以“度量”为抓手 实现面积一致性教学建构——《圆的面积》教学实践与思考

林芳锃

(大田县第二实验小学，福建 大田 366100)

教材通过“化圆为方”的方法(即将圆分成若干等份，拼成一个近似长方形，观察发现长方形长、宽与圆的关系，用圆各部分量代换长方形各部分量，运用关系推理发现并总结圆面积计算的方法)[1]。用关系推理经历等量代换的过程，是代数思维，而缺少经历度量的思维过程，培养了学生的转化意识、推理意识，但缺少对于面积度量一致性的建构。《义务教育数学课程标准(2022年版)》强调了数学课程的整体性与一致性，指出：图形的测量重点是确定图形的大小，感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识[2]。那么，如何在“圆的面积”教学中让学生亲历“度量”过程，建构面积一致性教学。

一、化圆为方，明晰定义转换过程

面积度量的本质是对图形的大小根据度量法则赋予一个非负数[4]，是约定一个边长为单位长的正方形作为面积单位，以面积单位去度量，所得的量数就是这个图形的面积[5]。长方形是通过长与宽相乘求积来确定面积单位个数，圆是曲线图形，用单位正方形直接度量难以得到合理的结果。将圆转化为近似的长方形，根据半径r的长度度量每行面积单位个数及行数(以1cm2的小正方形为面积单位度量，πr是近似长方形的长，即每行有πr个1cm2，r是宽，有r行，s=πr.r是“每行面积单位个数×行数=面积单位个数”)(图1)，圆的面积计算公式(s=πr·r)与长方形面积计算公式一致，是单位正方形度量的过程及结果的表达。可见，“化圆为方”的本质是基于面积度量的需要。

图1

(一)直观中度量，初步感知

1.出示长5cm，宽2cm的长方形，提出问题：这个长方形的面积是多少？

预设学生回答：长方形的面积=长×宽，5×2=10cm2。

引导学生说理：长×宽为什么可以计算长方形的面积？这里的5和2分别表示什么？

根据知识经验，预设学生回答：用1cm2的正方形度量，每行5个1cm2，有2行，5×2=10个1cm2，是10cm2。归纳概括：用长×宽计算长方形的面积，是每行面积单位个数×行数=面积单位个数。

2.出示半径为2cm的圆形，提出思考：怎样计算圆的面积？

学生思考后回答：用1cm2的正方形度量出每行有几个面积单位，有几行，用每行面积单位个数×行数。

3.组织学生小组合作完成圆的面积度量工作并汇报。

预设学生的方法：

(1)根据半径长度推算直径，根据直径长度度量出每行面积单位个数及行数；

(3)画圆的外接正方形，或画从圆心出发，面积为r2的正方形，度量出每行面积单位个数及行数。

提出思考：几种度量的方法有什么共同点？

组织学生交流并归纳概括：都是用每行面积单位个数×行数=面积单位个数；用单位正方形直接度量圆的面积，误差较大。

(二)操作中转化，亲历过程

1.提出问题：能否将圆转化为我们学过的图形，再度量出每行面积单位个数及行数？

2.组织学生动手操作，将圆形纸对折两次剪开，把4等分图片拼成新的图形，学生汇报自己的拼图，教师课件呈现。

组织学生观察拼成的图形，学生观察后发现所拼的图形不是之前学过的平面图形。

3.引导学生将4等分图片再次对折剪开，把8等份图片拼成新的图形，学生汇报自己的拼图，教师课件呈现。

组织学生再次观察自己拼成的图形，学生观察后可能发现：所拼的图形有点像平行四边形或长方形。

4.课件动态演示将圆16等分，再拼图，组织学生再次观察(图1)，学生观察后指出：拼成了一个近似长方形。提出猜想：分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。

结合图1，组织学生观察发现：圆的面积=近似长方形的面积，宽近似于圆的半径r，长近似于圆周长的一半。学生进行关系推理：因为长方形的面积s=ab，所以圆的面积s=πr.r=πr2。

5.提出思考：这里的πr和r分别表示什么？

结合长方形面积度量经验，学生回答：πr是近似长方形的长，即每行有πr个面积单位，r是宽，有r行，s=πr·r是每行面积单位个数×行数=面积单位个数。

借助长方形面积度量经验，顺延其度量方法，根据直径、半径长度度量圆的面积单位个数，学生在直观的图形中观察、操作、感知，初步感知圆的面积度量与直线图形面积度量之间的联系，形成数学直觉，使之“知识见知”；在初步度量得不到准确结果时，引导将圆转化为近似长方形，培养学生的转化意识；用关系推理发现并总结圆面积计算的方法渗透了等量代换思想，发展了学生的推理意识，形成有条理、有逻辑的思维品质；基于直线图形的度量经验，从每行面积单位个数及行数推理s=πr·r，认识到转化是基于度量的需要，圆形的面积计算公式s=πr·r也是基于单位正方形个数的度量，体会平面图形面积度量的一致性，形成新的知识生长点。学生结合图形想象、推理，形成空间观念，在质疑思辨、推演说理等活动中独立思考、坚持己见，形成科学的认知观。

二、由方转圆，逆向推理概念本质

s=πr·r与s=πr2之间具有概念本质上的一致性。s=πr2是以从圆心出发，面积是r2的正方形为面积单位测量近似长方形的面积，每行有π个r2，有这样的一行(或圆的面积有π个r2)，是每行面积单位个数×行数=面积单位个数(图2)。教学时，教师要引导学生经历两个过程，一是用单位正方形(1cm2、1dm2、1m2)度量近似长方形的面积，建构知识模型；二是用面积为r2的正方形度量近似长方形面积，推理圆的面积是π个r2，感悟s=πr·r与s=πr2二者的一致性，体会两个不同公式背后相同的度量本质。

图2

1.用1cm2的单位正方形度量

组织学生用1cm2的单位正方形度量半径为2cm的圆，提出思考：用1cm2的小正方形量这个圆的面积，每行摆几个，可以摆几行？

学生观察后回答：πr是近似长方形的长，即每行有πr个1cm2(大约6.28个)，r是宽，有r行(2行)，s=πr·r=6.28×2=12.56(cm2)

2.用面积r2的正方形度量

(1)出示图2，组织学生用面积r2的正方形度量近似长方形的面积，提出思考：这个小正方形的面积是多少？

学生思考后发现：正方形的边长是圆的半径r，面积是r2，即r2=22=4cm2。

提出问题：用4cm2的小正方形量这个圆的面积，每行摆几个，可以摆几行？

学生结合图2直观发现：每行大约摆了3个，摆一行，s=3×4=12(cm2)，面积大约是12cm2。

组织学生思辨：结合两次计算的结果，说一说你有什么发现？

(2)组织学生观察近似长方形的长、宽与面积r2的正方形的关系，根据长近似于πr，宽近似于r，观察推理：每行有π个r2(即π个4cm2)，只摆一行，s=π个r2=π×4=12.56(cm2)。归纳概括：用面积r2的正方形度量近似长方形的面积是π个r2，圆的面积是π个r2(即s=πr2)。

(3)对比s=πr·r与s=πr2，提出思考：有什么异同点？

根据前面的学习，预设学生的回答：πr·r是用面积为1cm2、1dm2、1m2的单位正方形度量圆的面积，πr是每行面积单位个数，r是行数，s=πr·r是每行面积单位个数×行数=面积单位的个数；πr2是用面积为r2的正方形度量圆的面积，每行有π个r2，只摆一行，s=πr2也是每行面积单位个数×行数=面积单位的个数，区别在于选择的面积单位的大小不同。

从s=πr·r=πr2到s=πr·r与s=πr2的思考，学生的思维经历了从计算推理到面积度量的转化。借助1cm2单位正方形度量圆的面积，直观认识每行面积单位个数及行数，推理s=πr·r，认识s=πr·r是基于单位正方形个数的度量，建构知识模型；结合近似长方形度量经验逆向推理圆的面积计算公式，思考以面积是r2的正方形为单位度量圆的面积，是π个r2，πr·r到πr2不是简单的计算推理，而是基于面积度量的需要，是圆面积度量的过程及结果的表达。学生在两种度量方法中感受用面积单位正方形度量平面图形面积的重要性，体会面积的度量意义。

三、基于一致性认识，内化升华概念理解

解决面积问题要以“度量”为突破口，要用“度量”贯穿教学始终。基于“度量”设计圆的面积问题，引导学生结合图形想象、推理，认识圆的两种不同度量方法(已知半径r或r2求圆的面积)在解决实际问题中的普遍应用，有利于巩固知识模型，内化知识，发展空间观念、推理意识、几何直观意识。

1.基础练习

出示图3，组织学生计算圆的面积并说理。

图3

有了前面的学习经验，学生轻松回答：(1)第一个圆用1cm2的正方形为单位度量，一行摆2π个1cm2，摆2行，s=πr×r=π×2×2=4π(cm2)；(2)第二个圆是以面积为r2的正方形为单位度量，s=π个r2=π×10=10π(cm2)

2.拓展提升

(1)出示图4，组织学生观察思考：如何求圆的面积？

图4

学生思考后交流反馈：将10cm2的三角形沿高(即半径)剪开、旋转转化成正方形，观察发现：这是面积为r2的正方形(即r2=10cm2)。根据面积度量的经验发现：s=π个r2=π×10=10π(cm2)。

(2)出示图5，组织学生思考：如何求圆的面积？

图5