巧借法向量，破解截面问题

■福建省德化第一中学 陈玉兰 吴志鹏(正高级教师)

在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体所得到的图形。空间几何体的截面问题是高考的难点问题,主要考查截面形状的判断及其周长、面积等相关计算问题,也经常考查截面与空间几何体棱交点的位置问题。解决这些问题的关键是能在几何体中画出截面图形,一般可以从以下两个视角解决:一个是传统的欧式几何的视角,根据条件画出几何体的截面,需要一定的空间想象能力,这对于部分同学而言是难点;另一个是向量的视角,相比传统的欧式几何,用向量的方法解决问题不需要添加太多的辅助线,思维量小。用向量法解决平面问题,重点是求平面的法向量,灵活运用法向量去求解立体几何中“空间距离”、“空间角”等问题,本文着重介绍利用平面的法向量,求解与截面相关的问题。

一、判断点与截面的位置关系

例1(2019年北京市高考)如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平 面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,|PA|=|AD|=|CD|=2,|BC|=3。E为PD的 中 点,点F在PC上,且

图1

(1)求证:CD⊥平面PAD;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)设点G在PB上,且。判断直线AG是否在平面AEF内,并说明理由。

解析：(1)(2)解答过程略。

(3)以点A为坐标原点,平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴,分别以为y轴,z轴的正方向建立如图2 所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0)。

图2

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),

据此可得平面AEF的一个法向量为m=(1,1,-1)。

已知平面AEF的一个法向量为m=(1,1,-1),可得

又因为点A在平面AEF内,故直线AG在平面AEF内。

评析:解决立体几何中点是否在平面内即多点共面问题,如果直接作出截面与棱的交点比较困难,那么可以考虑利用法向量解决问题,即平面的法向量与平面上的每条直线都垂直,过平面内的一点与平面的法向量垂直的直线都在平面内,利用向量的数量积是否为0,判断点是否在平面内。

二、探究截面图形的基本元素

1.判断截面图形的形状

例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别AD,C1D1的中点,过M,N,B1三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面形状为( )。

A.六边形 B.五边形

C.四边形 D.三角形

解析：以A为坐标原点,分别 以为x,y,z轴的正方向,建立如图3所示的空间直角坐标系A-xyz。不妨设|AB|=2,则M(0,1,0),B1(2,0,2),N(1,2,2),故

图3

设n=(x,y,z)是平面B1MN的一个法向量,则

不妨取n=(4,2,-3)。

①若截面与棱AB存在交点Q,则可设Q=(a,0,0),其中0≤a≤2,此时=(a,-1,0)。

因为MQ在平面B1MN内,所以n·=4a-2=0,解得a=。

②若截面与棱DD1存在交点R,则可设R=(0,2,b)(0≤b≤2),有=(0,1,b)。

所以n·=2-3b=0,解得b=。

依次连接点B1,Q,M,R,N,就可以得到截面为五边形。选B。

评析:本题解答过程中假设Q点与R点是截面与棱AB、DD1的交点,此时求解出来的参数a,b均应在规定的范围内,若不在规定的范围内,则交点的位置发生改变,需重新假设交点的坐标。

2.求解截面的周长

例3(第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一决赛)已知正四面体A-BCD的棱长为6,点E,F分别是△ABC,△ACD的中心,点M在AB上,且|AM|=1,过M,E,F的平面截四面体A-BCD,求截面的周长。

解析：建立如图4 所示的空间直角坐标系O-xyz,则B,-3,0),C(,3,0),D(-2,0,0),A(0,0,2 6)。

图4

评析:求解截面的相关问题(如截面的形状、周长、面积等),关键是求截面与空间几何体棱交点的位置。在传统的几何方法中,需要添加较多的辅助线,对同学们的几何直观和逻辑推理能力提出了较高的要求,难度较大。利用法向量思路清晰、思维量小,体现了向量在解决问题的工具性作用,对大家的空间想象能力要求不高,但对运算能力提出了挑战。

三、探究截面与棱交点的位置

例4(2023 年佛山二模)中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进,企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人,更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神,这是传承工艺、革新技术的重要基石。如图5 所示的一块木料中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,|PA|=|AB|=2,点E,F是PC,AD的中点。

图5

(1)若要经过点E和棱AB将木料锯开,在木料表面应该怎样画线? 请说明理由并计算截面周长。

(2)若要经过点B,E,F将木料锯开,在木料表面应该怎样画线? 请说明理由。

解析：(1)以A为原 点,分 别 以,为x,y,z轴正方向,建立如图6所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),E(1,1,1),D(0,2,0),P(0,0,2)。故=(2,0,0)=(1,1,1)=(0,-2,2)。

图7

设n1=(x1,y1,z1)是平面ABE的一个法向量,则n1⊥,n1⊥。

故Q为线段PD的中点,连接EQ,AQ,也即BE,EQ,AQ就是应画的线。

因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PA。

又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD。AQ⊂平面PAD,AB⊥AQ,即截面ABEQ为直角梯形。

例5在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=120°,点E为棱PB的中点,点F在棱AD上,平面CEF与PA交于点K,且|PA|=|AB|=3,|AF|=2,则点K到平面PBD的距离为____。

解析：以A为原点,分别以为x

例6如图8所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,若的值为______。

图8

解析：在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD交于O点,连接PO,则PO⊥平面ABCD,AC⊥BD。

以O为坐标原点,射线OA,OB,OP为x,y,z轴正方向,建立如9所示的空间直角坐标系O-xyz,设P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,-a,0),C(-a,0,0)(a,b＞0)。

评析:截面问题以长方体或正方体为背景的问题学生比较容易入手,但对于一般的空间几何体,学生则缺乏应对的策略,经常会束手无策。而利用平面的法向量,可以直接从代数运算方向处理,方法简单、思维量小。