(1)=0,由函数g(a)的图象特点,可得a≥1.

问题2 探路得到的a≥1,对f(x)≥1的证明能够起到什么作用?(将含参不等式的验证转化为无参数不等式的验证)

探究结果2:当a≥1,由于aex-1-lnx+lna≥1中ex-1>0,lna的系数为1,故aex-1≥ex-1,lna≥0,得aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx,从而只需验证ex-1-lnx≥1成立,达到消参的目的.

问题3 如何证明不等式ex-1-lnx≥1成立?(将指数、对数并存的不等式的验证转化为两个更为简洁的不等式的验证)

探究结果3:根据不等式ex-1≥lnx+1左右两端函数的图象特点,两个图象被y=x所分隔开,故尝试验证ex-1≥x,x≥lnx+1同时成立,问题或能有效求解.

评析：在问题(1)的解决中,学生经历了“针对研究对象获取数据,发现f(x)≥1中存在ex-1及lnx,为了令得到的关于a的不等式形式简洁,可以尝试令x=1代入.接着运用求导方法对数据进行分析和推断,通过研究g(a)的图象特征,求得a≥1”,无疑,在这个过程中,学生的数据分析等核心素养得到了较好的培养和发展.

在问题(2)的解决中,学生经历了“从数量与数量关系中抽象出基本关系,发现可以利用a≥1实现不等式放缩,得到aex-1≥ex-1、lna≥0,从而将问题转化为验证ex-1-lnx≥1”,无疑,在这个过程中,学生的数学抽象等核心素养得到了较好的培养和发展.

在问题(3)的解决中,学生经历了“利用ex-1≥lnx+1两边函数的图象分析数学问题,建立形与数的联系,发现两个函数图象被y=x所隔开,探索出可以尝试验证ex-1≥x及x≥lnx+1同时成立,以达到解决问题的目的”,进而“借助导数工具,从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出ex-1≥x及x≥lnx+1,最终实现f(x)≥1的证明”,无疑,在这个过程中,学生的直观想象、逻辑推理等核心素养得到了较好的培养和发展.

4、立意特殊与一般思想发展数学核心素养

在函数与导数模块,高考命题者常有意设计一些体现特殊与一般思想的试题,突出体现特殊化方法在解题中的应用,如通过特殊值、特殊位置、特殊函数等来研究解决一般问题、不确定问题、抽象问题等.解题时若能注意到问题的特殊性,则可大幅度降低思维难度和运算量,实现问题的轻松求解,在彰显解决数学问题方法灵活性的同时,提升学生逻辑思维能力,发展数学核心素养.

A．-3 B．-2 C．0 D．1

分析:本题的常规解法需要对f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)进行适当代换,再将代换后的多个等式进行关联,得到函数f(x)的周期为6,再通过计算前6个函数值及周期,求得最终的结果.整个过程较为繁杂,需要学生有较强的恒等变换能力.关注到本题是一道单选题,题设条件具有一般性,但是结果具有恒定性,立意于特殊与一般思想,可以尝试将f(x)的解析式特殊化.

在教学过程中,笔者设置了如下三个问题,让学生经历特殊与一般的认知过程.

问题1 由题设条件你能确定出函数f(x)的表达式吗?

问题2 关系式“f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)”你以前是否遇到过,它给你怎样的启示?

问题3 你能根据这种启示,将问题进行简洁求解吗?

另外,在函数与导数模块试题解题过程中,若能够合理利用有限与无限的相互转化,则可快速寻得问题解决的突破口,避开抽象复杂的演算,优化解题过程,提升学生的问题求解能力,发展数学核心素养.限于篇幅,此处不再举例详细阐述.

当然,数学思想的领悟,核心素养的发展,并非靠几道题目的讲解,几节课的学习就能够实现的.这需要长期的时间积累,需要教师们在教学中要充分发掘教材中的知识点和典型例子中所蕴含的数学思想和方法,依靠数学思想指导数学思维、数学问题求解,让学生在“润物细无声”中去领悟,并用其作为指导来引领问题的解决[6],进而逐步内化为自身的思维品质,促使他们能力的提升,日积月累的积淀,就形成了数学素养.